资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台考点五 导数(选填题14种考向)考向一 切线方程【例1-1】(2025·江西·二模)已知函数,则在点处的切线方程为( )A. B.C. D.【例1-2】(2025·山东聊城·一模)曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )A. B. C. D.【例1-3】(2024吉林)(多选)已知函数,则曲线过点的切线方程为( ).B.C. 5x-y-1=0 D.105x+16y-15=0【例1-4】(2025·贵州安顺·模拟预测)已知直线与曲线相切,则的值为( )A. B. C. D.1【例1-5】(2025·河南·模拟预测)过原点且与曲线相切的直线有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【例1-6】(2025·山东聊城·模拟预测)已知直线与曲线有三个交点,则的取值范围是( )A. B. C. D.【例1-7】(2025·甘肃白银·模拟预测)已知是曲线上一点,则点到直线的最短距离为( )A. B.C. D.【例1-8】(2025·江西新余·模拟预测)过轴上一点可以作函数图像的3条切线,则的取值范围是:( ).A. B. C. D.考向二 根据单调性求参数【例2-1】(2025·山东菏泽·一模)已知函数在区间单调,则的取值范围是( )A. B. C. D.【例2-2】(2025·黑龙江·二模)已知函数在区间上单调递增,则实数的最小值为( )A. B. C. D.1【例2-3】(24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习)已知函数在区间上不单调,则的取值范围是( )A. B. C. D.【例2-4】(23-24辽宁·期末)若函数在区间上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【例2-5】(24-25高三下·河北沧州·阶段练习)已知函数在定义域上单调递增,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.考向三 极值点与极值【例3-1】(2025·广东汕头·一模)设,若函数在内存在极值点,则a的取值范围是( )A. B. C. D.【例3-2】(2025·吉林长春·一模)已知函数的极大值为,则( )A. B. C. D.【例3-3】(2025·新疆·模拟预测)已知函数在处有极小值,则极大值为( )A.32 B.1 C. D.0【例3-4】.(2025·陕西咸阳·一模)已知在区间内存在2个极值点,则实数a的取值范围为( ).A. B. C. D.【例3-5】(2025·四川成都·二模)若函数有极值,则的取值范围为( )A. B.C. D.【例3-6】(2024北京)若函数存在两个极值点,则的取值范围是 .【例3-7】(2025·江苏苏州·模拟预测)已知函数,若在有唯一的极值点且为极大值点,则a的取值范围为 .考向四 单调性的应用---比较大小【例4-1】(2025·安徽马鞍山·一模)已知函数,若,,,则( )A. B. C. D.【例4-2】(2025·新疆·模拟预测)已知分别为上的奇函数和偶函数,且满足,当时,,若,则大小关系为( )A. B.C. D.【例4-3】(2025·黑龙江·一模)已知实数,,满足,,,其中为自然对数的底数.则,,的大小关系是( )A. B. C. D.【例4-4】(2025·黑龙江·一模)已知函数是偶函数,则( )A. B.C. D.考向五 单调性的应用---解不等式【例5-1】(2024高三·全国·专题练习)函数,若存在,使有解,则的取值范围为( )A. B. C. D.【例5-2】(2025·山西吕梁·一模)设函数,则满足的取值范围是( )A. B. C. D.【例5-3】(2025·内蒙古呼和浩特·一模)设函数,则使得成立的的取值范围是( )A. B. C. D.【例5-4】(2025·贵州毕节·二模)已知函数是定义域为的奇函数,是的导函数,,当时,,则不等式的解集为( )A. B.C. D.【例5-5】(2025·山东·模拟预测)已知为函数的导函数,且.若,则的取值范围是( )A. B.C. D.【例5-6】.(2025·黑龙江哈尔滨·一模)已知函数,若时,关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为( )A. B.C. D.考向六 零点(实根)【例6-1】(24-25高三上·广东深圳·阶段练习)函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.