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高一年级 数学
函数与方程、不等式之间的关系
一、复习
1. 函数的零点
函数零点的定义: 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则α叫做函数y＝f(x)的零点.
2.零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，
并且f(a)f(b)<0 (即在区间两个端点处的函数值异号) ，
则函数在区间(a，b)中至少有一个零点，即 x0∈(a，b)，
f(x0)＝0.
练习1. 若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝____，b＝_____.
解析：　∵2， 4是函数f(x)的零点，
∴f(2)＝0，f( 4)＝0，即
解得
练习2. 已知函数f(x)的部分x、f(x)的对应关系如下表:
则函数f(x)存在零点的区间为( )
A. [1, 2] 和 [2, 3] B. [2, 3]和[3, 4]
C. [2, 3],[3,4]和[4, 5] D. 以上均有可能
答案： D
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064
（一）二分法
1. 二分法的概念
对于在区间 上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.
例1. 求函数f(x)=x3 x 1在区间[1, 1.5]内的一个零点(精确度0.1) .
解：由于f(1)=1 1 1 = 1<0,
f(1.5) = 3.375 1.5 1 = 0.875 > 0,
∴f(x)在区间[1, 1.5]上存在零点,
取区间[1, 1.5]作为计算的初始区间,
用二分法逐次计算列表如下:
端(中)点 坐标 中点函数值 符号 零点所在区间
[1, 1.5]
1.25 f(1.25)<0 [1.25, 1.5]
1.375 f(1.375)>0 [1.25, 1.375]
1.312 5 f(1.312 5)<0 [1.3125, 1.375]
1.34175 f(1.34375)>0 [1.3125, 1.34375]
∵1.3125 ≈ 1.3, 1.34375 ≈ 1.3, 即两端精确到0.1时的近似值相等了,
∴ 结束，且知: 近似解为1.3.
3. 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
(1)在D内取一个闭区间 , 使 与 异号，即f() <0 ,零点位于区间 中.
(2)取区间[，]的中点,则此中点对应的坐标为
计算f()和f()，并判断：
①如果f()＝0，则就是f(x)的零点，计算终止；
②如果f()·f()<0，则零点位于区间 上，
令 ＝， b1＝ ；
③如果f()·f()>0，则零点位于区间 [,]上，
令＝＝.
(3)取区间[，]的中点,则此中点对应的坐标为
计算f()和f()，并判断：
①如果f()＝0，则就是f(x)的零点，计算终止；
②如果f()·f()<0，则零点位于区间 上，
令 ＝， b2＝ ；
③如果f()·f()>0，则零点位于区间 [,]上，
令＝＝.
(4)继续实施上述步骤，直到区间 [,]，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止.这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度.
例2.给出四个函数图像，不能用二分法求函数零点的是( )
答案A
A B C D
练习. 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正的零点(精确到0.1).
解：由于f(1)= 6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1，2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
ao=1,bo=2 f(1)=-6,f(2)=4= [1,2]
f(x1)=-2.625<0 5[1.5,2]
至此可以看出，区间[1.718 75, 1.734 375]的左右端点精确到0.1的近似值都为1.7，所以1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.
（二）零点综合应用
例3. 若函数f(x)＝ax2 x 1仅有一个零点，求实数a的取值范围.
解：①若a＝0，则f(x)＝ x 1为一次函数，易知函数仅有一个零点；
②若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2 x 1＝0有两个相等的实数根，
故判别式
综上，当 或 时，函数f(x)仅有一个零点.
例4. 若二次函数f(x)＝x2 2x＋m在区间(0,4)上存在零点，求实数m的取值范围.
解析： m＝ x2＋2x在(0,4)上有解，
又 x2＋2x＝ (x 1)2＋1，
∴y＝ x2＋2x在(0,4)上的值域为( 8,1]，
∴ 8< m ≤1.
例5.已知关于x的二次方程ax2 2(a＋1)x＋a 1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围.
解:　令f(x)＝ax2 2(a＋1)x＋a 1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.
∴f(x)的大致图象如图所示：
则a应满足
或
,
即
或
解得0＜a＜5，
∴a的取值范围为(0,5).
例6. 若函数f(x)＝(m 2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间( 1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_____．
解析：依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足
即
解得:
课堂小结
1. 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合.
2.二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围. 在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点.
3.在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：
(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．
(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．
作业
课本120页 3-2B 7,8.
证明函数f(x)=x -x +5,x∈[-2,-1]有零点，并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时，至少需要进行多少次函数值的计算.
求下列函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集：
(1)f(x)=(x-1)(x-2)(x+3);(2)f(x)=(x+2)x .
谢谢

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