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7.5 正态分布
考点一 正态密度函数
【例1-1】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（ ）
A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和
【例1-2】（23-24高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
考点二 指定区间的概率
【例2】（24-25 江苏扬州 ）已知随机变量服从正态分布，若，则 ．
【一隅三反】
1．（24-25高二上·江西九江·期末）（多选）已知随机变量，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25 安徽蚌埠 ）已知随机变量，若，则 ．
3．（24-25 河南周口 ）（多选）设随机变量，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
考点三 根据正态分布对称性求参数
【例3】（2025·福建厦门）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（ ）
A．-1 B． C．0 D．
【一隅三反】
1．（24-25江苏常州）设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ）
A． B．1 C．2 D．4
2（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为（ ）
A．5 B．3 C． D．
3．（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量，且，则实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点四 3σ原则
【例4】（24-25湖南长沙·阶段练习）巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683
【一隅三反】
1．（24-25 江西赣州 ）（多选）小华是一位篮球爱好者，每天坚持投篮训练，每天至少训练10组，每组投篮50次，且每一组投篮命中的次数 X服从正态分布，则（ ）参考数据：，，
A． B．
C． D．
2．（24-25 广西·阶段练习）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25 四川达州 ）（多选）已知随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点五 正态分布在实际应用
【例5-1】（24-25高二上·江西南昌·期末）学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（ ）人.
（参考数据，，）
A． B． C．954 D．477
【例5-2】（24-25 浙江 ）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布.
(1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少；
(2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点；
参考数据：若，则，，.
【一隅三反】
1．（24-25高二下·全国·课前预习）“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（若随机变量，则，，）（ ）
A．16 B．18 C．20 D．25
2．（2024河北）按照国际乒联的规定,标准的乒乓球在直径符合的条件下,重量为2.7克,其重量的误差在区间[－0.081,0.081]内就认为是合格产品,在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本,其重量如下：
2.72　2.68　2.7　2.75　2.66　2.7　2.6　2.69　2.7 2.8
(1)计算上述10件产品的误差的平均数及标准差s；
(2)①利用（1）中求的平均数,标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%；
②如果产品的误差服从正态分布,那么从这批产品中随机抽取10件产品,则有不合格产品的概率为多少？（附：若随机变量x服从正态分布,则，，，用0.624，用0.9704分别代替计算）
3．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布．
(1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布．
（i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求．
（ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由．
(2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数）
附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
一、单选题
1．（2024潮州）设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（ ）．
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
2．（24-25高二上·河南焦作·期末）西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（ ）
附：若，则，，．
A．0.4545 B．0.1827 C．0.2718 D．0.1359
3．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期末）若随机变量，则当时，的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
5．（24-25 海南海口·期末）随机变量，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25江西）某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（ ）
参考数据：，，.
A．0.84 B．0.8186
C．0.9759 D．0.8286
7．（24-25高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（ ）
（提示：若，则，，）=0.9973）
A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135
8．（23-24高二下·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（ ）（参考数据：）
A．120 B．90 C．80 D．60
二、多选题
9（河南省漯河市2024-2025学年 ）某校高三第一、二次数学测试成绩分别满足：，则（ ）
A．学生在两次考试中超过90分的概率与无关
B．时，第一次测试成绩在的概率更大
C．时，第二次测试成绩在的概率更大
D．时，第二次测试成绩在的概率更大
10．（24-25 安徽 ）已知随机变量服从正态分布 ，则（ ）
参考数据： 若 服从正态分布 ，则 ， .
A． B．
C． D．
11．（24-25 安徽宣城·期末）近日，国家体育健康测试抽测工作正式开展，宣城市某校高三年级甲、乙两个班级被抽中，甲班的成绩X与乙班的成绩Y均服从正态分布，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·山东泰安·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（24-25 安徽·开学考试）若随机变量且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．的最小值为50
C．
D．若，则
14．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则（人数保留整数）（ ）
参考数据：若则，．
A．年级平均成绩为82.5分
B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等
C．成绩不超过77分的人数少于150
D．超过99分的人数约为1
三、填空题
15．（2025·福建）已知随机变量X服从正态分布，若，则 .
