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二次函数相等角存在性问题
1如图, 已知点A(-1,0) , B(3,0) , C(0, 1) 在抛物线 上.
(1)求抛物线解析式；
(2)在直线BC上方的抛物线上求一点 P，使 面积为1；
(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使 若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.
2如图，已知：抛物线 与直线l交于点 与x轴另一交点为B.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点P，使 的内心在x轴上，求点P的坐标；
(3)M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM.在(2)的条件下，是否存在点M，使 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与 y轴交于点 B，点C的坐标为( 抛物线经过A，B，C三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线AD与y轴负半轴交于点 D，且. 求证：
(3)在(2)的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴1交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP 的面积最大 若存在，请求出点P 的坐标及四边形BEAP 面积的最大值；若不存在，请说明理由.
4如图，抛物线 经过A(-1, 0) 、B(4, 0) 、C(0, 2) 三点, 点D (x，y)为抛物线上第一象限内的一个动点.
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2) 当 的面积为3时，求点D的坐标；
(3)过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得 中的某个角等于 的2倍 若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由.
5如图，已知二次函数 的图象经过点A(-1,0) , B(3,0) , 与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点 P，使 若存在请直接写出点 P 的坐标.若不存在，请说明理由.
6已知，抛物线 经过A(-1, 0) 、B(3,0) 、C(0, 3) 三点, 点P 是抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式；
(2) 当点P位于第四象限时, 连接AC, BC, PC, 若 求直线PC的解析式；
(3)如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问 的值是否为定值 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.
7如图，已知抛物线 与两坐标轴相交于点A (-1, 0) 、B(3, 0) 、C (0,3),D是抛物线的顶点,E是线段AB的中点.
(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
(2) F (x, y) 是抛物线上的动点:
①当 时，求 的面积的最大值；
②当 时，求点F 的坐标.
8如图，直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线 经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D.
(1)求抛物线的解析式；
(2) 在x轴上找一点E, 使EC+ED的值最小, 求EC+ED的最小值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得 若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
9如图，二次函数 的图象与y轴交于点 A，过点 A 作 x轴的平行线交抛物线于另一点B, 抛物线过点C(1, 0) , 且顶点为D, 连接AC、BC、BD、CD.
(1) 填空:
(2)点P是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q.若 求点P 的坐标；
(3)点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG.当点F在x轴上时，直接写出AG的长.
10如图，已知抛物线 经过A (-5, 0) , B (-4, - 3) 两点, 与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t.
①当点 P 在直线BC 的下方运动时，求 的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点 P，使得 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
1解: (1) 设抛物线的解析式为y=a(x+1) (x-3) , 将C(0, 1) 代入得-3a=1, 解得: ∴抛物线的解析式为
(2) 如图, 过点 P作PD⊥x, 交BC于点 D.
设直线BC的解析式为y=kx+b，则 解得： ∴直线 BC的解析式为 设点 则
又·
整理得： 解得: x=1或x=2,
∴点 P的坐标为(1, 或(2, 1).
(3)存在.作△ABC 的外接圆E，与x轴下方对称轴的交点就是所求的Q 点，连接QC、BQ，弦BC 所对的圆周角相等, 即∠BQC=∠BAC.
∵A(-1, 0) , C(0, 1), ∴OC=OA=1
∴∠BAC=45° .
∵∠BQC=∠BAC=45° , 则∠CEB=90° .