【例6-2】(24-25高三上·四川·期中)已知实数满足,则函数的零点个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3【例6-3】(24-25高三上·湖南·期中)已知函数,若方程恰有5个不同的解,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【例6-4】(24-25高三下·江苏扬州·期末)已知函数,,若函数有5个零点,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【例6-5】(2025·四川南充·二模)已知函数,有5个不相等的实数根,从小到大依次为,,,,,则的取值范围为( )A. B. C. D.【例6-6】(2025·湖南岳阳·一模)已知函数,若函数与的图象有且仅有三个交点,则实数的取值范围是 .考向七 最值【例7-1】(2025·广东佛山·一模)若直线与曲线相切,则的最小值为( )A. B.1 C. D.2【例7-2】(2025·江西·模拟预测)设函数,若,则的最大值为( )A. B. C. D.1【例7-3】(2025·安徽滁州·一模)已知函数,是的反函数.若,满足,则的最大值为( )A. B. C. D.【例7-4】(2025·陕西西安·一模)设函数,其中,若有两个零点且取最小整数P时,的最小值为( )A. B. C. D.考向八 恒(能)成立求参数【例8-1】(24-25高三上·广东潮州·期末)若满足,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【例8-2】(2025·河北秦皇岛·一模)若存在正实数,使得,关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【例8-3】(23-24河南濮阳·期末)已知,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【例8-4】2024·安徽·模拟预测)若关于的方程有解,则实数m的最大值为 .考向九 导数与三角函数综合【例9-1】(2025·湖北·二模)(多选)已知函数是其导函数.若存在且,满足,则( )A. B.C. D.【例9-2】(2025·甘肃·一模)(多选)函数,则( )A.的最小正周期是B.的值域是C.的图象是轴对称图形,其中一条对称轴是D.的零点是【例9-3】(2025·广东广州·模拟预测)(多选)已知函数,为的导函数,则( )A.曲线在处的切线方程为B.在区间上单调递增C.在区间上有极小值D.在区间上有两个零点【例9-4】(2025·福建泉州·一模)(多选)已知函数,则( )A.的最小正周期为 B.曲线关于直线对称C.在区间上有4个零点 D.在区间内单调递减【例9-5】(2025·安徽滁州·一模)(多选)已知函数的极值点从小到大依次为,,,,是的导函数,则( )A. B.C.是的极小值点 D.【例9-6】(24-25高三上·贵州毕节·期中)已知函数,为的最小正周期,且,若在区间上恰有3个极值点,则的取值范围是 .考向十 导数与数列的综合【例10-1】(24-25高三上·河北唐山·期末)设,是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标,记,则数列的前50项和为( )A. B. C. D.【例10-2】(2025·山东淄博·一模)(多选)过点向曲线引斜率为的切线,切点为,则下列结论正确的是( )A. B.C.数列的前项和为 D.【例10-3】(2025·陕西·模拟预测)对函数,若数列满足,则称为牛顿数列.若函数,数列为牛顿数列,且,,则( )A.20 B. C.30 D.【例10-4】(24-25高三下·浙江·开学考试)已知函数,设曲线在点处的切线与轴的交点为,,,则 ;设是函数的零点,,则数列的前项和 .考向十一 导数与概率的综合【例11-1】(2025·内蒙古呼和浩特·一模)设随机变量服从正态分布,若,则函数有极值点的概率为( )A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【例11-2】(2025·云南·模拟预测)某超市在春节期间举行抽奖活动,在箱子里装有个写有“秋绥”的小球和5个写有“冬禧”的小球,这些小球除文字外完全相同.顾客从中一次性抽取两个小球,恰好抽出“秋绥”和“冬禧”视为中奖,其余情况均未中奖.设在连续3次抽奖中(每次抽完后将小球放回箱子再进行下一次抽奖)恰好中奖一次的概率为,则当取到最大值时的值为( )A.15 B.20 C.25 D.30考向十二 导数与函数综合【例12-1】(2025·河北唐山·一模)(多选)已知函数,则下列说法正确的是( )A.当时,在上单调递增B.函数的对称中心为C.,使得与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形D.,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切【例12-2】(2025·广东湛江·一模)(多选)设定义在R上的函数和,记的导函数为,且满足,,若为奇函数,则下列结论一定成立的有( ).A. B.C. D.