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函数及其表示方法
高一年级 数学
一、复习：
初中我们学习过函数的三种表示方法：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ .
解析法
列表法
图像法
二、例题选讲
例1.北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价. 其中年用水量不超过180m 的部分，综合用水单价为5元/m ；超过180m 但不超过260m 的部分，综合用水单价为7元/m . 如果北京市一居民年用水量为xm ，其要缴纳的水费为 f(x)元. 假设0≤x≤260，
⑴填空：f(100)= , f(200)= ;
⑵试写出 f(x)的解析式，并作出 f(x)的图像.
解：⑴f(100)=100×5=500, f(200)=180×5+20×7=1040.
⑵如果x∈[0,180],则 f(x)=5x;
如果x∈(180,260]，
则 f(x)=5×180+7(x -180)=7x -360.
因此
函数图像如右图所示：
分段函数的概念：
像例1这样，如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
例2.设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，
⑴填写下列表格：
⑵判断这种对应关系是否是函数. 如果是，作出这个函数的图像；如果不是，说明理由.
x 6.89 5 π -1.5 -2
y
6
5
3
-2
-2
答：由⑴知y=n, x∈[n,n+1)（n∈Z），
又因为对于任意实数x，都必定属于某个形如[n,n+1)的区间，因此给定一个x，有唯一的y与之对应，
所以这种对应关系是函数.
其图像如右图所示：
数学小科普：
例2中的函数通常称为取整函数，记作
y=[x].
（如，[π]=3)其定义域是 ，值域是 .
这个函数早在18世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数.
R
Z
例3.已知函数 ,请你根据以前的学习经验，给出作函数图像的方案.
答：先求出函数定义域[0,+∞)，值域[0,+∞)，
所以图像除原点外都在第一象限，并且在整
个定义域内，y的取值都随x的增大而增大.
然后通过描点法可以作出这个函数的图像.
经验：作出一个函数图像，经常先探究函数的定义域、值域，以及y随x增大而增大（或减小）等一些基本性质，然后据此描出函数图像上一些有代表性的点，并作出函数图像，这称为描点作图法.
例4.定义运算 若函数 f (x)=x *(2x+3).
⑴ f (－2)= , f (1)= ;
⑵ f (x)的值域为 .
4
5
解：由定义
作出 f (x)图像如左图所示，由图知值域为[1,+∞).
x
y
O
f (x)=x *(2x+3)
经验：函数问题经常借助数形结合的方法解决问题！
解：由已知可得
例5.已知 ，求
说明：
⑴若设 , 则 ，因此一般来说，
与 f (x) 是两个不同的函数；
⑵根据例5，你能总结出函数 与 图像之间的关系吗？
结论：把 图像上每点向右平移1个单位就得到函数
的图像.
三、课堂小结
1.你有哪些收获？
①知识： ；
②思想方法： ；
③经验： .
2.你还有什么困惑？
.
函数的三种表示方法、分段函数等
特殊与一般、分类与整合、数形结合等思想方法
不熟悉的函数作图要结合函数性质描点作图
作业
人教社B版课本
P93练习B第7，8题
⑦写出常数函数f(x)=-1的定义域、值域，并作出它的图像.
⑧把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域，并作出函数图像：
(1)当x<0时，f(x)=1;当x≥0时，f(x)=2.
(2)当x<0时，f(x)=-1;当x=0时，f(x)=0;当x>0时，f(x)=1.
作业
P94练习B第7，8题
已知函数f(x)=-2x +x,求f(-x), (x+1).
已知函数f(x+1)=2x-3,求f(4),f(x).
谢谢

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