16．（24-25 安徽）已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 .
17．（24-25 江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 .
18．（23-24高二下·安徽滁州·期末）若本市2024年高二某次数学测试的成绩（单位：分）近似服从正态分布.从本市中任选1名高二学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为 .
参考数据：若随机变量，则，.
四、解答题
19．（2024·四川内江）某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
(1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率；
(2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
(3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由．
附：若，则，，；．
20．（2024·重庆）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：

(1)规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？
（参考数据：；若，则，，．
21．（24-25山东 ）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布．
(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次；
(2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望．
附：参考数据：
参考公式：若有，．
22．（24-25重庆）某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”.
(1)已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）；
(2)现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率：
(3)为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由.
（参考数据：若，则，）
23．（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示．
(1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）；
(2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家；
(3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
24．（2024江西上饶·阶段练习）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下:得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.
若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题:
(1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）;
(2)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值.
附:若随机变量X服从正态分布，则，，.
25．（23-24高二下·山西长治·期中）某种香梨的重量（单位：）服从正态分布，将该种香梨按照其重量及对应的售价进行分拣，分为4类依次记为.已知，售价最高，为10元；，售价为8元；，售价为6元；其余的为，售价为5元.
(1)任选1个香梨，求其重量大于的概率；
(2)以表示香梨的售价（单位：元），写出的分布列，并估计该种香梨售价的平均值.
附：若，则，，.
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7.5 正态分布
考点一 正态密度函数
【例1-1】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（ ）
A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和
【答案】B
【解析】，.故选：B.
【例1-2】（23-24高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D；
又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.故选：A.
【一隅三反】
1．（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由正态分布密度函数，可得.故选：C.
2．（2024湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，即，所以X的密度函数为A.故选：A
3．（2024陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】根据正态分布密度函数中参数的意义，
结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得；
且都在的右侧，即，
比较和图像可得，其形状相同，即，
又的离散程度比和大，所以可得；
故选：B
考点二 指定区间的概率
【例2】（24-25 江苏扬州 ）已知随机变量服从正态分布，若，则 ．
【答案】
【解析】由于随机变量服从正态分布，，故，故，
故答案为：
【一隅三反】
1．（24-25高二上·江西九江·期末）（多选）已知随机变量，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于选项A，由正态曲线的对称性知，故A正确；
对于选项B，因为 ，所以，故B错误；
对于选项C，因为，故C错误；
对于选项D，，故D正确．故选：AD.
2．（24-25 安徽蚌埠 ）已知随机变量，若，则 ．
【答案】0.1/
【解析】由题设，随机变量的分布曲线关于对称，则，且，
所以.
故答案为：
3．（24-25 河南周口 ）（多选）设随机变量，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以该正态曲线关于对称，
不妨记，则，
因为，所以，
由，可知，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：AC.
考点三 根据正态分布对称性求参数
【例3】（2025·福建厦门）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（ ）
A．-1 B． C．0 D．
【答案】C
【解析】由题意知随机变量X服从正态分布，，
如图所示，结合，得，
可知关于对称，所以，解得，
故选：C．
【一隅三反】
1．（24-25江苏常州）设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】，得：.故选：C．
2（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】因为随机变量服从正态分布，，
所以根据正态分布的性质，可得，解得.
故选：D.
3．（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量，且，则实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为，所以正态分布密度曲线的对称轴为，
因为，所以.故选：B.
考点四 3σ原则
【例4】（24-25湖南长沙·阶段练习）巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683
【答案】A
【解析】因为，所以，，，
根据正态曲线的对称性可得，.
故选：A.
【一隅三反】
1．（24-25 江西赣州 ）（多选）小华是一位篮球爱好者，每天坚持投篮训练，每天至少训练10组，每组投篮50次，且每一组投篮命中的次数 X服从正态分布，则（ ）参考数据：，，
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由题意可得，X服从正态分布，则，，故A正确，B错误，
，故C错误，
，故D正确.
