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集合的基本关系
高一年级 数学
一、子集
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F.
集合S和F之间有怎样的关系？从集合元素的角度如何分析它们的关系？
观察下面的例子，你能发现集合间的关系吗？
（1）A={1，3}，B={1，3，5，6}；
分析：在集合A中的任何一个元素，都是集合B中的元素，这时我们说集合A与集合B 有包含关系.
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B 的子集，记作：AB（或BA），读作“A包含于B”(或“B包含A”).
与表达的含义相同吗？
分析：前者是元素与集合间的关系，后者是集合之间的关系.
尝试与发现
（1）如果A={1，2，3}，那么AA吗？
（2）你认为可以规定空集必是任意一个集合的子集吗？
分析：（1）不难看出，依据子集的定义，任意集合A都是它自身的子集，即AA.
（2）因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即A.
二、真子集
一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F.
这两个集合满足FS，但是，只要班级中有男同学，那么S中就有元素不属于F.
一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A B(或B A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
例如，分析集合A={1，2}，B={1，2，3，4}之间的关系，可知A是B的子集(即AB)，而3B且3A，因此A是B的真子集，即A B.
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图.
根据子集和真子集的定义可知：
（1）对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC
（2）对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C
可以用维恩图来理解这些性质.
例1.写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集.
分析：集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3.可依下列步骤来完成此题：
(1)写出元素个数为0的子集，即;
(2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8};
(3)写出元素个数为2的子集，即{6，7}，{6，8}，{7，8}
(4)写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}
例1.写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集.
故集合A的所有子集是：，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}.
在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集.
例2.已知区间A=(-∞，2]和B=(-∞，a)，且BA，求实数a的取值范围.
解析：因为集合B的元素都是集合A的元素，因此可用数轴表示它们的关系，如图所示
从而可知a≤2.
三、集合的相等和子集的关系
已知 ,
这两个集合的元素有什么关系？S T 吗？T S吗？
一般地，由集合相等以及子集的定义可知：
（1）如果AB且BA，则AB；
（2）如果AB，则AB且BA.
例3.写出下列每对集合之间的关系：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
解析：（1）B A （2）CD （3）F E
四、子集的个数
集合 元素个数 所有子集 子集个数
{a} 1
{a,b} 2
{a,b,c} 3
{a,b,c,d} 4
归纳：当一个集合有n个元素时，则子集个数有个.
集合 元素个数 所有子集 子集个数
{a} 1 φ,{a} 2
{a,b} 2 φ,{a},{b},{a,b} 4
{a,b,c} 3 φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 8
{a,b,c,d} 4 φ{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d} 16
例4．关于以下集合关系表示不正确的是（　　）
A．∈{} B． {} C．∈N* D． N*
解析：对于A选项，集合中含有一个元素空集，故空集是这个集合的元素，故A选项正确. 空集是任何集合的子集，故B，D两个选项正确.对于C选项，空集不是正整数集合的元素，C选项错误. 选C .
例5．若集合M＝，则下列关系错误的是(　　)
A． B． C． D．
解析：A，B，C显然正确，空集不是集合M的元素，D错误.
例6．已知集合，则（ ）
A．＜ B． C． D．
解析：因为所以，选C.
例7．若集合，且，则( )
A．2 B．2，-2 C．2，，0 D．2，-2，0，1
解析：因为，所以
当时，与矛盾.
当时，或（舍去），即：时，满足
当时，或，都满足.
所以或或.
选C.
例8. _____ 横线上可以填入的符号有（ ）
A．只有 B．只有
C．与都可以 D．与都不可以
解析： ，
或．
谢谢

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