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7.2 离散型随机变量及其分布列
考点一 离散型随机变量的判断
【例1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某电子元件的寿命
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
D．测量某零件的长度产生的测量误差
【一隅三反】
1．（23-24高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某电子元件的寿命
B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C．某人早晨在车站等出租车的时间
D．测量某零件的长度产生的测量误差
2．（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（ ）
A．某座大桥未来经过的车辆数
B．某网站未来内的点击量
C．一天之内的温度
D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分
3．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列变量中，不是离散型随机变量的是（ ）
A．一条河流每日最大流量 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数
4．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ）
A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X
B．测量一个年级所有学生的体重，在范围内的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在范围内的人数记为X
D．某电子元件的寿命X
考点二 离散型随机变量的分布列
【例2】（24-25上海）抛两枚骰子，X是大的点数与小的点数的差．
(1)求差的所有可能；
(2)求X的分布．
【一隅三反】
1.（2024·辽宁抚顺）某地要从2名男运动员 4名女运动员中随机选派3人外出比赛.
(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？
(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列.
2．（2025湖南）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求：
(1)甲测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数X的分布列.
3．（2025北京）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题.
(1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？
(2)求学生甲答对的题数X的分布列.
考点三 随机变量分布列的性质
【例3】（24-25高二上·江西·阶段练习）下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ）
1 2 3 4
P
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25湖北）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（ ）
3 4 5 6 7
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（ ）
0 2
A． B．1 C． D．
3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）：
0 1 2
0.3
则（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2
4．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）随机变量的分布列如下表所示，且，则（ ）
0 1 2 3
0.1 0.1
A．-0.2 B．0.4 C．0.2 D．0
考点四 两点分布
【例4】（23-24高二下·新疆·期中）已知X服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知服从两点分布，若，则（ ）
A．0.48 B．0.52 C．0.24 D．0.26
2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）若服从两点分布，，则（ ）
A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77
3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
考点五 离散型随机变量的分布列综合运用
【例5】（24-25高二上·江西·期末）为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏.
(1)求随机变量X的分布列；
(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率.
【一隅三反】
1．（24-25河南周口）小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次.
(1)求和的值；
(2)求的所有可能取值；
(3)求的分布列.
2．（24-25高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回.
(1)求第二次取出的是红球的概率；
(2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率；
(3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列.
3．（24-25山东聊城）在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球．
(1)记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列；
(2)若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值．
（参考数据：，）
单选题
1．（2023山西）下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
2．（2024江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
3.（2023江苏）下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
二、多选题
4．（24-25高二下·全国·随堂练习） 下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（ ）
A．
0 1 2
0.7 0.15 0.15
B．
-2 0 2 4
0.5 0.2 0.3 0.1
C．
1 2 3
D．
1 2 3
5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
6．（江西省部分校2025届高三下学期2月联考数学试题）已知随机变量的分布列为
0 3
其中成等差数列，则 ．
7．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 .
8．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ．
9．（23-24高二下·广东中山·期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ．
10．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且，则 ．
四、解答题
11．（24-25高二上·吉林·阶段练习）门卫室有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙，他只好逐一尝试．若不能开门，则标记后换一把钥匙继续尝试开门，记打开门时，试开门的次数为X．
(1)试求X的分布；
(2)该员工至多试开3次的概率．
12．（24-2 江苏泰州 ）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲 乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求：
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求随机变量的概率分布.