【例12-3】(2025·湖北武汉·二模)(多选)已知且,则函数的图象可能是( )A.B.C. D.【例12-4】(24-25高三上·山东济南·期末)(多选)已知函数与其导函数的定义域均为R,且为奇函数,,则( )A. B.C. D.【例12-5】(2025·浙江·模拟预测)(多选)设函数,则( )A.为的极大值点 B.的图象关于中心对称C.函数的三个零点成等差数列 D.,【例12-6】(2025·云南昆明·模拟预测)(多选)函数及其导函数的定义域均为R,是奇函数,,且对任意,,则( )A. B. C. D.【例12-7】(2024·山西·模拟预测)(多选)已知函数及其导函数的定义域均为,若是偶函数,且,令,则下列说法正确的是( )A.函数是奇函数 B.C.函数的图象关于点对称 D.【例12-8】(24-25高三上·广东·开学考试)设函数,则( )A.当时,有三个零点B.当时,无极值点C.,使在上是减函数D.图象对称中心的横坐标不变考向十三 导数与解析几何综合【例13-1】(2025·甘肃白银·模拟预测)已知是曲线上一点,则点到直线的最短距离为( )A. B.C. D.【例13-2】(2025·广东惠州·模拟预测)已知,若点为曲线与曲线的交点,且两条曲线在点处的切线重合,则实数的最大值为( )A. B. C. D.【例13-3】(2024·安徽合肥·模拟预测)过且倾斜角为的直线与曲线交于,两点,分别过,作曲线的两条切线,,若,,交于,直线的倾斜角为,则的最小值为( )A. B. C. D.【例13-4】(2025·福建漳州·一模)已知点M是抛物线上一动点,过点M作直线MN与圆相切于点N,则面积的最小值为( )A.4 B. C.5 D.【例13-5】(2025·四川南充·二模)(多选)已知抛物线的焦点为F,过x轴下方一点作抛物线C的两条切线,切点为A,B,直线PA,PB分别交x轴于M,N两点,则下列结论中正确的是( )A.当点P的坐标为时,则直线AB方程为B.若直线AB过点F,则四边形PMFN为矩形C.当时,D.时,面积的最大值为4考向十四 导数的新定义【例14-1】(2024山东菏泽·期末)(多选)函数的图象类似于汉字“囧”字,被称为“囧函数”,并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”,以“囧点”为圆心,凡是与“囧函数”有公共点的圆,皆称之为“囧圆”,则当,时,下列结论正确的是( )A.函数的图象关于直线对称B.当时,的最大值为-1C.函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为D.函数的所有“囧圆”中,面积的最小值为【例14-2】(24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习)(多选)已知函数 是定义在区间 上的连续函数,若 ,使得 , ,都有 ,则称函数 是区间 上的 “ 类函数”. 下列说法正确的有( )A.函数 是区间 上的 “ 3 类函数”B.函数 是区间 上的 “ 2 类函数”C.若函数 是区间 上的 “ 类函数”,则方程 在区间 上至多只有一个解D.若函数 是区间 上的 “ 2 类函数”,且 ,则存在满足条件的函数 ,使得【例14-3】(24-25高三上·安徽·阶段练习)(多选)定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为,则下列说法中正确的有( )A.,B.的值是19C.函数有三个零点D.过只可以作两条直线与图象相切单选题1(2025·福建莆田·二模)曲线在点处切线的斜率为,则的坐标为( )A. B. C. D.2.(2025·江西·一模)已知函数的图象在处的切线过原点,则所在的区间是( )A. B. C. D.3.(2025·甘肃兰州·一模)若函数(e为自然对数的底)的一条切线与x轴平行,则切点的坐标为( )A. B. C. D.4 .(2025·山东济宁·一模)曲线与和分别交于两点,设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为,若,则( )A. B. C. D.5.(2025·河南·二模)已知函数,若存在实数,使得成立,则实数的取值范围为( )A. B.C. D.6.(2025·天津·模拟预测)设,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.(2025·河北·模拟预测)已知函数在上单调递减,在上单调递增,且圆内恰好包含的三个极值对应的点,则的取值范围是( )A. B. C. D.8.(24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试)已知函数,若对任意两个不相等的实数,,都有,则a的最大值为( )A. B.1 C.2 D.09.