资源简介

(共28张PPT)
10.5 用二元一次方程组解决问题
（第一课时）
苏科版（2024版）
七年级数学下册
1.能用二元一次方程组解决实际问题.（重点）
2.掌握二元一次方程组解决问题的基本步骤和策略.
3.经历“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的过程，体会二元一次方程组的应用价值.（重难点）
教学目标
课前准备 自主学习
1、自主预习书本100---101页.
2、回顾二元一次方程组的解法和用一元一次方程解决实际问题的相关知识.
3、自主思考本节课的学习内容和重难点.
4、你在预习中遇到了哪些问题？
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
复习回顾
审清题意，
找准等量关系
依据等量列出方程
解方程，得到解
根据问题设未知数
写出完整的答案
检验方程的解
审清题意，
找准等量关系
根据问题设未知数
依据等量列出方程
解方程，得到解
检验方程的解
写出完整的答案
情境创设
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣，其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，飘洋过海流传到了日本等国。
问题来源（新课标——数学文化）
“鸡兔同笼”题为:
今有鸡兔同笼,
上有三十五头,
下有九十四足,
问鸡兔各几何
“上有三十五头”的意思是什么
“下有九十四足”的意思是什么
你能算出鸡兔各几只吗？
提出问题
（1）题目中已知条件是什么？等量关系是什么？
（2）题目需要求的量有几个？
（3）如何来设未知数？
（4）根据等量关系怎样列出方程？
（5）得到解后，如何知道自己的解答是对还是错？
（6）检验正确后，还要做什么？
（7）你有几种方法解决该题？
今有鸡兔同笼,
上有三十五头,
下有九十四足,
问鸡兔各几何
知识探究 小组共论
问题中要求的未知量有两个：
问题中的等量关系是：
（1）鸡头的数量+兔头的数量=35
（2）鸡脚的数量+兔腿的数量=94
所以我们也可以设两个未知数，再根据两个等量关系列出二元一次方程组.
教师点拨
鸡和兔的数量
成果展示
计算容易，
分析较难。
比算术法容易理解
容易理解，更能清晰、
直接的表示数量关系
①算术法：
兔：（94 - 35×2）÷2 = 12 鸡：35 - 12 = 23
②一元一次方程：
设鸡有x只，则兔有（35 - x）只，
由题意得：2x+4（35 - x）= 94
③二元一次方程组：
设鸡有x只，兔有y只，则：
x+y=35
2x+4y=94
同桌共探
通过对比两种不同的方法，你认为是用一元一次方程解决实际问题好？还是用二元一次方程组解决实际问题好？
1. 思路更直接：当问题中涉及两个明显不同的未知量，且这两个未知量之间的关系可以通过不同的等量关系表达时，用二元一次方程组能更自然地将这些关系转化为方程。而用一元一次方程，可能要先设其中一个量为x，再用含x的式子表示另一个量，再根据等量关系列方程，思考过程更曲折。
2. 方程建立更简单：在一些复杂的实际问题中，可能难以找到一个合适的未知量，用一元一次方程建立方程时，可能会导致方程比较复杂，计算量大。但用二元一次方程组，由于可以分别设出两个未知量，然后根据不同的等量关系列出方程，往往能使每个方程相对简单，形式上更清晰，也更便于理解和计算。
3. 更适合解决多变量问题：当实际问题的未知量较多，且它们之间的关系比较复杂时，二元一次方程组可以更好地梳理这些关系，为进一步扩展到多元方程组提供了基础和思路。而一元一次方程在处理多个未知量时，可能需要通过复杂的转化和代换才能解决问题，相对来说不够方便。
某水果摊在售卖菠萝和哈密瓜，林老师用78元购买了2个菠萝、1个哈密瓜，叶老师用84元购买了1个菠萝、2个哈密瓜. 菠萝和哈密瓜分别是多少元一个？
议题引领
思考：
（1）题目需要求的量有几个？
（2）题目中已知条件是什么？等量关系是什么？
（3）如何来设未知数？
解：设菠萝x元/个，哈密瓜y元/个.
根据题意，得
2x+y=78
解这个方程组，得
答：菠萝24元/个，哈密瓜30元/个.
1.设两个合适的未知数.
2.根据问题中的等量关系列出二元一次方程组.
3.解二元一次方程组.
4.写出答案.
x+2y=84
实际问题
建立方程组
求解并作答
过程展示
用二元一次方程组解决问题的基本步骤：
1.审：
审题，找出两个等量关系；
2.设：
设两个未知数，写好单位名称；
3.列：
把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程组；
4.解：
解这个方程组；
5.验:
未知数的值既要代入原方程组检验，又要检验是否符合题意；
6.答：
写出完整的答案(包括单位名称).