13．（23-24高二下·贵州·期中）设是不等式的解集，整数．
(1)设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件A包含的样本点．
(2)设，写出随机变量X的分布列，求．
14．（23-24高二下·广东茂名·期中）化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为．
(1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率；
(2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列．
15．（江西省上饶市2024-2025学年高二上学期期末教学质量测试数学试题）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为．
(1)若比赛为三局两胜制：
（i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望；
（ii）求乙最终获胜的概率；
(2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率．
16．（24-25 河南周口·期中）某小区以“弘扬奥运精神，共享全民健身”为主题，组织了一场乒乓球全民挑战赛，并特意邀请了A，B两位乒乓球高手．赛事规定参赛者先从A，B两位高手中选择一位进行挑战，若挑战失败，则参赛者挑战结束；若挑战成功，则继续挑战另一位高手，无论挑战成功与否，参赛者挑战结束．若战胜A高手，参赛者可获得价值100元的乒乓球拍一副；若战胜B高手，参赛者可获得价值50元的高级乒乓球一盒．乒乓球爱好者张某自估战胜A高手的概率为0.3，战胜B高手的概率为0.5，且战胜两位高手的概率与挑战顺序无关，收益预期按奖品价值计算．
(1)若张某先挑战A高手，记X为张某获得的奖品价值（单位：元），求X的分布列．
(2)为使累计奖品价值（单位：元）的期望最大，张某应选择先挑战哪位高手？并说明理由．
17．（24-25吉林白城）传球是排球运动中最基本 最重要的一项技术．传球是由准备姿势 迎球 击球 手型 用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张 小胡 小郭 小李 小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
(1)记小胡 小李 小陈这三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
(2)若刚好抽到小胡 小李 小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记次传球后球在小胡手中的概率为．
①直接写出的值；
②求与的关系式，并求．
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7.2 离散型随机变量及其分布列
考点一 离散型随机变量的判断
【例1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某电子元件的寿命
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
D．测量某零件的长度产生的测量误差
【答案】C
【解析】A选项，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，A错误；
B选项，等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；
C选项，一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，C正确；
D选项，测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量，D错误．
故选：C．
【一隅三反】
1．（23-24高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某电子元件的寿命
B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C．某人早晨在车站等出租车的时间
D．测量某零件的长度产生的测量误差
【答案】B
【解析】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量；
一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；
等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量；
测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量．
故选：B．
2．（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（ ）
A．某座大桥未来经过的车辆数
B．某网站未来内的点击量
C．一天之内的温度
D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分
【答案】ABD
【解析】对于ABD，ABD中的都满足离散型随机变量的四个特征，故ABD符合；
对于C，一天内的温度变化的范围是连续的，无法逐一列出，故C不符合.
故选：ABD.
3．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列变量中，不是离散型随机变量的是（ ）
A．一条河流每日最大流量 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数
【答案】ABC
【解析】离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知只有ABC符合题意.
故选：ABC.
4．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ）
A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X
B．测量一个年级所有学生的体重，在范围内的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在范围内的人数记为X
D．某电子元件的寿命X
【答案】AC
【解析】半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，选项A正确；
体重无法一一列举，选项B不正确；
人数可以列举，选项C正确；
某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，选项D不正确．
故选:AC．
考点二 离散型随机变量的分布列
【例2】（24-25上海）抛两枚骰子，X是大的点数与小的点数的差．
(1)求差的所有可能；
(2)求X的分布．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）每枚骰子的点数共有6种可能，它们的差共有6种可能，
分别是；
（2）可取，
抛两枚骰子，共有36种可能，其中差是0的可能性是6种，
差是1的可能性是10种，差是2的可能性是4种，
差是3的可能性是6种，差是4的可能性是4种，
差是5的可能性是2种．所以得到分布如下
0 1 2 3 4 5
【一隅三反】
1.（2024·辽宁抚顺）某地要从2名男运动员 4名女运动员中随机选派3人外出比赛.
(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？
(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列.
【答案】(1)种
(2)分布列见解析
【解析】（1）共有种选派方法.
（2）由题意知，的取值范围为，
，
所以的分布列为
-3 -1 1
2．（2025湖南）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求：
(1)甲测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数X的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【解析】（1）设甲测试合格为事件A，则.
（2）甲答对的试题数X可以为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
3．（2025北京）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题.
(1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？
(2)求学生甲答对的题数X的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【解析】（1）学生甲恰好答对两题的概率.
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3.
且，
，
，
，
所以X的分布列为
0 1 2 3
考点三 随机变量分布列的性质
【例3】（24-25高二上·江西·阶段练习）下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ）
1 2 3 4
P
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，解得，所以．故选：B.
【一隅三反】
1．（24-25湖北）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（ ）
3 4 5 6 7
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列，
则，即，则.故选：D
2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（ ）
0 2
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，解得，
因为，所以，即，则，
解得，所以，故选：C．
3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）：
0 1 2
0.3
则（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2
【答案】C
【解析】【解析】依题意，，解得，所以.
故选：C
4．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）随机变量的分布列如下表所示，且，则（ ）
0 1 2 3
0.1 0.1
A．-0.2 B．0.4 C．0.2 D．0
【答案】D
【解析】由分布列的性质可得，，即，，
故选：D.
考点四 两点分布
【例4】（23-24高二下·新疆·期中）已知X服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，则．故选：.