设⊙E 的半径为x, 即CE=BE=QE=x,
则在 Rt△CEB中，由勾股定理可知(
即 解得： (负值舍去)，
∵AC的垂直平分线的为直线y=-x，AB的垂直平分线为直线x=1,
∴点E为直线y=-x与x=1的交点, 即E(1, - 1) ,
∴Q的坐标为
2解: (1) 把点A(-1, 0) , C (2, - 3) 代入y 得到方程组：
解得 ∴抛物线的解析式为
(2) 作点C关于x轴的对称点C,则C (2, 3) , 连接AC'并延长与抛物线交于点 P，由图形的对称性可知P为所求的点，设直线AC'的解析式为y=mx+n，
由题意得： 解得：
∴直线AC'的解析式为y=x+1,
将直线和抛物线的解析式联立得：
解得 (舍去)或 ∴P(4, 5);
(3)存在点 M，理由如下：
已知A(-1,0) , P (4, 5) , 由两点距离公式可得:
同理可求得
∵∠MBN=∠APC, ∴tan∠MBN=tan∠APC,
设点N
则
解得 或
当 时，
当
∴综上所述，M的坐标为
3. 解: (1) 令y=0,则 解得x=6,令x=0, 则y=3, ∴A (6, 0), B(0, 3) ,
设抛物线的解析式为 把A, B, C三点坐
标代入解析式，得： 解得：
∴抛物线的解析式为
(2)证明：∵在平面直角坐标系xOy中，∴∠BOA=∠DOA=90° ,
在△BOA和△DOA中, ∴△BOA≌△DOA (ASA) , ∴OB=OD,
(3)存在，理由如下：如图，过点E作EM⊥y轴于点
∴抛物线的对称轴是直线x=2，
∴E点的横坐标是2, 即EM=2, ∵B(0, 3),
∴OB=OD=3, ∴BD=6, ∵A(6, 0), ∴OA=6, 设点 P 的坐标为
连接PA, PB, 过点 P作 PN⊥x轴于点 H , 交直线AB于点 N,过点 B 作 BH ⊥PN于点
抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当t=3时，△BPA面积的最大值是 ，此时四边形BEAP 的面积最大， ∴四边形 BEAP 的面积最大值为 ∴当P点坐标是 时,四边形BEAP面积的最大值是
4解: (1) 将A(-1,0)、B(4, 0)、C(0,2)代入 得： 解得： 故抛物线的解析式为
(2) 如图1, 过D作DG⊥x轴, 与BC交于K点,由B (4,0) 、C(0, 2) 可得直线BC的解析式为: 设
, 解得: ∴x=1或3,
∵当x=1时, y=3, 当x=3时, y=2,
∴点D 的坐标为 (1, 3) 或 (3, 2) .
(3)存在，分两种情况考虑：
①当∠DCE=2∠ABC时, 如图2,取点F (0, - 2) ,连接BF. ∵OC=OF, OB⊥CF, ∴∠ABC=∠ABF,
∴∠CBF=2∠ABC. ∵∠DCB=2∠ABC,
∴∠DCB=∠CBF, ∴CD∥BF.
∵点B(4, 0) , F(0, - 2), ∴直线BF的解析式为 ∴直线CD的解析式为
联立直线 CD 及抛物线的解析式成方程组得：
解得： (舍去), ∴点D的坐标为(2,3);
②当∠CDE=2∠ABC时, 过点C作CN⊥BF于点 N,交 OB 于 H.作点N关于 BC的对称点 P,连接NP 交BC于点 Q,如图3所示.
∵∠OCH=90° -∠OHC, ∠OBF=90° -∠BHN,∠OHC=∠BHN, ∴∠OCH=∠OBF.
在△OCH 与△OBF中
∴△OCH∽△OBF, ∴OHHF=OC, 即
∴OH=1, H(1, 0).
设直线 CN的解析式为y= kx+n(k≠0) ,
∵C(0, 2) , H(1, 0), 解得
∴直线 CN的解析式为y=-2x+2.
联立直线 BF 及直线CN成方程组得： 解得： ∴点N的坐标为
∵点B(4, 0), C (0, 2),
∴直线 BC的解析式为
∵NP⊥BC, 且点 ∴直线 NP 的解析式为 联立直线BC及直线NP 成方程组得： 解得：
∴点Q 的坐标为 ∵点 点N，P关于BC对称，∴点 P 的坐标为 ∵点C(0, 2) ,
∴直线 CP 的解析式为 将 代入： 整理，得： 解得: x =0(舍去), ∴点D 的横坐标为
综上所述：存在点 D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或
5解: (1) 根据题意得 解得 故抛物线的解析式为
(2)分两种情况，如图中的P1和P2：
①.易知，二次函数 的对称轴是直线x=1，当x=0时, y=3, 则C(0, 3),
点 C关于对称轴的对应点 P (2,3),
②. AP ∥BC时,满足题意,设直线BC的解析式为y= kx+3,则3k+3=0, 解得k=-1.
则直线BC 的解析式为y=-x+3,
设与BC平行的直线AP 的解析式为y=-x+m，
把A (-1,0) 代入得: 则1+m=0, 解得m=-1.
则与BC平行的直线AP 的解析式为y=-x-1，
联立抛物线解析式得：
解得 (舍去) . P (4, - 5).