故选：
2．（24-25 广西·阶段练习）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由可得，故A正确；B错误；
对于C，利用正态曲线的对称性可知，，
且，则，
所以，故C错误；
对于D，利用正态曲线的对称性可知，，
可得，
所以，故D正确.
故选：AD.
3．（24-25 四川达州 ）（多选）已知随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由随机变量，
得，，，，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
两个随机变量的均为120，由正态分布特点知D正确．
故选：ABD．
考点五 正态分布在实际应用
【例5-1】（24-25高二上·江西南昌·期末）学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（ ）人.
（参考数据，，）
A． B． C．954 D．477
【答案】A
【解析】由于竞赛成绩服从正态分布，
所以，，
所以，
故该校1000名学生竞赛成绩在分到分之间的人数约为：，
故选：A
【例5-2】（24-25 浙江 ）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布.
(1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少；
(2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点；
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)
(2)乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少.
【解析】（1）由题意可知甲校学生数学得分，
由，
可得，则，
所以分数在70分及以下的学生有，
所以学生小A被抽到的概率
（2）由，
可得：
所以甲校不低于130分的概率为，
得分不高于58分的概率为，
所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人，
故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少.
【一隅三反】
1．（24-25高二下·全国·课前预习）“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（若随机变量，则，，）（ ）
A．16 B．18 C．20 D．25
【答案】B
【解析】小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，
，
该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为，
故选：B
2．（2024河北）按照国际乒联的规定,标准的乒乓球在直径符合的条件下,重量为2.7克,其重量的误差在区间[－0.081,0.081]内就认为是合格产品,在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本,其重量如下：
2.72　2.68　2.7　2.75　2.66　2.7　2.6　2.69　2.7 2.8
(1)计算上述10件产品的误差的平均数及标准差s；
(2)①利用（1）中求的平均数,标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%；
②如果产品的误差服从正态分布,那么从这批产品中随机抽取10件产品,则有不合格产品的概率为多少？（附：若随机变量x服从正态分布,则，，，用0.624，用0.9704分别代替计算）
【答案】(1)0，0.05
(2)①不能；②0.3756
【解析】（1）由题意10件产品的误差分别为，
误差的平均数为；
方差为，
所以标准差为；
（2）①由（1）中计算得
所以
因为在内包括了所有的合格产品,也包括了不合格的产品,而，
所以这批抽查的产品的合格率不能达到96%.
②因为产品重量的误差服从正态分布，所以，
即为，
所以每件产品合格的概率,
所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为．
3．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布．
(1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布．
（i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求．
（ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由．
(2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数）
附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析
(2)
【解析】（1）（i）因为，所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
（ii）由（i）得．
因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，，
所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，
小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由．
（2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则．
由，，得．
根据题意易得随机变量，
．
一、单选题
1．（2024潮州）设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（ ）．
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
【答案】B
【解析】因为，所以，即正态总体的平均数与标准差分别为与.故选：B．
2．（24-25高二上·河南焦作·期末）西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（ ）
附：若，则，，．
A．0.4545 B．0.1827 C．0.2718 D．0.1359
【答案】D
【解析】由题可知，，
所以.
故选：D
3．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
【答案】C
【解析】由题意得，由正态曲线的对称性知，
所以．故选：C
4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期末）若随机变量，则当时，的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】A
【解析】随机变量且，与关于对称，，.
故选：A.
5．（24-25 海南海口·期末）随机变量，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为随机变量，所以，
因为随机变量，所以，
所以利用正态密度曲线的对称性可得，
所以，故选项A、B错误；
，
又，所以，故C正确；D错误.
故选：C.
6．（24-25江西）某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（ ）
参考数据：，，.
A．0.84 B．0.8186
C．0.9759 D．0.8286
【答案】B
【解析】因为服从正态分布，且，
所以，，
故.
故选 ：B.