【一隅三反】
1．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知服从两点分布，若，则（ ）
A．0.48 B．0.52 C．0.24 D．0.26
【答案】B
【解析】由服从两点分布，，得.故选：B
2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）若服从两点分布，，则（ ）
A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77
【答案】B
【解析】依题意可得，，
所以故选：B.
3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【答案】D
【解析】由题意可知，当时，即，解得，
又因为随机变量服从两点分布，且，所以.故选：D.
考点五 离散型随机变量的分布列综合运用
【例5】（24-25高二上·江西·期末）为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏.
(1)求随机变量X的分布列；
(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【解析】（1）由题意得，随机变量X可取的值为2，3，4，
易知，，，
则随机变量X的分布列如下：
X 2 3 4
P
（2）由（1）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为，，，
记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为，
若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则；
若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”，“”的情形，
则；
若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“”，“”的情形，
则.
记“甲能够领取纪念品”为事件A，
则.
【一隅三反】
1．（24-25河南周口）小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次.
(1)求和的值；
(2)求的所有可能取值；
(3)求的分布列.
【答案】(1)，
(2)1，，，，
(3)分布列见解析
【解析】（1）由题意可得，，
.
（2）由题意可得的所有可能取值为1，，，，.
（3），
，
，
故的分布列为
1 2 3 4 5
2．（24-25高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回.
(1)求第二次取出的是红球的概率；
(2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率；
(3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【解析】（1）第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件，
分别为第一次取出红球，第二次取出红球；第一次取出白球，第二次取出红球；
所以概率.
（2）记第三次取球时发现取出的是红球为事件A，第三次取球后袋中无红球为事件B,
则,
，
所以.
（3）由题意，的可能取值为，
则，
，
，
，
,
所以分布列为：
0 1 2 3 4
3．（24-25山东聊城）在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球．
(1)记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列；
(2)若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值．
（参考数据：，）
【答案】(1)分布列见解析
(2)10
【解析】（1）依题意，X的可能值有0，1，2，3.
则；
；
；
.
故X的分布列为：
0 1 2 3
（2）设乙队在第n次获得发球权的概率为，
则依题意有：，，即，
因，且，
故数列从第二项起构成公比为的等比数列，
则，即，
依题意，由，可得，
两边取常用对数，可得：，即，
因，故，
因，故n的最小值为10.
单选题
1．（2023山西）下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
【答案】C
【解析】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.
故选：C.
2．（2024江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
【答案】D
【解析】当时，由，
所以.
故选：D
3.（2023江苏）下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【答案】A
【解析】对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布；
对于选项B，射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分布；
对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布；
对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布.
故选A.
二、多选题
4．（24-25高二下·全国·随堂练习） 下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（ ）
A．
0 1 2
0.7 0.15 0.15
B．
-2 0 2 4
0.5 0.2 0.3 0.1
C．
1 2 3
D．
1 2 3
【答案】BC
【解析】对于A，满足，且概率和，故A是某个随机变量的分布列；
对于B，满足，但概率和，故B不是某个随机变量的分布列；
对于C，不满足，故C不是某个随机变量的分布列；
对于D，满足，且概率和，故D是某个随机变量的分布列.
故选：BC.
5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】根据题意，随机变量的分布列为，
则有，解得，
则，
．
故选：ABC.
三、填空题
6．（江西省部分校2025届高三下学期2月联考数学试题）已知随机变量的分布列为
0 3
其中成等差数列，则 ．
【答案】
【解析】由题意可知，，，，
故答案为：.
7．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 .
【答案】
【解析】因为X的分布列服从两点分布，所以，
因为，
所以
∴，∴.
故答案为：
8．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ．
【答案】/0.5
【解析】由题意可知或，
由于，所以，
故答案为：
9．（23-24高二下·广东中山·期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ．
【答案】
【解析】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以，
所以，代入有：，
解得：，，
因为离散型随机变量X服从两点分布，所以.
故答案为：.
10．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且，则 ．
【答案】/0.6
【解析】由随机变量X服从两点分布，得，
又因为，
所以．
故答案为：
四、解答题
11．（24-25高二上·吉林·阶段练习）门卫室有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙，他只好逐一尝试．若不能开门，则标记后换一把钥匙继续尝试开门，记打开门时，试开门的次数为X．
(1)试求X的分布；
(2)该员工至多试开3次的概率．
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【解析】（1）X的可能取值为1，2，3，4，5．
，，，
，．
因此X的分布为：
X 1 2 3 4 5
P
（2）
12．（24-2 江苏泰州 ）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲 乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求：
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求随机变量的概率分布.