(2025·江西上饶·一模)利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的,同学们利用我们所学数学知识,探究函数,下列说法正确的是( )A.有且只有一个极大值点 B.在上单调递增C.存在实数,使得 D.有最小值,最小值为10(2025·江西萍乡·一模)将函数的图象向右平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,设,则在内的极大值点为( )A. B. C. D.11.(2025·陕西榆林·模拟预测)已知函数,则的最小值为( )A.0 B. C.1 D.12.(2025·河南郑州·一模)已知函数,,对,,使得成立.下列结论正确的是( )A.,使得B.函数的最大值为0C.a的取值范围为D.过作的切线,有且只有一条13.(2025·辽宁·模拟预测)设函数及其导函数的定义域均为,记,已知,且函数的图象关于直线对称,若,则( )A. B. C. D.0多选题14.(2025·山西·一模)已知函数,过点作平行于轴的直线交曲线于点,曲线在点处的切线交轴于点.则( )A.当时,切线的方程为 B.当时,的面积为C.点的坐标为 D.面积的最小值为15.(2025·江西·二模)已知函数,是函数的一个极值点,则下列说法正确的是( )A.B.函数在区间上单调递减C.过点能作两条不同直线与相切D.函数恰有4个零点16.(2025·安徽合肥·模拟预测)已知函数,则下列命题中正确的是( )A.0是的极小值点B.当时,C.若,则D.若存在极大值点,且,其中,则17.(2025·黑龙江·二模)已知函数的极小值为,则( )A.B.曲线是中心对称图形C.若直线与函数的图象有个交点,则实数的取值范围为D.当时,18.(2025·安徽黄山·一模)设函数,则( )A.存在,函数仅有一个极值点B.曲线关于点对称C.当时,是曲线的切线方程D.当时,函数有唯一零点19.(2025·福建莆田·二模)已知函数,下列结论正确的是( )A.当时,是的极大值点B.存在实数,使得成立C.若在区间上单调递减,则的取值范围是D.若存在唯一的零点,且,则的取值范围是20.(2025·江西萍乡·一模)已知函数,则下列结论正确的是( )A.若有2个零点,则B.当时,是增函数C.当时,恒成立D.当时,若是的零点,则21.(2025·四川德阳·二模)已知函数的导函数为( )A.若有三个零点,则 B.C.是的极小值点 D.当时,则填空题22.(2025·北京平谷·一模)已知函数,当时,的值域是 ,若有两个极值点,则的取值范围是 .23.(2025·湖北鄂州·一模)已知函数在上单调递减,则a的取值范围为 .24.(2025·河北保定·模拟预测)对于,函数有且仅有一个零点,则实数的取值范围是 .25.(23-24高三上·江苏连云港·阶段练习)已知直线分别与曲线,相切于点,,则的值为 .26.(2025河南)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.若,则a的取值范围是 .27.(23-24 ·山东聊城·期末)若直线与曲线相切,也与曲线相切,则的斜率为 .28.(24-25高三下·湖南永州·开学考试)若曲线与曲线有三条公切线,则的取值范围是 .29.(2025·陕西宝鸡·二模)若函数的极大值点为,则 .21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台考点五 导数(选填题14种考向)考向一 切线方程【例1-1】(2025·江西·二模)已知函数,则在点处的切线方程为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】当时,,当时,,则,所以,,则所求切线方程为,即.故选:A【例1-2】(2025·山东聊城·一模)曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】对函数求导得,故所求切线斜率为,切点坐标为,所以,曲线在处的切线方程为,该切线交轴于点,交轴于点,因此,曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选:D.【例1-3】(2024吉林)(多选)已知函数,则曲线过点的切线方程为( ).B.C. 5x-y-1=0 D.105x+16y-15=0【答案】AB【解析】设切点为,,则切线斜率为,故曲线在处的切线方程为,将点的坐标代入切线方程可得,解或,故所求切线方程为或,即或.故答案为:或.【例1-4】(2025·贵州安顺·模拟预测)已知直线与曲线相切,则的值为( )A. B. C. D.1【答案】A【解析】设切点坐标为.∵,∴,则,由②得,,代入①得,,整理得,解得,故.故选:A.