7．（24-25高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（ ）
（提示：若，则，，）=0.9973）
A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135
【答案】B
【解析】因为，所以，，
所以.
故选：B.
8．（23-24高二下·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（ ）（参考数据：）
A．120 B．90 C．80 D．60
【答案】B
【解析】数学测试成绩服从正态分布，则，，
由于等级的概率之和为，
所以，
又因为，
即，
故为A等级，为等级，为等级，为等级，
结合选项可知：该同学的考试成绩可能为90.
故选：B.
二、多选题
9（河南省漯河市2024-2025学年 ）某校高三第一、二次数学测试成绩分别满足：，则（ ）
A．学生在两次考试中超过90分的概率与无关
B．时，第一次测试成绩在的概率更大
C．时，第二次测试成绩在的概率更大
D．时，第二次测试成绩在的概率更大
【答案】ABC
【解析】∵，测试成绩均关于对称，
∴，与无关，A选项正确；
当时，正态分布曲线示意图如图所示：
由图像可知，第一次测试成绩在的概率更大，B选项正确；第二次测试成绩在的概率更大，C选项正确；
所以D选项错误.
故选：ABC.
10．（24-25 安徽 ）已知随机变量服从正态分布 ，则（ ）
参考数据： 若 服从正态分布 ，则 ， .
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由服从正态分布 可知
对于A，，A正确，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D，，故D正确，
故选：ABD
11．（24-25 安徽宣城·期末）近日，国家体育健康测试抽测工作正式开展，宣城市某校高三年级甲、乙两个班级被抽中，甲班的成绩X与乙班的成绩Y均服从正态分布，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】选项A：由，得，故A正确；
选项B：由，得，故B不正确；
选项C：由于随机变量服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：，
所以，故C正确；
选项D：因为，，
所以对应的，对应的，
根据正态分布的性质，值越大，对应的概率越大，
因为，所以，选项D正确.
故选：ACD.
12．（2024·山东泰安·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，根据正态分布，期望，可得，故A错误；
对于B，根据正态分布，方差，可得，故B正确；
对于C，对于正态分布，图象关于对称，
所以，即，故C正确；
对于D，根据图象关于对称，可得与对称，
根据正态分布图象的特点，离对称轴越远概率越小，比离对称轴远，
所以，即，故D错误；
故选：BC.
13．（24-25 安徽·开学考试）若随机变量且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．的最小值为50
C．
D．若，则
【答案】BC
【解析】随机变量，
对于A，，则，A选项错误；
对于B，，有，则，
当且仅当时等号成立，的最小值为50，B选项正确；
对于C，，所以，C选项正确；
对于D，因为随机变量，所以正态曲线的对称轴为直线，
因为，所以，故D选项错误.
故选：BC.
14．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则（人数保留整数）（ ）
参考数据：若则，．
A．年级平均成绩为82.5分
B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等
C．成绩不超过77分的人数少于150
D．超过99分的人数约为1
【答案】ABD
【解析】对于A，由，可知，
所以平均分为，故A对；
对于B，由于，根据正态分布的对称性可知，
成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等，
进而人数相等，故B对；
对于C，，
因为，故C错误；
对于D，，
因为，
所以超过98分的人数约为1，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
15．（2025·福建）已知随机变量X服从正态分布，若，则 .
【答案】/
【解析】易知，所以.
故答案为：
16．（24-25 安徽）已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 .
【答案】9
【解析】因为随机变量，正数满足，
有对称性可知，即，
所以
；
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：9
17．（24-25 江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 .
【答案】
【解析】因为曲线的对称中心为，所以，
又，则，
所以，
即，
又，所以，解得.
故答案为：
18．（23-24高二下·安徽滁州·期末）若本市2024年高二某次数学测试的成绩（单位：分）近似服从正态分布.从本市中任选1名高二学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为 .
参考数据：若随机变量，则，.
【答案】/
【解析】因为，即，，
所以
，
即这名学生数学成绩在分之间的概率约为.
