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7.4 二项分布与超几何分布
考点一 二项分布
【例1】（24-25高二上·河南南阳·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．
(1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率；
(2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）设甲击中的环数多于乙击中的环数为事件A，
则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，
所以.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，
由（1）知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则，
因此，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
期望.
【一隅三反】
1．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是，进入达人秀决赛的概率均是，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响．
(1)求甲两个比赛都进入决赛的概率；
(2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为．求随机变量的概率分布和数学期望
【答案】(1)
(2)分布列见解析，.
【解析】（1）设“甲进入校园歌手大赛决赛”为事件，“甲进入达人秀决赛”为事件，
则，
因为每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响，
所以事件和事件相互独立，
所以甲两个比赛都进入决赛的概率为.
故甲两个比赛都进入决赛的概率为.
（2）的可能取值为，所以
，
，
，
，
故随机变量的分布列为：
所以.
2．（23-24 四川攀枝花·阶段练习）某学校食堂中午和晚上都会提供A，B两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为：在中午选择A类套餐的前提下，晚上还选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为；在中午选择B类套餐的前提下，晚上选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为．
(1)求同学甲晚上选择B类套餐的概率；
(2)记某宿舍的4名同学在晚上选择B类套餐的人数为X，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【解析】（1）设事件为甲晚上选套餐，事件为甲中午选套餐，事件为甲中午选套餐，
则，，故.
（2）由（1）知：，则宿舍的4名同学晚上选B套餐的人数为，
所以，
则，，
，，
，
所以X的分布列如下，
0 1 2 3 4
则.
3．（23-24高二下·天津西青·期末）历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作．
(1)设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率；
(2)若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率；
(3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)(2)(3)分布列见解析；期望为
【解析】（1）由题意得；
（2）该工艺画师进行3次制作，恰有一件优秀作品为事件B
；
（3）随机变量X的取值为
由题意可知：
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
或者．
考点二 二项分布的均值与方差
【例2-1】（江西省九江市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题）若随机变量，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【答案】B
【解析】根据二项分布的知识，得，.故选：B．
【例2-2】（江西省上饶市2024-2025学年高二上学期期末教学质量测试数学试题）已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，解得.故选：C.
【一隅三反】
1．（24-25广西·开学考试）已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，解得.
故选：A.
2．（24-25 安徽阜阳）已知离散型随机变量服从二项分布，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于服从二项分布，故，，故AC错误，
,,故C错误，D正确，
故选：D
3．（24-25辽宁锦州·期末）以下说法正确的个数为（ ）
①两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0；
②设是随机变量，则，；
③设随机变量，若，则；
④设随机变量，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故①错误；
若是随机变量，则，故②正确；
随机变量，若，则，故③错误；
设随机变量，则，当且仅当，时等号成立，故④错误；故选：B．
考点三 超几何分布的判断
【例3】（2025河南）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
【答案】B
【解析】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误；
对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确；
对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误；
对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024山东滨州·期中）一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A．X表示取出的最小号码
B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码
C． X表示取出的红球个数
D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数
【答案】C
【解析】对于A，B，D不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A，B，D错误；
对于C，将红球个数视作正品数，黄球个数视作次品数，则可以用超几何分布的数学模型计算概率.
故选：C.
2.（2023湖南）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【答案】B
【解析】由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.
故选：B.
3（2024北京）(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
【答案】ABD
【解析】依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取次，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.
故选：ABD
考点四 超几何分布的均值
【例4】（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球.
(1)求取出的3个球中有2个白球的概率；
(2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）所求概率为
（2）X可能的取值为0，1，2.
，
.
故X的分布列为
0 1 2
故.
【一隅三反】
1．（24-25高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率；
(2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）根据频率分布直方图可知，在区间的频率为，
所以随机抽取三人，至少有两人的年龄在区间内的概率为．
（2）因为社区居民年龄在内的人数为，在内的人数为6．
所以的可能取值为．
则，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以，
所以，所以．
2．（23-24高二下·四川绵阳·期末）2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹虏舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X.
(1)求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种
(2)求X的分布列及均值.
