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7.1 条件概率与全概率公式
考点一 条件概率的计算
【例1-1】（24-25高二上·河南焦作·期末）甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（24-25高二上·河南南阳·期末）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25高二·辽宁大连·期末）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件：取到的2个数之和为偶数，事件取到的2个数均为偶数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·辽宁·期末）甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点二 条件概率性质的应用
【例2-1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（ ）
A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解
【例2-2】（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（24-25高二下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（ ）
A．对事件A和B，若，则事件A与B相互独立
B．若事件A，B相互独立，则
C．如果事件A与事件B相互独立，则
D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立
【一隅三反】
1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2024·江西）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
考点三 全概率公式求概率
【例3-1】（24-25 广东深圳·期末）小张一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市与珠海市的概率分别为0.7，0.3，在深圳市去游乐园的概率为0.6，在珠海市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ）
A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54
【例3-2】（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（ ）
A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12
【一隅三反】
1．（24-25高二上·江西赣州·期末）某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（ ）
A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88
2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ）
A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25
3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（ ）
A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.9
4．（24-25湖南怀化·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
考点四 贝叶斯公式求概率
【例4】（2024江苏扬州·期末）某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024河北）某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江）小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第天早上八点以的概率向存钱罐中存入100元，．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25上海）在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（ ）
A．任意一位患者有症状的概率为0.02
B．患者有症状时患疾病的概率为0.4
C．患者有症状时患疾病的概率为0.45
D．患者有症状时患疾病的概率为0.25
考点五 综合运用
【例5】（2024·广东佛山 ）（多选）中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（ ）
A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为
B．李明获胜的概率为
C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为
D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为
【一隅三反】
1．（2025甘肃）一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是 .
2．（2024·天津北辰 ）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 .
3．（24-25高二上·河南南阳·期末）某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．
(1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率；
(2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率．
单选题
1．（24-25高二上·广西桂林·阶段练习）某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中有男生的条件下，另一人恰好是女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24 河北·阶段练习）甲、乙、丙、丁位同学报名参加学校举办的数学建模、物理探究、英语演讲、劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，位同学所报活动各不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25 浙江 ）某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·黑龙江·期末）春夏换季是流行性感冒爆发期，已知A，B，C三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是5:8:9，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是（ ）
A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52
6．（24-25高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·北京朝阳）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（ ）
A． B． C． D．
多选题
10．（2024·四川成都 ）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知分别为随机事件的对立事件，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则事件与事件相互独立
D．若，则
12．（23-24高二下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知，为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若和是两个互斥事件，则
D．当时，
14．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则独立
C．若独立，则 D．
填空题
15．（24-25 上海杨浦·期末）某校高二有人报名足球俱乐部，人报名乒乓球俱乐部，人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为 ．
16．（24-25 贵州贵阳·阶段练习）对于随机事件，若，，，则 .
17．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）现有一批同规格的羽毛球，由A，B，C三家工厂生产，其中A，B，C三家工厂分别生产3000个、4000个、3000个.A，B，C三家工程的次品率依次为0.02，0.04，0.03.现从这批羽毛球中任取一个，则这个羽毛球的次品的概率为 .
18．（24-25 甘肃白银·期末）甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球．乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为 ；第3次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为 ．
19．（24-25 天津河东）某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ．
解答题
20．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．
(1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
(2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率．
21．（24-25高二上·河南驻马店·期末）袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共10个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个白球的概率为.
(1)求白球和黑球各有多少个；
(2)求第二次取出白球的概率；
(3)已知第二次取出白球，求第一次取出黑球的概率.
22．（24-25 广东肇庆·阶段练习）某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品.
(1)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率
(2)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率.
23．（24-25高三上·上海·阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和.
试解决一下问题：
(1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
(2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．
24．（2025·广东佛山）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”．
(1)证明：；
(2)若，，求和．
25．（2024·新疆乌鲁木齐 ）甲、乙、丙、丁相约进行台球比赛，约定每轮比赛均将四人分成两组，进行一对一对打，第1轮比赛甲、乙对打，丙、丁对打，每轮比赛结束后，两名获胜者组成一组在下一轮比赛中对打，两名负者组成一组在下一轮比赛中对打，每组比赛均无平局出现．已知甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为，每组比赛的结果相互独立．
(1)求在第3轮比赛中，甲、丙对打的概率；
(2)求在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率及甲、丙对打的概率；
(3)求在第n轮比赛中，甲获胜的概率．
26．（24-25 河北唐山·期末）某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为p．
(1)若，，，求p；
(2)若，，求p取最大值时的值．
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7.1 条件概率与全概率公式
考点一 条件概率的计算
【例1-1】（24-25高二上·河南焦作·期末）甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，所以.故选：C.