【答案】(1)3
见解析
【解析】（1）设袋中原有个白球，由题意知：，所以，
解得（舍去），即袋中原有3个白球.
（2）由题意，的可能取值为.
；
；
；
；
；
所以，取球次数的分布列为：
1 2 3 4 5
13．（23-24高二下·贵州·期中）设是不等式的解集，整数．
(1)设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件A包含的样本点．
(2)设，写出随机变量X的分布列，求．
【答案】(1)答案见解析
(2)分布列见解析，
【解析】（1）由，解得．
故
整数m，且
A包含的事件为，，，，．
整数m，且
B包含的事件为、、、、、．
（2）由于m的所有不同取值为，1，0，1，2，3
故的所有不同取值为0，1，4，9．
，，
，．
故X的分布列为：
X 0 1 4 9
P
14．（23-24高二下·广东茂名·期中）化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为．
(1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率；
(2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）设事件为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样”，
由三等奖有4种奖品供选择，故甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种），
因为每位消费者抽中三等奖的概率均为，
所以，．
（2）由题，的所有可能取值为0，1，2，3，
由题知，4个人挑选了4种奖品，共有种情况，
表示4个人挑选了4种奖品，所以；
表示4个人挑选了3种奖品，故有2个人选中同一种奖品，
所以；
当表示4个人挑选了2种奖品，从4种奖品中选2种奖品的方法有（种），
对于被选中的2种奖品，4个人不同的选择方法有（种），
所以有2种奖品被选中的方法有（种），
所以，；
当表示4个人挑选了同一种奖品，
所以．
所以的分布列为
0 1 2 3
15．（江西省上饶市2024-2025学年高二上学期期末教学质量测试数学试题）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为．
(1)若比赛为三局两胜制：
（i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望；
（ii）求乙最终获胜的概率；
(2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率．
【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii）
(2)
【解析】（1）（i）所有可能的取值为2，3
，，
所以的分布列为：
2 3
.
（ii）乙最终获胜的概率.
（2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”．
则，
，
故.
16．（24-25 河南周口·期中）某小区以“弘扬奥运精神，共享全民健身”为主题，组织了一场乒乓球全民挑战赛，并特意邀请了A，B两位乒乓球高手．赛事规定参赛者先从A，B两位高手中选择一位进行挑战，若挑战失败，则参赛者挑战结束；若挑战成功，则继续挑战另一位高手，无论挑战成功与否，参赛者挑战结束．若战胜A高手，参赛者可获得价值100元的乒乓球拍一副；若战胜B高手，参赛者可获得价值50元的高级乒乓球一盒．乒乓球爱好者张某自估战胜A高手的概率为0.3，战胜B高手的概率为0.5，且战胜两位高手的概率与挑战顺序无关，收益预期按奖品价值计算．
(1)若张某先挑战A高手，记X为张某获得的奖品价值（单位：元），求X的分布列．
(2)为使累计奖品价值（单位：元）的期望最大，张某应选择先挑战哪位高手？并说明理由．
【答案】(1)详见解析；
(2)B高手.
【解析】（1）X的可能取值为0，100，150，
则，，，
所以X的分布列为：
X 0 100 150
P 0.7 0.15 0.15
（2）设张某先挑战A高手，累计奖品为元，
则，，
，
所以；
设张某先挑战B高手，累计奖品为元，
则，，
，
所以，
因为，
所以张某应先挑战B高手.
17．（24-25吉林白城）传球是排球运动中最基本 最重要的一项技术．传球是由准备姿势 迎球 击球 手型 用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张 小胡 小郭 小李 小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
(1)记小胡 小李 小陈这三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
(2)若刚好抽到小胡 小李 小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记次传球后球在小胡手中的概率为．
①直接写出的值；
②求与的关系式，并求．
【答案】(1)分布列见解析
(2)①；②；
【解析】（1）的所有可能取值为，
所以，
所以的分布列为
1 2 3
（2）①由题意知，．
②记表示事件“经过次传球后，球在小胡手中”，，
所以
即
所以，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
即次传球后球在小胡手中的概率是．
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