【答案】(1)31(2)分布列见解析，
【解析】（1）高二年级至少2名同学入选校队包括以下情况：
高二年级仅2名同学入选校队有种；
高二年级仅3名同学入选校队有种；
高二年级4名同学入选校队有种；
高二年级至少2名同学入选校队共有18+12+1=31种选法．
（2）由题意可知，随机变量X的取值为0，1，2，3，
校队由0个女生4个男生组成时，，
校队由1个女生3个男生组成时，，
校队由2个女生2个男生组成时，，
校队由3个女生1个男生组成时，，
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的均值为：．
3．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在和内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在内的学员人数为，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【解析】（1）由直方图可知，
解得．
因为，
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在内．
设学员该项技能的评价指标的中位数为，则，
解得．
（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在内的有4名，在内的有8名．
由题意可知的所有可能取值为．
，，
，，
，
则的分布列为
0 1 2 3 4
考点五 二项分布与超几何分布的辨析
【例5-1】（2024江苏）（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．
【答案】CD
【解析】由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；
X的取值分别为0，1，2，3，4，则，，，，，
∴，故A错误，D正确．
故选：CD．
【例5-2】（24-25高二下·全国·课堂例题）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．
(1)若从10件产品中任意抽取1件，设取到一等品的件数为，求的分布列；
(2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为，求的分布列；
(3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为，求的分布列．
【答案】答案见解析
【解析】（1）若只抽取1件，则只有抽到一等品与抽不到一等品两种情况，故的取值只有0和1两种情况，服从两点分布，
，则．
因此随机变量的分布列为
0 1
（2）若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为，3次抽取可以看成3次独立重复试验，
因此，所以，
，，
．
因此随机变量的分布列为
0 1 2 3
（3）若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品的件数服从参数10，3，3的超几何分布，
即，所以从10件产品中任取3件，其中恰有件一等品的概率为，．
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
【一隅三反】
1．（2024河北）（多选）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，员工A有放回地抽取一件产品为次品的概率为，抽取3件产品，次品数，则，
员工B无放回地随机抽取3件，因此次品数服从超几何分布，，（），
，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误．
故选：ABD.
2．（24-25湖南）（多选）已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布
【答案】BC
【解析】对于A，由，得，则，A正确；
对于B，由，得，则，B错误；
对于C，由，得，故，C错误；
对于D，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D正确.
故选：BC
3．（2024广东湛江·期中）袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求；
(1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列；
(2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．
【答案】(1)分布列见解析；
(2)分布列见解析.
【解析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3，
每次抽到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2，
，
故Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
考点六 二项分布的随机变量概率最值
【例6-1】（2024·广东广州）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
【答案】(1)，平均时间为小时
(2)分布列见解析，期望
(3)
【解析】（1）由已知，解得，
所以平均数为
.
（2）这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，
所以，，
则分布列为
期望；
（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，
若为最大值，则，
即，
即，解得，
又，且，则.
【例6-2】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？请说明理由.
【答案】(1)0.1；(2)（i）490；（ii）应该对余下的产品作检验，理由见解析.
【解析】（1）方法一（通性通法）利用导数求最值
20件产品中恰有2件不合格品的概率为.
因此.
令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以的最大值点为；
方法二（最优解）均值不等式
由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为.
，
当且仅当，即取等号，
故即为所求.
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，
即，且,
所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
【一隅三反】
1．（2024上海闵行·期末）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（A1pine Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目．冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项目．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目．现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛．现已知每位参赛运动员水平相当．
(1)求每位运动员进入胜者组的概率，及每位败者组运动员复活的概率；
(2)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．
【答案】(1)，(2)的分布列见详解，(3)1人，分析过程见详解.
【解析】（1）每位运动员进入胜者组的概率为,每位败者组运动员复活的概率为；
（2）由已知条件得进入胜者组的人数为,
所以，其中，
所以，，
，，
，，
则的分布列为
数学期望，
（3）设从败者组选取的人中有人复活，则，
所以，
当最大时，用满足，
即 ，解得，
又因为，所以，即最有可能有1人复活.
2（23-24高二下·四川眉山·期末）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
(1)求一次数据能被软件准确分析的概率；
(2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
①求X的方差；
②当n为何值时，的值最大
【答案】(1)(2)①；②
【解析】（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则，
所以．
所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75．
（2）由（1）可知：，
①依题意，，所以的方差；
②可知，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
于是
所以当时，最大，即时，的值最大．
3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下：
方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；
方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖.