综上所述, P (2, 3) , P (4, - 5) .
6解: (1)将A(-1,0) 、B(3,0)、C(0,3)代入
(2) 如图, 过点 B 作 MB⊥CB交于点 M, 过点 M 作MN⊥x轴交于点N,∵A(-1, 0)、C(0,3), B(3,0),
∴BM= , ∵OB=OC, ∴∠CBO=45° ,
∴∠NBM=45° , ∴MN=NB=1, ∴M (2, - 1) ,设直线CM的解析式为y= kx+b, ∴{bk /b=-1'
∴直线 PC 的解析式为y=-2x+3;
的值是为定值 .理由如下：
设.P(t, -t +2t+3),设直线AP 的解析式为 把A (-1, 0) , P (t, - t +2t+3)代入得：
∴直线 AP的解析式为y= (3-t)x+(3-t) ,
∴E(0, 3-t) , ∴CE=EO-CO=3-t-3=-t,
设直线BP 的解析式为.
把B (3, 0)、P (t, - t +2t+3)代入得：
∴直线 BP 的解析式为: y= (-t-1) x+3t+3,
∴F(0, 3t+3) , ∴OF=3t+3
的值是为定值
7解: (1) 将A(-1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)代入解得：
∴抛物线的解析式为
∴顶点D的坐标为(1, 4).
(2)①过点F作FM⊥x轴,交BD于点M,如图1所示.设直线 BD的解析式为y= mx+n (m≠0) ,
将(3,0)、 (1, 4) 代入. 解得： ∴直线BD的解析式为y=-2x+6.
∵点F的坐标为(
∴点M的坐标为(x, - 2x+6) , (1= - (x-2) +1.
∵-1<0, ∴当x=2时, S△BDF取最大值, 最大值为1.
②过点E作EN∥BD交y轴于点G1, 交抛物线于点 F ,在y轴负半轴取OG2=OG1, 连接EG2, 射线EG2交抛物线于点 F ，如图2，F1和F2是满足条件的F点.
∵EF ∥BD, ∴∠AEF =∠DBE.
∵OG1=OG2,EO⊥G1G2,∴∠AEF =∠AEF =∠DBE.
∵E是线段AB的中点, A (-1, 0), B (3, 0) ,
∴点E 的坐标为(1, 0).
设直线 EF 的解析式为 将 E (1, 0) 代入y=-2x+b , 得-2+b =0, 解得: b =2,
∴直线 EF 的解析式为y=-2x+2.
联立直线 EF 、抛物线解析式成方程组， 解得： 或 (舍去) ,∴点 F 的坐标为
当x=0时,y=-2x+2=2, ∴点G1的坐标为(0,2),∴点 G2的坐标为(0, - 2) .
同理，可求出直线EF 的解析式为y=2x-2.
联立 直 线 EF 、 抛物线 解 析 式 成 方 程 组 ,
解得： 或 (舍去) ,
∴点F 的坐标为
综上所述:当∠AEF=∠DBE时,点F的坐标为 或
8解: (1)直线y=-x+3.与x轴、y轴分别交于B、C两点, 则点 B、C的坐标分别为(3,0)、 (0,3),将点 B、 C的坐标代入二次函数表达式得： 解得： 故抛物线的表达式为：
(2)如图1，作点C关于x轴的对称点C'，连接CD'交x轴于点 E,则此时 EC+ED为最小,
∵抛物线的顶点 D 坐标为(1, 4), 点 C' (0, - 3),将C'、D的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线C' D的表达式为: y=7x-3,当y=0时, 故点E( ,0),由两点距离公式可得： 则EC+ED的最小值为
(3) 设BC与对称轴交于点 M, 则∠AMB=2∠BMN=∠OCB，以点 M为圆心，MA为半径作圆，交对称轴与点P1、P2, ∴∠AMB=∠AP B,此时 P1 就是x轴上方,符合题意的P 点，作点 P1 关于x轴的对称点 P2，此时P2 就是x轴下方符合题意的P 点.