【例1-2】（24-25高二上·河南南阳·期末）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记“数字1，3相邻”为事件A，“数字2，4也相邻”为事件B，
则，所以．
故选：B
【一隅三反】
1．（24-25高二·辽宁大连·期末）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件：取到的2个数之和为偶数，事件取到的2个数均为偶数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】事件包含的基本事件有事件包含的基本事件有，
故概率为，故选：B
2．（24-25高二上·辽宁·期末）甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，，所以．故选：B.
3．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若比赛进行了三局，甲获得冠军的概率为；
若比赛进行了四局，甲获得冠军的概率为；
若比赛进行了五局，甲第五场赢，甲获得冠军的概率为．
设甲获得冠军为事件，比赛进行了五局为事件，
所以甲获得冠军的概率为，
比赛进行了五局且甲获得冠军的概率为,
故甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为．
故选：A
考点二 条件概率性质的应用
【例2-1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（ ）
A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解
【答案】A
【解析】相互独立，，
．故选：A.
【例2-2】（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，即，解得，
又因为，即，解得，
且，可得，所以.
故选：A
【例2-3】（24-25高二下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（ ）
A．对事件A和B，若，则事件A与B相互独立
B．若事件A，B相互独立，则
C．如果事件A与事件B相互独立，则
D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立
【答案】D
【解析】若，则，
故A，B相互独立，所以选项A正确；
若事件A，B相互独立，则也相互独立，故选项B正确；
若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故选项C正确；
B与相互对立，不是相互独立，故D不正确．
故选：D
【一隅三反】
1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因为，，，
且，
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：ABC
2．（2024·江西）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
又，，故C错误；
，，，故A正确；
，，故B正确；
，故D正确.
故选：C.
3．（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，，则，
又，即，
所以，故B错误；
，，∴，
∴，故A错误；
，，∴，故C正确.
因为，
，∴，∴，
∴，故D错误.
故选：C.
考点三 全概率公式求概率
【例3-1】（24-25 广东深圳·期末）小张一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市与珠海市的概率分别为0.7，0.3，在深圳市去游乐园的概率为0.6，在珠海市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ）
A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54
【答案】D
【解析】根据全概率公式可得小张一家去游乐园的概率为．
故选：D.
【例3-2】（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（ ）
A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12
【答案】A
【解析】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”，
“第2天去甲餐厅用餐”，与互斥．
依题意得，，．
由全概率公式，得
，故选：A
【一隅三反】
1．（24-25高二上·江西赣州·期末）某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（ ）
A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88
【答案】C
【解析】设“从甲车间中随机取出一件产品”，“从乙车间中随机取出一件产品”，
“从车间中随机取出一件产品是合格品”，
则，
所以，
故选：C
2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ）
A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25
【答案】A
【解析】由题意，令表示会做，表示选对，则，且，
所以.
故选：A
3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（ ）
A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.9
【答案】C
【解析】设电动车为甲厂生产为事件，电动车为乙厂生产为事件，电动车为丙厂生产为事件，电动车为次品为事件，
则，，且，，
则
.故选：C
4．（24-25湖南怀化·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，则有的学生每天玩手机不超过，
超过近视率约为，不超过近视率约为，
所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是．
故选：C．
考点四 贝叶斯公式求概率
【例4】（2024江苏扬州·期末）某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，该产品是由A车间生产的概率为：.
故选：A
【一隅三反】
1．（2024河北）某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，
则，，
故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为.
故选：B.
2．（2024·浙江）小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第天早上八点以的概率向存钱罐中存入100元，．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】余额恰好成等差数列，即，
其中第天存入元的是，
故所求概率为.
故选：A
3．（24-25上海）在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（ ）
A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4
C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25
【答案】D
【解析】由题意可知：，，，
，，.由全概率公式可知：
，因此选项A正确；
由贝叶斯公式可知：
，因此选项B正确；
，因此选项C正确；
，因此选项D不正确，
故选：D
考点五 综合运用
【例5】（2024·广东佛山 ）（多选）中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（ ）
A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为
B．李明获胜的概率为
C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为
D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为
【答案】ABC
【解析】设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，事件C为“李明获胜”，
则由题可知，
对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为，故A正确；
对于B，李明获胜的概率为，
故B正确；
对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为，故C正确；
对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为，
故D错误.
故选：ABC.
【一隅三反】
1．（2025甘肃）一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是 .