故答案为：
四、解答题
19．（2024·四川内江）某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
(1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率；
(2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
(3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由．
附：若，则，，；．
【答案】(1)
(2)有，理由见解析
(3)先答类问题，理由见解析
【解析】（1）由题意可知，抽取的人中，预赛成绩不低于分的人数为，
预赛成绩不低于分的学生人数为，
因此，从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，
至少有人预赛成绩优良的概率为.
（2）由频率分布直方图可知，，
，，
，
所以，小明有资格参加复赛.
（3）若学生甲先答类问题，设他的得分为随机变量，则的可能取值有、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
则，
若学生甲先答类问题，设该同学的得分为随机变量，则的可能取值有、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
则，
所以，，因此，学生甲应先回答类问题.
20．（2024·重庆）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：

(1)规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？
（参考数据：；若，则，，．
【答案】(1)至少有1人初赛成绩优秀的概率为，分布列见详解，.
(2)估计小华有资格参加复赛.
【解析】（1）由频率分布直方图可知，
样本中位于区间内的人数：，
样本中位于区间内的人数：，
抽取的2人中成绩优秀的人数可能的取值有0，1，2
， ，
所以的分布列为
X 0 1 2
P
因此，至少有1人初赛成绩优秀的概率，
数学期望.
（2）由频率分布直方图可知：
，
由，得，又，
所以，
所以全校参加初赛学生中，不低于85分的约有人，
因为，所以估计小华有资格参加复赛.
21．（24-25山东 ）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布．
(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次；
(2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望．
附：参考数据：
参考公式：若有，．
【答案】(1)1587名
(2)，
【解析】（1）已知本次模拟考试成绩近似服从正态分布，
由题意可得，
，
,即，解得，
甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且，
又，即，
，
答：学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名．
（2）设事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外，
由于成绩在之内的概率为0，9974，
，
随机变量服从二项分布，即，
，
的数学期望为.
22．（24-25重庆）某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”.
(1)已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）；
(2)现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率：
(3)为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由.
（参考数据：若，则，）
【答案】(1)“成绩优秀”和“不及格”的同学人数分别为人、人
(2)
(3)班级成绩优于年级成绩
【解析】（1）由已知，
“成绩优秀”的概率为：
.
“不及格”的概率为：
，
所以“成绩优秀”的人数为人，
“不及格”的人数为人.
（2）设事件：至少一名“成绩顶尖”同学入选，事件：丙入选，
则，
（3）由条件知年级中，
而在该班随机抽查中，同学成绩在一次随机事件中就发生了，
这说明班级成绩优于年级成绩.
23．（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示．
(1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）；
(2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家；
(3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)51
(2)136家
(3)98家
【解析】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为．
（2）由（1）知化工企业的得分情况．因为，
所以
．
可得所求企业大约有家．
（3）由（2）得，
所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772，
则得分不低于19分的企业数．
其中恰有家企业得分不低于19分的概率为，
令，，
可得，解得，
故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大．
24．（2024江西上饶·阶段练习）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下:得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.
若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题:
(1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）;
(2)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值.
附:若随机变量X服从正态分布，则，，.
【答案】(1)1587；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【解析】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为，
样本平均数的估计值，
则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而，
因此
所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为.
（2）由（1）知，，，
即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为，
因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3，
则，，，，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
P
数学期望.
25．（23-24高二下·山西长治·期中）某种香梨的重量（单位：）服从正态分布，将该种香梨按照其重量及对应的售价进行分拣，分为4类依次记为.已知，售价最高，为10元；，售价为8元；，售价为6元；其余的为，售价为5元.
(1)任选1个香梨，求其重量大于的概率；
(2)以表示香梨的售价（单位：元），写出的分布列，并估计该种香梨售价的平均值.
附：若，则，，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，元
【解析】（1）因为，所以，，
所以，
即任选1个香梨，其重量大于的概率约为；
（2）由题意可知，的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
10 8 6 5
所以，
即估计该种香梨售价的平均值为元．
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