【例1-5】(2025·河南·模拟预测)过原点且与曲线相切的直线有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】设切点,因为曲线,所以,所以,所以,所以或,当时,所以,所以切线方程为,即;当时,所以,所以切线方程为,即;当时,所以,所以切线方程为,即;所以切线有3条.故选:C.【例1-6】(2025·山东聊城·模拟预测)已知直线与曲线有三个交点,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】令,则令得,∴时,单调递减;令得,∴时,单调递增,又,故,则,若,则,且,因为,所以点在曲线上,所以的图像如图所示因为直线过定点,由题意可知,过点的直线与曲线有三个交点,因为过点的曲线的切线的斜率为:,即当时,直线与曲线相切;因,,,,,所以函数在时是凸的,在时是凸的,在函数可能有一个拐点.因此,函数 在 左右由凸变凹.根据图像可知,当时,直线与曲线有两个公共点;当时,直线与曲线只有一个公共点;当时,直线与曲线有三个公共点.故选:A.【例1-7】(2025·甘肃白银·模拟预测)已知是曲线上一点,则点到直线的最短距离为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】由题知,,令,得,又,可得点,所以点到直线的距离最短,为.故选:A.【例1-8】(2025·江西新余·模拟预测)过轴上一点可以作函数图像的3条切线,则的取值范围是:( ).A. B. C. D.【答案】A【解析】因为,所以,设切点为,则切线方程,而过,将代入方程得到,令,,令,,此时单调递减,令,,此时单调递增,故有极小值,有极大值,则得到,故A正确.故选:A.考向二 根据单调性求参数【例2-1】(2025·山东菏泽·一模)已知函数在区间单调,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知得,当时,令,得,令,解得;令,解得;故在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以若在区间上单调,则需满足或,即或,所以的取值范围是故选:B【例2-2】(2025·黑龙江·二模)已知函数在区间上单调递增,则实数的最小值为( )A. B. C. D.1【答案】B【解析】,因为函数在区间上单调递增,所以在区间上恒成立.即在区间上恒成立.因为,所以,所以,所以,即实数的最小值为.故选:B【例2-3】(24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习)已知函数在区间上不单调,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】,又函数的定义域是,当时,,当时,,故函数在上单调递减,在上单调递增,,解得.故选:C【例2-4】(23-24辽宁·期末)若函数在区间上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】,因为在区间上存在单调递减区间,所以在区间上有解,即在区间上有解,当显然不出来;当时,,即,故选:C.【例2-5】(24-25高三下·河北沧州·阶段练习)已知函数在定义域上单调递增,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由,解得,所以的定义域是,依题意可知在区间上恒成立,即在区间上恒成立,即在区间上恒成立,由于,所以的最大值为,所以.故选:D.考向三 极值点与极值【例3-1】(2025·广东汕头·一模)设,若函数在内存在极值点,则a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意,在内存在变号零点,而不是的零点,从而得,又在上递增,所以.故选:B【例3-2】(2025·吉林长春·一模)已知函数的极大值为,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意,,则,令,解得或,当时,在,上满足,单调递增,在上满足,单调递减,所以在处取得极大值,,解得,当时,在,上满足,单调递增,在上满足,单调递减,所以在处取得极大值,,不符合题意,当时,,在R上单调递增,无极值,不符合题意,综上所述,.故选:D.【例3-3】(2025·新疆·模拟预测)已知函数在处有极小值,则极大值为( )A.32 B.1 C. D.0【答案】C【解析】由题意可得,由于是极小值点,故,或 ,当时,,当和时,,当时,,故在单调递减,在和单调递增,此时是函数的极大值点,不符合题意,舍去,当时,,当和时,,当时,,故在单调递减,在和单调递增,此时是函数的极小值点,符合题意,且是极大值点,故极大值为,故选:C【例3-4】.(2025·陕西咸阳·一模)已知在区间内存在2个极值点,则实数a的取值范围为( ).A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,可知在内有2个变号零点,由可得,可知:与在内有2个交点,又因为,令,解得;令,解得;可知在内单调递增,在内单调递减,则,且,,结合图象可得,所以实数a的取值范围为.