【答案】
【解析】随机抽取一个电子元件，设“抽取的电子元件不合格”，“抽取的电子元件来自生产线”，“抽取的电子元件来自生产线”，则，，
，.
由全概率公式得
故.
故答案为：.
2．（2024·天津北辰 ）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 .
【答案】
【解析】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件，
所以，，，则，，
所以第2次投篮人是甲的概率为，
在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为.
故答案为：；.
3．（24-25高二上·河南南阳·期末）某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．
(1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率；
(2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，
则．
在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以．
故．
（2）设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”，
事件为“乙从A箱中取出2道代数题”，
事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”，
事件为“乙从A箱中取出2道几何题”，
则．
当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，；
当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，；
当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，．
由全概率公式可得．
单选题
1．（24-25高二上·广西桂林·阶段练习）某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中有男生的条件下，另一人恰好是女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记“派出的2人中有男生”为事件A，“另一人恰好是女生”为事件.
则.故选：C.
2．（23-24 河北·阶段练习）甲、乙、丙、丁位同学报名参加学校举办的数学建模、物理探究、英语演讲、劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，位同学所报活动各不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设“甲同学报的活动其他同学不报”，“位同学所报活动各不相同”，
由题得，，
所以.
故选：C.
3．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设事件甲中靶，事件乙中靶，事件弓箭靶被射中，则
所以，，
即，故选：D.
4．（24-25 浙江 ）某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设事件“该教师为男教师”，事件“该教师为女教师”，事件“该教师为点赞教师”，
则，
又．
故选：C.
5．（24-25高二上·黑龙江·期末）春夏换季是流行性感冒爆发期，已知A，B，C三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是5:8:9，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是（ ）
A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52
【答案】C
【解析】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”，
由题意可知，，，
，，，
则
故.
故选：C.
6．（24-25高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，，
设“学生肥胖”为事件B，则，，
由全概率公式可得，
所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为.
故选：A
7．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A，由于，则，A正确；
对于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B错误；
对于C，当相互独立时，，而，则，C错误；
对于D，不妨举例抛掷一枚质地均匀的骰子，设A：向上点数为偶数，B：向上点数不小于4，
则，，则，D错误，
故选：A
8．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意：，，.
所以.
.
又事件、为对立事件，所以.
故选：C
9．（2024·北京朝阳）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病，
由题意可知，，，，，
所以，，
因此，这种检验方法在该地区的误诊率为，
故选：A.
多选题
10．（2024·四川成都 ）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】A.，所以，，
所以，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C正确；
D.，，
所以，，故D正确.
故选：CD
11．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知分别为随机事件的对立事件，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则事件与事件相互独立
D．若，则
【答案】BCD
【解析】由条件概率的性质可知：，故A错误，B正确；
对C：由，又，所以，
又，所以.
所以，所以，相互独立，故C正确；
对D：由，即，所以，相互独立，所以，故D正确.
故选：BCD
12．（23-24高二下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A：中，，，而与不一定相等，故不正确；
对于B：，应为互斥事件，故不正确；
对于C：正确；
对于D：，故不正确．
故选：ABD.
13．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知，为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若和是两个互斥事件，则
D．当时，
【答案】AD
【解析】对于选项A：因为，
所以，故A正确．
对于选项B：，故B错误．
对于选项C：若B和C是两个互斥事件，
则，
且，
因为与不一定相等，
则不一定相等，故C错误；
对于选项D：因为，所以．
，故D正确．
故选：AD.
14．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则独立
C．若独立，则 D．
【答案】ABD
【解析】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确；
B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确；
C选项，若独立，则，C选项错误；
D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率，
表示在事件发生的情况下事件发生的概率，
所以，所以D选项正确．
故选：ABD．
填空题
15．（24-25 上海杨浦·期末）某校高二有人报名足球俱乐部，人报名乒乓球俱乐部，人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为 ．
【答案】/
【解析】记事件某人报足球俱乐部，记事件某人报乒乓球俱乐部，
因为，即，解得，
则.
故答案为：.
16．（24-25 贵州贵阳·阶段练习）对于随机事件，若，，，则 .
【答案】
【解析】，又，所以，
因为，所以.故答案为：
17．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）现有一批同规格的羽毛球，由A，B，C三家工厂生产，其中A，B，C三家工厂分别生产3000个、4000个、3000个.A，B，C三家工程的次品率依次为0.02，0.04，0.03.现从这批羽毛球中任取一个，则这个羽毛球的次品的概率为 .
