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等式的性质与方程的解集
高一年级 数学
一、等式的性质
二、恒等式
三、方程的解集
知识概要
对称性：
传递性（等量代换）：
等式的性质
四则运算性质
等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，等式仍成立：
等式的两边同时乘以同一个数或代数式，等式仍成立：
等式的性质
等式的两边同时除以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立：
等式的性质
定义 含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成
立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等.
恒等式是进行代数变形的依据之一，如
恒等式
例1. 化简：
分析 (1)法一 利用分配律直接展开计算.
法二 利用两数和的平方公式展开：
三数和的平方公式
例1. 化简：
分析 (2)直接展开计算：
注 立方和（差）公式
例2. 化简 .
分析 法一 利用两数和（差）的平方公式展开，合并同类项：
例2. 化简 .
分析 法二 的结构，考虑平方差公式：
总结 法二较为简便，利用了整体的思想.
启发 常见恒等式，准确记忆、灵活运用.
考察恒等式
问题 二次三项式 的因式分解.
十字相乘法
例3. 分解因式.
分析 设，则
，从而 .
例3. 分解因式.
分析
放在左列，乘积为 ；
放在右列，乘积为；
两条交叉的线表示对应数相乘后相加后等于 .
例4. 分解因式.
分析 设. 因为
，从而 一正一负.
考察恒等式
类比 二次三项式 的因式分解.
十字相乘法_续
例5. 分解因式.
分析 根据十字相乘“配凑”：
大胆尝试，小心演算.
方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值．
定义 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
例 方程的解集为.
方程的解集
列举法
一元一次方程：.
一元二次方程：.
简单分式方程：.
简单根式方程：.
特殊二元方程：.
……
我们会求解的方程
基本思路 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，如
具体实施
去分母、去根号、去括号等;
化为整式方程;
求解与必要的检验.
求方程解集的一般方法
例6. 求下列方程的解集：
分析 (1)利用前述结论，解集为.
(2)利用十字相乘法，将方程变形为
，
则解集为.
例7. 求下列关于的方程的解集：
分析 (1)分类讨论：
当时，等式两边同除以，得，解集为;
当时，方程变为，无解，解集为.
综上，当时，解集为；
当时，解集为.
例7. 求下列关于的方程的解集：
分析 (2)十字相乘，有.
分类讨论：
当时，解集为；
当时，解集为.
集合中元素的互异性
例7. 求下列关于的方程的解集：
总结
1. 字母系数的取值范围.
2. 分类讨论的依据.
等式的性质——等式变形的依据.
恒等式——代数式变形的基础.
求方程的解集——代数式变形的应用.
小结
教材 第46页 练习A 1-4.
作业
①求下列方程的解集：
(1)2-x=x+1
(2)-=
(3)x +4x+4=0;
(4)x +7x-8=0.
②利用十字相乘法分解因式：
(2)x +2x-15.(1)x +3x+2;
③求方程(x+1)(x-1)(x-3)(x-5)=0的解集.
④求证：对任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab.
教材 第46页 练习B 1-4.
作业
①将(a+b) 展开，并由此得到(a-b) 的展开式.
②将(a+b+c) 展开，并由此得到(a-b—c) 的展开式.
③利用十字相乘法分解因式：
(1)x +(a+2)x+2a;(2)x -(3+t)x+3t.
④求关于x的方程ax=x-1的解集，其中a是常数.
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