故选:B.【例3-5】(2025·四川成都·二模)若函数有极值,则的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】由,,则,令,,则,当时,恒成立,则,即函数在上单调递增,此时函数无极值,不符合题意;当时,令,得,当时,,则,得函数在上单调递减,又时,;时,,所以存在,使得,则函数存在极值;当时,,则时,;时,,所以函数在上单调递减,在上单调递增,则,设,,则,当时,;当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,又,且时,,则时,,此时函数无极值,不符合题意;当时,,且时,;时,,此时函数存在极值.综上所述,的取值范围为.故选:A.【例3-6】(2024北京)若函数存在两个极值点,则的取值范围是 .【答案】【解析】由题意知:的定义域为,,有两个极值点,为的两根,,又,解得:;,,;令,则,当时,恒成立,在上单调递减,,则的取值范围为.故答案为:.【例3-7】(2025·江苏苏州·模拟预测)已知函数,若在有唯一的极值点且为极大值点,则a的取值范围为 .【答案】【解析】函数,则,因为在有唯一的极值点且为极大值点,所以根据零点的存在性定理得,的图象是开口向上的抛物线,对称轴为 ,由于对称轴在区间 右侧,要使在内有唯一的变号零点,则需满足 ,而,,则不等式组可化为 ,解得,综上,的取值范围为.故答案为:.考向四 单调性的应用---比较大小【例4-1】(2025·安徽马鞍山·一模)已知函数,若,,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】函数定义域为R,且,故函数为偶函数,又在上,即在上单调递增,因为,且,所以,即.故选:D【例4-2】(2025·新疆·模拟预测)已知分别为上的奇函数和偶函数,且满足,当时,,若,则大小关系为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】因为分别为上的奇函数和偶函数,所以,由, 得,所以,可得的周期为2,又,可得,两式相加可得,当时,因为都是增函数,所以为增函数,且,所以为单调递增函数,,,,所以.故选:A.【例4-3】(2025·黑龙江·一模)已知实数,,满足,,,其中为自然对数的底数.则,,的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】设,可知函数的定义域为,且,因为在定义域上单调递增,且,若,则;若,则;可得在上单调递增,在上单调递减,又因为,,,可得,,,即,,,且,,,可知,且,,,所以.故选:D.【例4-4】(2025·黑龙江·一模)已知函数是偶函数,则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】因为函数是偶函数,且,,所以,即,解得,得到,其定义域关于原点对称,此时,,故是偶函数,符合题意,而,令,,令,,故在上单调递减,在上单调递增,而,且,得到,而由偶函数性质得,而,则,得到成立,故A正确.故选:A考向五 单调性的应用---解不等式【例5-1】(2024高三·全国·专题练习)函数,若存在,使有解,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】若存在,使得有解,即.设,,则.令,解得,当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以.故的取值范围为.故选:A【例5-2】(2025·山西吕梁·一模)设函数,则满足的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】令函数,其定义域为R,,函数是奇函数,求导得,当且仅当时取等号,因此函数在R上单调递增,不等式,则,解得,所以所求取值范围是.故选:A【例5-3】(2025·内蒙古呼和浩特·一模)设函数,则使得成立的的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的定义域为R,,函数是奇函数,求导得,函数在R上单调递增,由,得,即,则,因此,解得,所以所求的取值范围是.故选:C【例5-4】(2025·贵州毕节·二模)已知函数是定义域为的奇函数,是的导函数,,当时,,则不等式的解集为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】令,则,由题意知当时,,故在上单调递增,因为函数是定义域为的奇函数,所以,所以,所以是定义域为的偶函数,所以在上单调递减,又因为,所以,所以,所以当时,,则;当时,,则;当时,,则;当时,,则.则不等式的解集为.故选:D.【例5-5】(2025·山东·模拟预测)已知为函数的导函数,且.