(1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据；
(2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？
【答案】(1)答案见解析(2)60
【解析】（1）方案一：设中奖次数为，若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，
即，所以的数学期望为，
方差为；
方案二：设中奖次数为，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，
中奖次数的所有可能取值为0，1，2，则，
，，
所以的分布列为
0 1 2
所以的数学期望为，
方差，
，，两种方案中奖次数的期望相同，但方案一的方差较小，中奖的波动性小，
稳定性较好，故从中奖的数字特征角度来看，顾客甲选方案一较好.
（2）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为，则300位顾客按照方案二抽奖，
其中中奖2次的人数，
恰有人中奖2次的概率为，，，
令，解得，
于是，当时，；
当时，，故当时，最大，
所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大.
一、多选题
1．（24-25河南周口）已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，则下列说法正确的是（ ）
A．若将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空，则共有256种分配方法
B．若从袋子中不放回地摸出4个球（1次1个），记X为摸出的球中红球的个数，则
C．若从袋子中不放回地依次摸球（1次1个），记Y为最后1个红球被摸出所需的摸球次数，则
D．若从袋子中有放回地依次摸出4次（1次1个），记Z为摸出的红球与黄球的次数之差，则
【答案】BCD
【解析】对于A，将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空，
则共有种分配方法，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，可取，则，
，，
，
故，故C正确；
对于D，设为摸出的红球的个数，则，
而，故，故，
故D正确；
故选：BCD.
2．（24-25湖南长沙）如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（ ）
A．
B．
C．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为
D．当时，
【答案】ACD
【解析】由题意可知，所以，，故A正确，B错误；
一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为，故C正确；
当时，一次实验中没有遇到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，
故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D正确.
故选：ACD.
3．（24-25山东滨州）已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（ ）
A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为
B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为
C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为
D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为
【答案】AD
【解析】对于A选项，若每次取出的球放回，则每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，
所以，连续摸取次，恰好两次取出红球的概率为，A对；
对于B选项，若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为，B错；
对于C选项，若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，
则袋子中还有个红球，个白球，则第三次抽到红球的概率为，C错；
对于D选项，若每次取出的球不放回，则取出红球的次数服从超几何分布，
且袋中的红球个数为个，白球的个数为个，共个球，且共摸球次，
由超几何分布的期望公式可得，D对.
故选：AD.
4．（24-25山西·阶段练习）某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件先由智能检测系统进行检测，智能检测系统能检测出不合格零部件，但会把的合格零部件判定为不合格，所以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件，通过统计需要人工进行第二次检测的零部件中，零部件的合格率为，则（ ）
A．该零部件的合格率为
B．从该代工厂加工的零部件中任取100个，则取到的合格品个数的均值为96
C．从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有1个为合格品，则第1次取到合格品的概率为
D．从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，取到5件或6件合格品的概率最大
【答案】BCD
【解析】设零部件的合格率为，由题意可得，解得，故A错误；
从该代工厂加工的零部件中任取100个，记取到的合格品个数为，
则，故B正确；
从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，
至少有1个为合格品的概率为，
所以所求概率为，故C正确；
从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，记取到件合格品，
则
，
所以当时，，当时，，
当时，，所以或最大，故D正确.
故选：BCD.
5．（24-25甘肃白银·期中）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由题意可知每次取到红色卡片的概率为，则，故A项错误；
，故B项正确；
，故C项正确；
，故D项错误.
故选：BC
6．（24-25安徽亳州·开学考试）已知随机变量满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对A，因为，所以，
解得，故A错误；
对B，由上知，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确．
故选：BCD．
7．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则下面计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】设 “向右下落”， “向左下落”，则，
因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，
而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以，
对于A，故A正确；
对于B,，故B错误；
对于C，故C正确；
对于D，故D正确．
故选：ACD．
8．（2024高二·全国·专题练习）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．移动次后质点位于原点的概率最大
【答案】ABD
【解析】设随机变量表示“移动次后质点向右移动的次数”，则，
由题意知，即.