易知∠CBO=45°, ∴△BMN是等腰直角三角形。
易知，抛物线的对称轴是直线
∴MN=BN=2, MB=2
同理：P2(1, - 2-2
综上所述，满足条件的P 点的坐标是： 或者
9解: (1) ∵抛物线 的图象过点C(1, 0) , ∴0=1+b+3, ∴b=-4,
故答案为： -4；
(2) ∵b=-4, ∴抛物线解析式为 ∵抛物线 的图象与y轴交于点A，过点A 作x轴的平行线交抛物线于另一点 B，
∴点A (0, 3) ,
∴点B(4, 3) , ·
∴顶点D坐标(2, - 1) ,
①.当点Q在点D 上方时,如图1,过点C作CE⊥AB于E,设BD与x轴交于点 F，
∵点A(0,3), 点B(4,3), 点C(1,0) , CE⊥AB,
∴点E (1, 3), CE=BE=3, AE=1,
∴∠BCF=45° ,
∵点B(4,3), 点C (1, 0), 点D (2, - 1) ,
∴由两点距离公式得：
∵BC +CD =20=BD , ∴∠BCD=90° ,
∴∠ACE=∠DBC, ∴∠ACE+∠ECB=∠DBC+∠BCF,
∴∠ACB=∠CFD,
又∵∠CQD=∠ACB, ∴点 F 与点 Q 重合,
∴点 P 是直线CF (即x轴)与抛物线的交点，
∴0=x -4x+3, ∴x =1, x =3, ∴点 P (3, 0) ;
②.当点Q在点D 下方时,如图2,过点C作CH⊥DB 于H，在线段BH的延长线上截取 HF=QH，连接CQ 交抛物线于点 P, ∵CH⊥DB, HF=QH, ∴CF=CQ,∴∠CFD=∠CQD, ∴∠CQD=∠ACB,
∵CH⊥BD, ∵点B (4, 3) , 点D (2, - 1) ,∴直线 BD解析式为: y=2x-5, ∴点 ∴直线CH 解析式为：解得： ∴点H坐标为 ∵FH=QH, 即H是FQ的中点, ∴根据中点公式得,点 ∴直线 CQ解析式为： 联立方程组 解得： 可 ∴点
综上所述：点P的坐标为(3，0)或
(3)如图3，设直线AC与BD的交点为N，作
BD于H, 过点 N作 MN⊥x轴, 过点 E作EM⊥.
连接CG, GF, ∵点A(0, 3) , 点C(1, 0) ,
∴直线AC解析式为：y=-3x+3,
∴点N坐标为
∵由 (2)可知，点H坐标为
∴CH=HN, ∴∠CNH=45°, ∵点E关于直线BD对称的点为F, ∴EN=NF, ∠ENB=∠FNB=45°,
∴∠ENF=90° , ∴∠ENM+∠FNM=90° ,
又∵∠ENM+∠MEN=90°, ∴∠MEN=∠FNM,
∴△EMN≌△NKF(AAS) ∴EM=NK= , MV=KF,
∵ K点的横坐标是 ∴点E的横坐标为
∴点
∵点F关于直线BC对称的点为G, ∴FC=CG=6, ∠BCF=∠GCB=45°,
∴∠GCF=90°, ∴点 G (1, 6) ,
∴由两点距离公式可得：
10解： (1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得： 解得：
故抛物线的表达式为： 令y=0, 则x=-1或-5, 即点C(-1, 0) ;
(2) ①如图1, 过点 P作PG⊥x轴交BC于点 G,
由点 B、C坐标可得: 直线BC的表达式为: y=x+1…②,
设点 G (t, t+1) , 则点 P (t, t +6t+5) ,
有最大值，
即当 时，其最大值为
②存在，现在分两种情况讨论：
第一种情况，当点 P在直线BC下方时，如图2中的P1设直线BP 与CD交于点H，
∵∠PBC=∠BCD, ∴点H在BC的中垂线上,
线段BC的中点坐标为
过该点与 BC 垂直的直线的k值为-1，
设BC中垂线的表达式为：y=-x+m，将点
代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为: y=-x-4…③,
同理直线CD的表达式为: y=2x+2…④,
联立③④并解得: x=-2, 即点H (-2, - 2) ,
同理可得直线BH的表达式为：
联立①⑤并解得： 或-4，故点 第2种情况，点 P在直线BC上方时，如图2中的P2，∵∠PBC=∠BCD, ∴BP ∥CD,
则直线BP 的表达式为: y=2x+s,
将点B坐标(-4， -3)代入上式并解得：s=5，即直线 BP2的表达式为: y=2x+5…⑥,
联立①⑥并解得: x=0或-4, 故点P (0, 5);故点 P的坐标为 或(0, 5).

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