若,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可得,所以,解得,所以,即,又,当且仅当,即时,等号成立,所以,,故选:D【例5-6】.(2025·黑龙江哈尔滨·一模)已知函数,若时,关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可得,令解得,所以当时,,单调递减,当时,,单调递增,又因为,所以为偶函数,大致图象如下,若时,关于的不等式恒成立,则对恒成立,所以,则或,所以或对恒成立,所以或,所以实数的取值范围为,故选:C考向六 零点(实根)【例6-1】(24-25高三上·广东深圳·阶段练习)函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由于,,且中,故,在单调递增,因此至多一个零点,,,,因此的零点所在的区间是,故选:C【例6-2】(24-25高三上·四川·期中)已知实数满足,则函数的零点个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】由题设,则或时,时,,所以在上递增,在上递减,且,由,即,而在R上递增,在R上递减,显然,故,所以,又趋向时趋向趋向时趋向,综上,共有3个零点.故选:D【例6-3】(24-25高三上·湖南·期中)已知函数,若方程恰有5个不同的解,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为,若时,由求导得,,故当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,也是最小值,,当时,;当时,;若时,由求导得,,因为,故恒有,即在上单调递增,且当时,,当时,,即当时,恒有.作出函数的大致图象如图所示. 又由可得或,由图知有两个根,此时方程有2个不同的解;要使方程恰有5个不同的解,需使有3个零点,由图知,需使,即,解得.综上所述,实数a的取值范围是.故选:B.【例6-4】(24-25高三下·江苏扬州·期末)已知函数,,若函数有5个零点,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意,可知:①当时,,故为的1个零点.②当时,由题意,可得,即与有4个交点,当时,,设,,则,令得,则函数在单调递增,在上单调递减,又,如图则必有,解得,故选:D【例6-5】(2025·四川南充·二模)已知函数,有5个不相等的实数根,从小到大依次为,,,,,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为当时,,所以,所以当时,,单调递减;当时,,单调递增;当时,,单调递减;所以,所以,当时,,所以函数在上单调递减,在上单调递增,作出函数的图象,如图所示:由此可得,当时,令,解得或,所以,又因为,所以,所以;由题意可得,,是方程,即的三个根,所以,即,所以,即,所以.故选:.【例6-6】(2025·湖南岳阳·一模)已知函数,若函数与的图象有且仅有三个交点,则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】当时,则,令,求导可得,令,解得,可得下表:单调递增 极大值 单调递减由函数的极大值为,则存在唯一零点,所以函数与函数在上有且仅有一个交点;当时,,令,求导可得,显然上,则函数在上单调递减,当时,,当时,,由,则函数在上存在唯一零点,所以函数与函数在上有且仅有一个交点;由题意可得函数与函数在上有且仅有一个交点,当时,,令,令,整理可得,当方程有两个相等的实数解时,,解得,此时,符合题意,当方程在有一个实数根时,可得,解得,综上可得.故答案为:.考向七 最值【例7-1】(2025·广东佛山·一模)若直线与曲线相切,则的最小值为( )A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】设直线与曲线的切点为.对求导,根据,可得.因为直线的斜率为,由导数的几何意义可知,在切点处,即.又因为切点既在直线上又在曲线上,所以且,即.将代入可得:,即.将代入可得:,所以当,时,取得最小值为.故选:A【例7-2】(2025·江西·模拟预测)设函数,若,则的最大值为( )A. B. C. D.1【答案】C【解析】当时,,定义域为不恒成立,不合题意;当时,定义域为在定义域内单调递增,当时,,不合题意;当时,定义域为,,在上单调递减,在上单调递增,,,,令,,在上单调递增,在上单调递减,的最大值为.故答案为:C【例7-3】(2025·安徽滁州·一模)已知函数,是的反函数.若,满足,则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得,因为,所以,所以,令,则,因为在上单调递增,所以所以,令,则,令,则,所以在R上单调递减,又所以当时,,即当时,,即,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,故选:D.