对于A：，A正确；
对于B：，B正确；
对于C：，C错误；
对于D：的所有可能取值有，
，，
当时，最大，最大，D正确.
故选：ABD.
二、填空题
9．（24-25湖北武汉）已知随机变量X，Y均服从分布，若，且，则 .
【答案】
【解析】因为随机变量X，Y均服从分布，且，
所以，
因为，所以，
且
因为，所以，
因此，
所以
故答案为：.
10．（24-25高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ．
【答案】7
【解析】依题意，得解得，
故，所以．
当最大时，
即
即整理得
解得，而，因此．
11．（24-25天津西青·阶段练习）已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球.若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则恰有次摸到红球的概率为 ；若有放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则摸到红球的次数的期望为 .
【答案】 /
【解析】一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球.
若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次，
恰有次摸到红球的概率为；
若有放回地摸球，每次摸个球，每次摸到红球的概率为，
摸取次，则摸到红球的次数，由二项分布的期望公式可得.
故答案为：；.
12．（24-25 四川眉山·阶段练习）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是 .

【答案】
【解析】因为向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，
则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，
此时概率为：.
故答案为：.
13．（24-25高二上·四川成都·期中）在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲 乙 丙 丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜 平 负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为 .
【答案】
【解析】（1）甲胜乙丙，且甲平或负丁：
① 乙胜丙，且乙平或负丁，概率为；
② 乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为．
因此，（1）概率为．
（2）甲胜乙丁，平或负丙，同（1），概率为．
（3）甲胜丙丁：
① 甲平乙，乙胜丙，且乙平或负丁，此时概率为；
② 甲平乙，乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为；
③ 甲负乙，乙平或负丙、丁，此时概率为，
因此，（3）概率为．
综上：甲胜两场且乙胜一场的概率为．
故答案为：
三、解答题
14．（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为．
(1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率；
(2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）由题设，路口遇到红灯私家车数量，则．
（2）由题设，路口遇到红灯私家车数量，
一辆私家车遇到红灯的方差为，
当且仅当时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是．
由题可得，的可能取值为，则
，
，
．
所以其分布列为：
0 1 2 3 4 5
．
14．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两队参加某次知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且每个人答对与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分.
(1)求随机变量的分布列；
(2)设表示事件“甲得2分，乙得1分"，求.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【解析】（1）因为甲队中每人答对的概率均为，
由题意可知：，则的可能取值为0，1，2，3，
且，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
（2）甲得2分，乙得1分，两事件是相互独立的，
由（1）可知：甲得2分，其概率，
乙得1分，用表示事件“乙得1分”，则．
根据相互独立事件的概率公式得.
15．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为.
(1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
(2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）记事件：会员为男会员，：会员为女会员，事件：对服务质量满意，由题可知，，
所以.
（2）可能的取值为，
则，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
16．（23-24高二下·河南驻马店·期末）如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，记经过，次移动后，该质点位于X的位置.
(1)当时，求，；
(2)当时，求随机变量X的分布列及数学期望.
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，期望为.
【解析】（1）当时，质点所能到达的位置必满足且为偶数，
若“”则表示四次移动中向右1次，向左3次，
因此.
.
（2）当时，质点所能到达的位置必满足且为奇数，
因此随机变量的所有可能取值为，
因此随机变量的分布列为
，
，
，
，
，
，
因此随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为
.
17．（23-24高二下·天津河北·期末）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球．
(1)若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率；
(2)若，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若，，求n和N的值；
(3)若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【解析】（1）令事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到黄球，则
，，
所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率为，
（2）令事件C：摸一次摸到红球，则，
由题意随机变量X服从二项分布，，
因为，，所以，
解得：，
（3）由题意随机变量Y的所有可能取值为2，3，4，
，，，
所以，Y的分布列为
Y 2 3 4
P
所以
18．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发.
(1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率；
(2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立.
①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差；
②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值.
【答案】(1)
(2)①分布列见详解，期望，方差；
②
【解析】（1）设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，，
“两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”，
则，，
则.
（2）①返回室的粒子个数的可能性为，，，，
服从二项分布：
，，
，，
，
所以期望，方差；
②的可能取值为，此时，
个粒子返回室的概率为，
则，
所以，
当时，取最大值.
