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(共36张PPT)
不等式及其性质
高一年级 数学
情境与问题
右图是某居民小区的交通指示牌，下边标识是禁止鸣笛，上边标识提示机动车在小区内的时速v(单位：km/h)应满足：v 5.
情境与问题
用1kg的糖溶于4kg的水，可以得到浓度为20%的糖水.往此糖水中继续添加mkg的糖，容易知道糖水的浓度变大.用不等式可以表示为：
其中m>0.
不等关系与不等号
我们用不等号“ ”“>”“<”“ ”“ ”连接两个实数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有不等号的式子，称为不等式.
不等关系与不等号
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多
小于 < 至少
大于等于 不少于
小于等于 不多于
不等关系与不等号
“ ”是指“>”或“=”. 任给两个实数a，b，那么a b是指a>b或a=b.
想一想
请判断以下三个命题的真假：
（1）5 3；
（2）2 2；
（3）2 2 .
想一想
请判断以下三个命题的真假：
（1）5 3；真
（2）2 2；真
（3）2 2 . 真
两个实数比大小
1. 数量的多少与正整数的大小
5个苹果比3个苹果多，经过抽象可得到正整数5和3的大小关系：5>3.
两个实数比大小
2. 正整数的大小与实数的大小
（1）实数与数轴上的点一一对应.
两个实数比大小
2. 正整数的大小与实数的大小
（2）数轴上的点往数轴正方向运动时，它所对应的实数会变大.
例如，数轴上对应3的点向正方向移动2个单位，得到对应5的点.因此有5>3.
两个实数比大小
2. 正整数的大小与实数的大小
（3）两个实数比大小的代数法则
设c>0，若a c=b，即a b=c，则有a>b；
若a+c=b，即a b= c，则有a两个实数比大小
2. 正整数的大小与实数的大小
（3）两个实数比大小的代数法则
设c>0，若a c=b，即a b=c，则有a>b；
若a+c=b，即a b= c，则有a即有
a b>0 a>b，a b<0 a两个实数比大小
2. 正整数的大小与实数的大小
（3）两个实数比大小的代数法则
a b>0 a>b，
a b=0 a=b，
a b<0 a例1. 比较x2 x和x 2的大小.
例1. 比较x2 x和x 2的大小.
解：因为
(x2 x) (x 2)=x2 2x+2
例1. 比较x2 x和x 2的大小.
解：因为
(x2 x) (x 2)=x2 2x+2
=(x 1)2+1 1>0，
所以x2 x>x 2.
等式的性质
1. 等式的性质
（1）如果a=b，则a+c=b+c；
（2）如果a=b，则ac=bc；
（3）传递性：如果a=b，b=c，则a=c；
（4）对称性：a=b b=a.
不等式的性质
2.不等式的性质
（1）如果a>b，则a+c>b+c.
（2）如果a>b，c>0，则ac>bc.
（3）如果a>b，c<0，则ac不等式的性质
2.不等式的性质
（1）如果a>b，则a+c>b+c.
不等式的性质
2.不等式的性质
（1）如果a>b，则a+c>b+c.
证明：因为a>b，所以a b>0.
因此，(a+c) (b+c)=a b>0.
从而a+c>b+c.
不等式的性质
2.不等式的性质
（2）如果a>b，c>0，则ac>bc.
不等式的性质
2.不等式的性质
（2）如果a>b，c>0，则ac>bc.
证明：因为a>b，所以a b>0.
又因为c>0，所以ac bc=(a b)c>0.
因此，ac>bc.
不等式的性质
2. 不等式的性质
（4）传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.
（5）对称性：a>b b不等式的性质
2. 不等式的性质
（4）传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.
不等式的性质
2. 不等式的性质
（4）传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.
证明：因为a>b，b>c，所以a b>0，b c>0.
不等式的性质
2. 不等式的性质
（4）传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.
证明：因为a>b，b>c，所以a b>0，b c>0.
所以a c=(a b)+(b c)>0.
因此a>c.
不等式的性质
2. 不等式的性质
（5）对称性：a>b b不等式的性质
2. 不等式的性质
（5）对称性：a>b b证明：先证“ ”.
因为a>b ，所以a b>0.
不等式的性质
2. 不等式的性质
（5）对称性：a>b b证明：先证“ ”.
因为a>b ，所以a b>0.
所以b a= (a b)<0.
因此，b不等式的性质
2. 不等式的性质
（5）对称性：a>b b证明：再证“ ”.
因为b所以a b= (b a)>0.
因此，a>b .
想一想
用“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”填空：
（1）a>b是a+c>b+c的_____条件；
（2）如果c>0，则a>b是ac>bc的_____条件.
想一想
用“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”填空：
（1）a>b是a+c>b+c的充要条件；
（2）如果c>0，则a>b是ac>bc的充要条件.
小结
1. 不等号与不等关系
2. 两个实数（或代数式）比大小
（1）作差比较；
（2）差的正负分析：因式分解、配方法.
3. 不等式的性质
作业
1.教材第63页练习A 第1题.
2.教材第63页练习A 第2题.
3.教材第63页练习A 第4题.
4.教材第63页练习B 第1题.
谢谢!

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