【答案】0.031
【解析】设任取一件羽毛球来自厂为事件、来自厂为事件、来自厂为事件，则彼此互斥，且,
，
设任取一件羽毛球，取到的是次品为事件，
则.
故答案为：.
18．（24-25 甘肃白银·期末）甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球．乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为 ；第3次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为 ．
【答案】
【解析】次交换后，记甲的口袋中恰有1个白球的概率为，没有白球的概率为，．
当时，，
．
故答案为：，
19．（24-25 天津河东）某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ．
【答案】
【解析】设事件表示产品能出厂上市，事件表示产品不需要调试，表示产品需要调试，
则有，，，，
由全概率公式可得：
；
由贝叶斯公式可得：
.
故答案为：；
解答题
20．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．
(1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
(2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设事件表示“甲第次从箱中取到论述题”，，
则；
（2）设事件为“丙从箱中取出的第一道题是选择题”，
事件为“乙从箱中取出2道选择题”，
事件为“乙从箱中取出1道选择题和1道论述题”，
事件为“乙从箱中取出2道论述题”，
则，，，
则
，
即丙取出的第一道题是选择题的概率为.
21．（24-25高二上·河南驻马店·期末）袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共10个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个白球的概率为.
(1)求白球和黑球各有多少个；
(2)求第二次取出白球的概率；
(3)已知第二次取出白球，求第一次取出黑球的概率.
【答案】(1)袋子中白球的个数为6，黑球的个数为4
(2)
(3)
【解析】（1）设黑球的个数为，
由已知可得，可得，
因为且，因此，，
所以，袋子中白球的个数为6，黑球的个数为4.
（2）记事件A：第二次取出白球，
则
（3）事件：第一次取出黑球，
则.
22．（24-25 广东肇庆·阶段练习）某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品.
(1)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率
(2)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设事件表示“零件是次品”，表示“自动检测判断零件为次品”，事件分别表示零件是一等品、二等品，
则
，
则.
所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为.
（2）设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品”
，，
所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为.
23．（24-25高三上·上海·阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和.
试解决一下问题：
(1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
(2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．
【答案】(1)
(2)该航班飞往其他地区的可能性最大．
【解析】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，
则，，，
，，，
由全概率公式得，
，
所以该航班准点放行的概率为.
（2），
，
，
因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大．
24．（2025·广东佛山）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”．
(1)证明：；
(2)若，，求和．
【答案】(1)证明见解析
(2),
【解析】（1）若第次为甲发球的条件下第次还是甲发球，
则第次甲没有发出ACE球，故此时，
若第次不是甲发球的条件下第次是甲发球，
（1）乙发ACE球，则第次是甲发球；
（2）乙没有发出ACE球，则有的概率第次是甲发球；
故，
故.
（2）
，,
故，所以即，
所以，
故
而，故为等比数列，
故即.
25．（2024·新疆乌鲁木齐 ）甲、乙、丙、丁相约进行台球比赛，约定每轮比赛均将四人分成两组，进行一对一对打，第1轮比赛甲、乙对打，丙、丁对打，每轮比赛结束后，两名获胜者组成一组在下一轮比赛中对打，两名负者组成一组在下一轮比赛中对打，每组比赛均无平局出现．已知甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为，每组比赛的结果相互独立．
(1)求在第3轮比赛中，甲、丙对打的概率；
(2)求在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率及甲、丙对打的概率；
(3)求在第n轮比赛中，甲获胜的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为第1轮比赛甲、乙对打，所以第2轮比赛甲、乙不可能对打，则第2轮比赛甲只能和丙或丁对打．
因为第3轮比赛甲、丙对打，所以第2轮比赛甲、丙不可能对打，则第2轮比赛甲只能和丁对打．
第2轮比赛甲、丁对打的概率为．
若第3轮比赛甲、丙对打，则第2轮比赛中甲胜丁，丙胜乙，或丁胜甲，乙胜丙．
故所求概率为．
（2）设在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为，
①．
在第轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为，
若在第轮比赛中，甲、乙对打，则在第n轮比赛中，甲、丙对打，乙、丁对打，或者甲、丁对打，乙、丙对打，
所以②．同理可得③，④
由①②可得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
③-④得，设，则，
因为，所以，即，
.
（3）设在第n轮比赛中，甲获胜的概率为，．
26．（24-25 河北唐山·期末）某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为p．
(1)若，，，求p；
(2)若，，求p取最大值时的值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）根据，，，
可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为;
（2）根据，，
可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为
，
求导得：，
当时， ，函数在上单调递增；
当时， ，函数在上单调递减；
所以当时，取到最大值，此时，
故取最大值时，
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