19．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖.
(1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求；
(2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)2枚
【解析】（1）由题意得，可取0，1，2，3，4.
，
，
，
，…
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
（2）每一轮获得纪念章的概率为，
每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，
设10轮答题获得纪念章的数量为，则，
，.
由，
得，
解得，又，得，则获得2枚纪念章的概率最大.
20．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图：
(1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望；
(2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)证明见解析
【解析】（1）因为体育活动时间位于和的频率分别为0.28和0.2，
所以抽取的12名学生中位于的有人，
位于的有人，
所以随机变量所有可能取值为，且服从超几何分布，
故，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
（2）由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为：
.
设“抽取的名学生中每天的运动时间不低于40分钟的人数”为，则，
，
设，
则当“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大时，
有，
即，
化简得，解得，
因为且，所以时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大.
21．（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图．
(1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，
①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量
②求抽到的一级果个数的数学期望；
(2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？
【答案】(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②；
(2)当时，最大
【解析】（1）①果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为，
故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个；
②的可能取值为，
故，，，
，
故
（2）一级果的频率为，
用频率代替概率，故，
故，
令，
故，
解得，
又，故，
故当时，最大.
22．（23-24高二下·浙江宁波·期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由.
【答案】(1)11.5
(2)平均值为9，方差为
(3)，理由见解析
【解析】（1）由频率分布直方图得：
，解得
频率分布直方图中，第一个小长方形面积为
第二个小长方形面积为
第三、四个小长方形面积为
第五个小长方形面积为
第六个小长方形面积为
前六个长方形面积和为0.8，
所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内，
设高一学生阅读时间的上四分位数为；，解得
（2）按分层抽样二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人
设这一组的平均值，方差
所以总体方差是，解得
（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，
由频率分布直方图可知内的概率是，
由
得
解得
所以当最大时，
23．（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率；
(2)分别列出乙同学选择两种方案得分的分布列，并说明乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由见解析
【解析】（1）甲同学采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题，
∴其概率；
（2）乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由如下：若采用方案一，则其得分X的可能取值为0，30，60，90，∴；；
；，
∴X的分布列为
X 0 30 60 90
P
∴X的数学期望；
若采用方案二，则其得分Y的可能为取值为0，20，30，50，60，90，
∴；；
；；
；，
∴Y的分布列为
Y 0 20 30 50 60 90
P
∴Y的数学期望，
∵，∴乙同学选择方案二参加比赛更加有利.
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7.4 二项分布与超几何分布
考点一 二项分布
【例1】（24-25高二上·河南南阳·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．
(1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率；
(2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望．
【一隅三反】
1．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是，进入达人秀决赛的概率均是，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响．
(1)求甲两个比赛都进入决赛的概率；
(2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为．求随机变量的概率分布和数学期望
2．（23-24 四川攀枝花·阶段练习）某学校食堂中午和晚上都会提供A，B两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为：在中午选择A类套餐的前提下，晚上还选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为；在中午选择B类套餐的前提下，晚上选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为．
(1)求同学甲晚上选择B类套餐的概率；
(2)记某宿舍的4名同学在晚上选择B类套餐的人数为X，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X的分布列及数学期望．
3．（23-24高二下·天津西青·期末）历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作．
(1)设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率；
(2)若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率；
(3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望．
考点二 二项分布的均值与方差
【例2-1】（江西省九江市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题）若随机变量，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【例2-2】（江西省上饶市2024-2025学年高二上学期期末教学质量测试数学试题）已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25广西·开学考试）已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25 安徽阜阳）已知离散型随机变量服从二项分布，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25辽宁锦州·期末）以下说法正确的个数为（ ）
①两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0；
②设是随机变量，则，；
③设随机变量，若，则；
④设随机变量，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点三 超几何分布的判断
【例3】（2025河南）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
【一隅三反】
1．（2024山东滨州·期中）一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A．X表示取出的最小号码
B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码
C． X表示取出的红球个数
D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数
2.（2023湖南）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
3（2024北京）(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
考点四 超几何分布的均值
【例4】（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球.
(1)求取出的3个球中有2个白球的概率；
(2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望.
