资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
7.3 离散型随机变量的数字特征
考点一 离散型随机变量的均值
【例1-1】（2023·山东济宁）若随机变量的分布列为
且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据所给的分布列，可得，由，可得，解得.
故选: A.
【例1-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下:
0 1
设，则的数学期望的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以.故选：B.
【一隅三反】
1．（23-24高二下·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为
1 2 4
0.4 0.3
则等于（ ）
A．5 B．15 C．45 D．与有关
【答案】B
【解析】根据题意知，，，
，故选：B
2．（23-24高二下·广东江门·期末）已知的分布列为
1 2 3 4
设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，解得，
故，而，
则，故A正确.
故选：A
3．（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（ ）
0 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由分布列的性质可知，，故A正确；
因为Y的期望值为1，所以，所以C错.
若，不满足分布列性质，B错，
由上，有，显然D错.故选：A
考点二 离散型随机变量的方差与标准差
【例2-1】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）已知随机变量的分布列为
0 2 4
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由分布列性质知，，解得，则，
则．故选：B.
【例2-2】（24-2重庆·阶段练习）设，则随机变量的分布列如下表，则当在内增大时（ ）
1 2
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【解析】，
，
该二次函数的对称轴为，
当在内增大时，先减小后增大，
故选：D.
【一隅三反】
1．（23-24高二下·青海·期末）已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为
2 m 14
0.3 0.6 0.1
（ ）
A．5 B．6 C．9.8 D．10.8
【答案】D
【解析】∵，∴，
∴，
∴
故选：D
2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下：
0 1
若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，又，解得，
则．
故选：D
3．（24-25高二上·江西赣州·期末）（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（ ）
2 4 6 8 10
2a 0.25 0.1 0.25
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由分布列的性质可得，
所以，此时，
所以，
，
所以，.
故选：ABD.
考法三 离散型随机变量的均值与方差综合运用
【例3】（23-24高二下·新疆·期中）（多选）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由，得，A正确．
由，得，C正确．
故选：AC.
【一隅三反】
1．（23-24高二下·山西临汾·期中）（多选）已知随机变量 X 的分布列为
x 0 1 2
P a b c 0.25
且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．可能等于0.1
【答案】ABD
【解析】依题意，，解得，
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，则，
解得或，C错误；
对于D，当时，，D正确.
故选：ABD
2（2023上·天津武清 ）有两个随机变量和，它们的分布列分别如下表：
1 2 3 4 5
0.03 0.3 0.5 0.16 0.01
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
则关于它们的期望，和它们的方差和，下列关系正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】A
【解析】,
,
所以且，
故选：A
3．（24-25 山东济南 ）设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
，
故，故A、B错误；
设，
则
，
同理：
，
由，，故，
同理，则有
，
即，故C正确，D错误；故选：C.
考法四 均值与方差在实际生活简单应用
【例4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知，
，
，
则的分布列为：
0 1
可得，；
由已知，
，
，
则的分布列为：
0 1
可得，；
所以.
故选：A.
【例4-2】（24-25高二下·全国·课前预习）两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
机床
次品数 0 1 2 3
0.7 0.2 0.06 0.04
机床
次品数 0 1 2 3
0.8 0.06 0.04 0.10
试想利用什么指标可以比较两台机床的加工质量？
【答案】利用样本方差
【解析】由，
．
因，即根据数学期望无法区分这两台机床的加工质量，故考虑运用方差.
,
,
因，故机床加工的质量更稳定.
由此可见，利用样本方差可以刻画样本数据的稳定性，从而可以较好地比较两台机床的加工质量.
【一隅三反】
1．（24-25高二上·云南昆明·期末）某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为万元和万元.
(1)试分别写出随机变量和的分布列；
(2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由.
【答案】(1)分布列见解析
(2)投资项目一更合理，理由见解析
【解析】（1）由题意随机变量和的分布列为：
400 -100
500 -300 0
（2）（万元），（万元），
又，
，
由，说明项目一 项目二获利的期望值相等，但由于项目一的获利更稳定，
综上所述，该投资公司投资项目一更合理.
2．（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差．
【答案】分布列见解析，，
【解析】由题意得，的可能取值为0，1，2．
，
，
．
故的分布列为
0 1 2
，
．
．
3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）袋中有形状、大小完全相同的4个球，编号分别为，从袋中取出2个球，以X表示取出的2个球中的最大号码．
(1)写出X的分布列；
(2)求X的均值与方差．
【答案】(1)答案见解析
(2)；
【解析】（1）的所有可能取值为.
；；.
故的分布列为
2 3 4
（2）；
.