归纳总结
1、在班级联谊会筹备工作中，小明负责购买奖品，他用420元购买吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”共10个.已知“冰墩墩”48元/个，“雪容融”38元/个，小明购买两种吉祥物各几个？
例1
分析
设购买“冰墩墩”x个，“雪容融”y个.
可以列表分析数量关系：
类型 “冰墩墩” “雪容融” 合计
单价/（元/个） 48 38 ——
个数/个 x y 10
花费/元 420
48x
38y
列表是梳理分析等量关系的常用策略
从不同角度
寻求方法
实际问题
建立方程
求解并作答
借助表格
进行分析
解读探究
借助表格进行分析，简洁直观，便于找出数量之间的相等关系.
1、在班级联谊会筹备工作中，小明负责购买奖品，他用420元购买吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”共10个. 已知“冰墩墩”48元/个，“雪容融”38元/个，小明购买两种吉祥物各几个？
例1
解
设购买“冰墩墩”x 个，“雪容融”y 个.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：小明购买“冰墩墩”4个，“雪容融”6个.
解读探究
1、《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：五头牛和两只羊，价值十两金；两头牛和五只羊，价值八两金；一头牛、一只羊分别价值几两金？请你解决这个问题.
检测反馈
用二元一次方程组解决实际问题
设一头牛价值x两金，一只羊价值y两金。
根据题意可列方程组：
5x+2y=10
2x+5y=8
对第一个方程5x+2y=10两边同时乘以5，得到25x+10y=50 ；
对第二个方程2x+5y=8两边同时乘以2，得到4x+10y=16 ；
用25x+10y=50减去4x+10y=16，可得：
(25x+10y) (4x+10y)=50 16
25x+10y 4x 10y=34
21x=34
x =
把x= 代入5x+2y=10，可得：
5× +2y=10
+2y=10
2y=10
2y=
2y=
y =
所以，一头牛价值 两金，一只羊价值 两金。
2、某景区停车场的收费标准：每辆中型汽车8元/次，每辆小型汽车6元/次，现在停车场内停有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费360元，中小型汽车各有多少辆？（列表分析）
检测反馈
用二元一次方程组解决实际问题
车辆类型 数量（辆） 单价（元 / 次） 停车费（元）
中型汽车 x 8 8x
小型汽车 y 6 6y
设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆。
根据题意可列方程组：
x+y=50
8x+6y=360
由x+y=50可得y=50 x，将其代入8x+6y=360中，得到：
8x+6(50 x)=360
8x+300 6x=360
2x+300 =360
2x=360 300
2x=60
x=30
把x=30代入y=50 x，可得y=50 30=20。
所以，中型汽车有30辆，小型汽车有20辆。
请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖怪的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？
新课标——跨学科
意思是：孙悟空顺风去查妖怪的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟飞跃600里．求孙悟空在无风时的飞跃速度及风速．
在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．如下诗歌：
周瑜寿属
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十比个位正小三，个位六倍与寿符；
哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？
诗歌的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数字比个位数字小3，个位数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
新课标——跨学科
今日所学，非止于解“鸡兔同笼”，而在领悟数学的三重境界：
一曰“工具”：方程是解题之器，助我们抽丝剥茧，化繁为简；
二曰“思维”：建模是逻辑之梯，教我们多维思考，直击本质；
三曰“文化”：数学是文明之镜，从《九章算术》到现代科技，它承载着人类对真理的永恒追求。
愿同学们以数学为眼，观世界之规律；
以数学为舟，渡智慧之长河。
结语
找相等关系
方程组
设未知数
列方程组
解方程组
检验
检验
1、用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
审 找 设 列 解 验 答
实际问题
数学问题
实际问题的解
2、
方程组的解
课堂小结
课后作业
如何设计购买方案？ 素材1 北京时间2024年5月3日17时27分，我国嫦娥六号月球探测器发射任务取得了圆满成功！嫦娥六号探测器开启素世界首次月球背面采样返回之旅．我校30名同学要去参材观航天展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元，其中C场馆门票为每张15元. 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 （1）求A场馆和B场馆的门票的单价．
任务2 探究经费的使用 （2）在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12位同学想参观A场馆，9位同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额．
任务3 拟定购买方案 （3）到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元，请你写出符合条件的所有购买方案．
任务4 提出问题并解决 （4）请你根据以上信息，就参观场馆的人数或花费，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程.
THANKS
感
谢
聆
听
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指
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Thanks!
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