【一隅三反】
1．（24-25高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率；
(2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求．
2．（23-24高二下·四川绵阳·期末）2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹虏舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X.
(1)求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种
(2)求X的分布列及均值.
3．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在和内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在内的学员人数为，求的分布列与数学期望．
考点五 二项分布与超几何分布的辨析
【例5-1】（2024江苏）（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．
【例5-2】（24-25高二下·全国·课堂例题）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．
(1)若从10件产品中任意抽取1件，设取到一等品的件数为，求的分布列；
(2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为，求的分布列；
(3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为，求的分布列．
【一隅三反】
1．（2024河北）（多选）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布
C． D．
2．（24-25湖南）（多选）已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布
3．（2024广东湛江·期中）袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求；
(1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列；
(2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．
考点六 二项分布的随机变量概率最值
【例6-1】（2024·广东广州）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
【例6-2】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？请说明理由.
【一隅三反】
1．（2024上海闵行·期末）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（A1pine Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目．冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项目．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目．现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛．现已知每位参赛运动员水平相当．
(1)求每位运动员进入胜者组的概率，及每位败者组运动员复活的概率；
(2)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．
2（23-24高二下·四川眉山·期末）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
(1)求一次数据能被软件准确分析的概率；
(2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
①求X的方差；
②当n为何值时，的值最大
3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下：
方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；
方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖.
(1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据；
(2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？
一、多选题
1．（24-25河南周口）已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，则下列说法正确的是（ ）
A．若将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空，则共有256种分配方法
B．若从袋子中不放回地摸出4个球（1次1个），记X为摸出的球中红球的个数，则
C．若从袋子中不放回地依次摸球（1次1个），记Y为最后1个红球被摸出所需的摸球次数，则
D．若从袋子中有放回地依次摸出4次（1次1个），记Z为摸出的红球与黄球的次数之差，则
2．（24-25湖南长沙）如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（ ）
A．
B．
C．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为
D．当时，
3．（24-25山东滨州）已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（ ）
A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为
B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为
C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为
D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为
4．（24-25山西·阶段练习）某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件先由智能检测系统进行检测，智能检测系统能检测出不合格零部件，但会把的合格零部件判定为不合格，所以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件，通过统计需要人工进行第二次检测的零部件中，零部件的合格率为，则（ ）
A．该零部件的合格率为
B．从该代工厂加工的零部件中任取100个，则取到的合格品个数的均值为96
C．从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有1个为合格品，则第1次取到合格品的概率为
D．从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，取到5件或6件合格品的概率最大
5．（24-25甘肃白银·期中）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25安徽亳州·开学考试）已知随机变量满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则下面计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二·全国·专题练习）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．移动次后质点位于原点的概率最大
二、填空题
9．（24-25湖北武汉）已知随机变量X，Y均服从分布，若，且，则 .
10．（24-25高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ．
11．（24-25天津西青·阶段练习）已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球.若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则恰有次摸到红球的概率为 ；若有放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则摸到红球的次数的期望为 .
12．（24-25 四川眉山·阶段练习）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是 .

13．（24-25高二上·四川成都·期中）在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲 乙 丙 丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜 平 负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为 .
三、解答题
14．（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为．
(1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率；
(2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望．
14．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两队参加某次知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且每个人答对与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分.
(1)求随机变量的分布列；
(2)设表示事件“甲得2分，乙得1分"，求.
15．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为.
(1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
(2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望.
16．（23-24高二下·河南驻马店·期末）如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，记经过，次移动后，该质点位于X的位置.
(1)当时，求，；
(2)当时，求随机变量X的分布列及数学期望.
.
17．（23-24高二下·天津河北·期末）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球．
(1)若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率；
(2)若，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若，，求n和N的值；
(3)若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望．
18．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发.
(1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率；
(2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立.
①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差；
②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值.
19．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖.
(1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求；
(2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.
20．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图：
(1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望；
(2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大.
21．（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图．
(1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，
①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量
②求抽到的一级果个数的数学期望；
(2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？
22．（23-24高二下·浙江宁波·期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由.
23．（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率；
(2)分别列出乙同学选择两种方案得分的分布列，并说明乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利.
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