故X的均值为为；方差为．
一、单选题
1．（24-25高二上·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，的取值可能为1，2，3，
则，，，
则，
解得或，又，所以
故选：C
2．（24-25 江西新余）已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.1，小郅与小祥同学有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀土元素的矿石作出反应）.在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但是否真的含有该元素则需进一步检验，再回实验室途中，小祥提出用2000元向小郅卖出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同学出钱购买，则他获得利润的均值约为：（ ）元.
A．-2200 B．-1100 C．2200 D．7000
【答案】B
【解析】由题意可知：小郅同学要想盈利，必须在所有矿石含有稀有元素的条件下，探测器还能检测出来，
所以小郅同学盈利的概率，且盈利额为元，
小郅同学亏损的概率，且亏损额为元，
所以利润的均值元.
故选：B
3．（23-24高二下·新疆·期中）已知随机变量的概率分布如表则（ ）
1 2 4
A．1 B． C．11 D．15
【答案】D
【解析】依题意，，解得，
则，
所以.
故选：D
4（24-25高二下·全国·课后作业）已知X的分布列如表所示，设，则Y的数学期望的值是（ ）
X 0 1
P a
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】，，，
.
故选：B.
5．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）随机变量X的概率分布为
X 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B
6．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确，
又，，
所以选项B错误，选项C正确，
对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确，
故选：B.
二、多选题
7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由题意，，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个，
概率为：；
，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个，
概率为：；
，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个，
概率为：；
，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个或选择个错误选项；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个，再从个正确选项中选一个，概率为：；
，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个，
概率为：；
，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个，
概率为：；
对于A选项，， A错误；
对于B选项，；
；所以， B正确；
对于C选项，，
，C正确；
对于D选项，，D正确.
故选：BCD.
8．（24-25 广东汕头·期中）设离散型随机变量X的分布列如下表；
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.3 n 0.3
若离散型随机变量，且，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由题意知，所以，
因为，所以，即，
综上，解得，，故A不正确，B正确；
因为，所以，故C正确；
，，所以，故D正确.
故选：BCD.
9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：
0 1 2
且，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意可得，解得，故AB正确，
,，故,故C错误，D正确，
故选：ABD
10．（24-25 贵州贵阳·阶段练习）已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表：
1 2 3
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由分布列性质可得，即；
又，可得，可得；
因此可得，即；
联立，解得，所以A错误，B正确；
对于C，的分布列为
1 4 9
所以，即C错误；
对于D，经计算易知，可得D正确.
故选：BD
11．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（ ）
1 2 3 4
0.5 0.3 0.1
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由分布列的性质知，则.
对A，，故A错误；
对C，，故C错误；
对B，，故B正确；
对D，，故D正确.
故选：BD.
12．（23-24高二下·河南·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表:
0 1 2 5
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由分布列的基本性质知，解得，故A正确;
故，
，故B错误，C正确;
由离散型随机变量期望的性质可得，，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．（2024·四川南充）某一随机变量X的分布列如下表，且，则 .
X 0 1 2 3
P 0.1 m 0.2 n
【答案】8
【解析】由题意，得，解得，
所以，
所以.
故答案为：8.
14．（24-25高二下·全国·课后作业）“镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为 .
【答案】/
【解析】设为走出迷宫所需时间，则的可能取值为2，3，4，5，6，
，，
，，
，
所以的分布列为：
2 3 4 5 6
则.
故答案为：.
15．（24-25高二下·全国·课后作业）端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ．
【答案】
【解析】依题意，的可能取值是，
则，，，
故，
故．
故答案为：.
16．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）随机变量的分布列如下表所示，则 .
1 2 3
【答案】
【解析】由题意可得，故，解得或（舍去），
故随机变量的分布列如下：.
1 2 3
故，，故答案为：
四、解答题
17．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为．
【解析】（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分，3，”，
则，，；
记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分，3，”，
则，，；
事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则（C），
则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为．
（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，，，
则离散型随机变量的分布列为
2 4 6 8 10
所以数学期望．
18．（2024·河南郑州 ）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
(1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率；
(2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
【答案】(1)
(2)期望为；方差为
【解析】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球，
因为球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元，且
，，，所以，
又，所以．
（2）设X为员工取得的红包数额，则可能取值为，
所以，，
，，
所以，
．
19．（24-25高二上·河南南阳·期末）某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为．
(1)对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率．
(2)甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间．
【答案】(1)0.79
(2)应扩建甲车间
【解析】（1）用事件表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件表示“抽取的零件来自乙车间”，
用事件表示“抽取的零件可以出厂销售”，
则，
．
．
（2）甲车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.81，
甲车间加工的每个零件获利的期望为（元），
乙车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.76，
乙车间加工的每个零件获利的期望为（元），
因为，所以应扩建甲车间．
20．（24-25高二上·吉林·期末）某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：
方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元：
方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则每位员工颁发奖金Y万元.
(1)若用方案一，求X的分布列与数学期望；
(2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高 请说明理由；
【答案】(1)分布列见解析，
(2)方案二，理由见解析
【解析】（1）对于方案一，由条件可知有可能取值为3，4，5，6，
，，
，，
∴的分布列为：
3 4 5 6
期望值.
（2）对于方案二，由条件可得值为3，4，5，6，
，，
， ，
∴的期望值
∵所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高.
21．（24-25高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3．
(1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望；
(2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)选择方案一，能使得该生的得分更高
【解析】（1）解：由题意知，随机变量的取值可能是0，20，40，60，
可得，
，
，
，
则变量的分布列如下表所示：
0 20 40 60
0.008 0.096 0.384 0.512
所以期望为．
（2）解：若该学生选择方案二，记得分为变量，则的取值可能为，
可得，，
，
，
，
，
，
则变量的分布列为：
0 10 20 30 40 50 70
0.012 0.012 0.096 0.112 0.192 0.32 0.256
所以期望为
．
结合（1）知，
所以选择方案一，能使得该生的得分更高．
22．（23-24高二下·山东临沂·期中）某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求：
(1)抽到他能答对题目数的分布列；
(2)求的期望和方差.
【答案】(1)答案见解析
(2).
【解析】（1）由题意知：所有可能的取值为1，2，3，4.
；；
；.
∴的分布列为
1 2 3 4
（2）的期望：，
又，
∴方差.
23．（23-24高二下·山东青岛·期中）袋子装有4个黑球，6个白球．
(1)每次从袋子中取出1个球，若有放回地抽取2次，求恰好取到1个黑球的概率；
(2)每次从袋子中取出1个球，若不放回地抽取2次，求取到黑球数X得分布列及期望；
(3)每次从袋子中取出2个球，若是不放回地抽取，求第二次抽到2个黑球的概率．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【解析】1）设恰好取到1个黑球为事件，由题可知，每次抽到黑球的概率为，
所以．
（2）由题可知，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
0 1 2
则．
（3）设第二次抽到2个黑球为事件，设第一次取到2个球为事件，
其中含个白球分别为事件，
则，，
由题可知，，，，
所以
．
24．（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）假设某同学每次投篮命中的概率均为．
(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；
(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外再投个．试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率．
（2）设该同学投篮的次数为，则的可能值为，，
于是，
数学期望，
令，
则，
，
显然数列是递减的，
当时，，，
当时，，，
即有，因此最大，
所以当时，该同学投篮次数的期望值最大．
25．（23-24高二下·广东肇庆·期末）某省高考自2024年起数学考试多选题（题号9~11）的计分标准是：每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分（若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分），错选或不选得0分．每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项．统计规律显示：多选题正确答案是“选两项”的概率是，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错．
(1)假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题（满分18分）所有可能总得分的中位数；
(2)假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项（既没空选也没选四项，所有选法等可能），求乙第10题得0分的概率；
(3)第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值的大小．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）因为第9题得6分，第10题得分可能是0，4，6分，第11题得分可能是0，2，3分，
因此总得分可能有以下情形：6+0+0=6，6+0+2=8，6+0+3=9，6+4+0=10，6+4+2=12，
6+6+0=12，6+4+3=13，6+6+2=14，6+6+3=15，
故总得分只有：6，8，9，10，12，13，14，15共8个得分，
所以总得分的中位数是;
（2）因为乙同学既没空选也没选四项，则选一项且不得分有种选法，
选两项且不得分有种选法，选三项且不得分有种选法，
这道题的总选法有：种，
所以；
（3）若第11题正确答案是“选两项”，则的取值为0，3，的取值为0，6，
且，，，；
若第11题正确答案是“选三项”，则的取值为0，2，的取值为0，4，
且，，，；
记“选两项”和“选三项”时，与的平均值分别为和，
则
因为第11题正确答案是“选两项”的概率是，所以正确答案是“选三项”的概率也是，
所以，
故.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
7.3 离散型随机变量的数字特征
考点一 离散型随机变量的均值
【例1-1】（2023·山东济宁）若随机变量的分布列为
且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下:
0 1
设，则的数学期望的值是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（23-24高二下·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为
1 2 4
0.4 0.3
则等于（ ）
A．5 B．15 C．45 D．与有关
2．（23-24高二下·广东江门·期末）已知的分布列为
1 2 3 4
设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（ ）
0 2
A． B．
C． D．
考点二 离散型随机变量的方差与标准差
【例2-1】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）已知随机变量的分布列为
0 2 4
则（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（24-2重庆·阶段练习）设，则随机变量的分布列如下表，则当在内增大时（ ）
1 2
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【一隅三反】
1．（23-24高二下·青海·期末）已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为
2 m 14
0.3 0.6 0.1
（ ）
A．5 B．6 C．9.8 D．10.8
2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下：
0 1
若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·江西赣州·期末）（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（ ）
2 4 6 8 10
2a 0.25 0.1 0.25
A． B．
C． D．
考法三 离散型随机变量的均值与方差综合运用
【例3】（23-24高二下·新疆·期中）（多选）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（23-24高二下·山西临汾·期中）（多选）已知随机变量 X 的分布列为
x 0 1 2
P a b c 0.25
且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．可能等于0.1
2（2023上·天津武清 ）有两个随机变量和，它们的分布列分别如下表：
1 2 3 4 5
0.03 0.3 0.5 0.16 0.01
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
则关于它们的期望，和它们的方差和，下列关系正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
3．（24-25 山东济南 ）设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（ ）
A． B．
C． D．
考法四 均值与方差在实际生活简单应用
【例4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【例4-2】（24-25高二下·全国·课前预习）两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
机床
次品数 0 1 2 3
0.7 0.2 0.06 0.04
机床
次品数 0 1 2 3
0.8 0.06 0.04 0.10
试想利用什么指标可以比较两台机床的加工质量？
【一隅三反】
1．（24-25高二上·云南昆明·期末）某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为万元和万元.
(1)试分别写出随机变量和的分布列；
(2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由.
2．（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差．
3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）袋中有形状、大小完全相同的4个球，编号分别为，从袋中取出2个球，以X表示取出的2个球中的最大号码．
(1)写出X的分布列；
(2)求X的均值与方差．
一、单选题
1．（24-25高二上·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25 江西新余）已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.1，小郅与小祥同学有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀土元素的矿石作出反应）.在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但是否真的含有该元素则需进一步检验，再回实验室途中，小祥提出用2000元向小郅卖出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同学出钱购买，则他获得利润的均值约为：（ ）元.
A．-2200 B．-1100 C．2200 D．7000
3．（23-24高二下·新疆·期中）已知随机变量的概率分布如表则（ ）
1 2 4
A．1 B． C．11 D．15
4（24-25高二下·全国·课后作业）已知X的分布列如表所示，设，则Y的数学期望的值是（ ）
X 0 1
P a
A． B． C．1 D．
5．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）随机变量X的概率分布为
X 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
二、多选题
7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25 广东汕头·期中）设离散型随机变量X的分布列如下表；
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.3 n 0.3
若离散型随机变量，且，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：
0 1 2
且，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25 贵州贵阳·阶段练习）已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表：
1 2 3
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（ ）
1 2 3 4
0.5 0.3 0.1
A． B．
C． D．
12．（23-24高二下·河南·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表:
0 1 2 5
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2024·四川南充）某一随机变量X的分布列如下表，且，则 .
X 0 1 2 3
P 0.1 m 0.2 n
14．（24-25高二下·全国·课后作业）“镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为 .
15．（24-25高二下·全国·课后作业）端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ．
16．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）随机变量的分布列如下表所示，则 .
1 2 3
四、解答题
17．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
18．（2024·河南郑州 ）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
(1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率；
(2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
19．（24-25高二上·河南南阳·期末）某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为．
(1)对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率．
(2)甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间．
20．（24-25高二上·吉林·期末）某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：
方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元：
方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则每位员工颁发奖金Y万元.
(1)若用方案一，求X的分布列与数学期望；
(2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高 请说明理由；
21．（24-25高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3．
(1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望；
(2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？
22．（23-24高二下·山东临沂·期中）某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求：
(1)抽到他能答对题目数的分布列；
(2)求的期望和方差.
23．（23-24高二下·山东青岛·期中）袋子装有4个黑球，6个白球．
(1)每次从袋子中取出1个球，若有放回地抽取2次，求恰好取到1个黑球的概率；
(2)每次从袋子中取出1个球，若不放回地抽取2次，求取到黑球数X得分布列及期望；
(3)每次从袋子中取出2个球，若是不放回地抽取，求第二次抽到2个黑球的概率．
24．（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）假设某同学每次投篮命中的概率均为．
(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；
(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外再投个．试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？
25．（23-24高二下·广东肇庆·期末）某省高考自2024年起数学考试多选题（题号9~11）的计分标准是：每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分（若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分），错选或不选得0分．每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项．统计规律显示：多选题正确答案是“选两项”的概率是，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错．
(1)假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题（满分18分）所有可能总得分的中位数；
(2)假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项（既没空选也没选四项，所有选法等可能），求乙第10题得0分的概率；
(3)第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值的大小．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