【例7-4】(2025·陕西西安·一模)设函数,其中,若有两个零点且取最小整数P时,的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】令,函数定义域为,求导得,当时,,函数在上单调递增,最多一个零点,不符合题意,当时,由,得;由,得,函数在上单调递减,在上单调递增,,当从大于0的方向趋近于0时,值趋近于正无穷大;当趋近于正无穷大时,值趋近于正无穷大,由有两个零点,得,即,函数在上都递增,则函数在上递增,,因此存在,使得,则不等式成立时,的最小整数值为3,即,由,得,,当且仅当,即时取等号,B正确.故选:B考向八 恒(能)成立求参数【例8-1】(24-25高三上·广东潮州·期末)若满足,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】设,则恒成立,即,因为,所以在上单调递增,且当时,,故当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以当时,取得极小值,即最小值,,令,得.故选:D.【例8-2】(2025·河北秦皇岛·一模)若存在正实数,使得,关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】恒成立,即恒成立,,设,故时,,单调递减;时,,单调递增,故,当时,且,由的单调性知,在上单调递减,上单调递增,,此时若存在正实数,,使恒成立,即存在正实数,使,故.当时,故恒成立,即恒成立,因为,故此时不存在正实数满足条件.综上可得,实数的取值范围是.故选:B【例8-3】(23-24河南濮阳·期末)已知,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解法一:不等式,即 ,设,则,,令,则,当时,,单调递减,当 时,,单调递增.故只需,所以,即.设,则在上单调递增,又,所以,设,则,所以在上单调递增,所以的值域为,即的取值范围为.解法二:由题意将原不等式变形可得,即,令,则有,即因为,所以有对于任意的恒成立,令,则因为,且当时,,单调递增;当时,,单调递减;所以在处取极大值,也是的最大值所以又因为,所以故选:C【例8-4】2024·安徽·模拟预测)若关于的方程有解,则实数m的最大值为 .【答案】/【解析】由题意得,,令,则,易知单调递增,所以.令,,当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以,所以,得.所以的最大值为.故答案为:考向九 导数与三角函数综合【例9-1】(2025·湖北·二模)(多选)已知函数是其导函数.若存在且,满足,则( )A. B.C. D.【答案】ABD【解析】,数形结合,得到内的大致图象为如图所示,故,,A对.由得,即,由题意,则,,则,B正确.又,D正确.因为,从而C错误.故选:ABD.【例9-2】(2025·甘肃·一模)(多选)函数,则( )A.的最小正周期是B.的值域是C.的图象是轴对称图形,其中一条对称轴是D.的零点是【答案】ABD【解析】对A:,故为的周期,显然,没有比更小的正周期,故的最小正周期为,故A正确;对B:考虑到的最小正周期为,故只需考虑在的值域;,,故即;因为,故,则当时,,即,此时,单调递减;当时,,即,此时,单调递增;又,,,故的值域为,故B正确;对C:,,则,即,则不是的对称轴,故C错误;对D:令,即,,即,则,或,解得,或,,又,,故的零点为,D正确.故选:ABD.【例9-3】(2025·广东广州·模拟预测)(多选)已知函数,为的导函数,则( )A.曲线在处的切线方程为B.在区间上单调递增C.在区间上有极小值D.在区间上有两个零点【答案】BC【解析】依题意,,对于A,,,所求切线方程为,A错误;对于B,当时,,在区间上单调递增,B正确;对于C,在上都单调递增,则函数在上单调递增,,,则存在唯一,使得,当时,;当时,,因此在处取得极小值,C正确;对于D,由选项C知,在上有唯一零点,又,当时,,即,,因此在区间上有1零点,D错误.故选:BC【例9-4】(2025·福建泉州·一模)(多选)已知函数,则( )A.的最小正周期为 B.曲线关于直线对称C.在区间上有4个零点 D.在区间内单调递减【答案】AD【解析】A选项,的最小正周期为,的最小正周期为,两者的最小公倍数为,故的最小正周期为,A正确;B选项,,故曲线不关于直线对称,B错误;C选项,,令得,故或,因为,所以的解为,,,,,的解为,,,综上,在区间上有5个零点,C错误;D选项,当时,,,即,所以在区间内单调递减,D正确故选:AD【例9-5】(2025·安徽滁州·一模)(多选)已知函数的极值点从小到大依次为,,,,是的导函数,则( )A. B.C.是的极小值点 D.【答案】ACD【解析】,定义域为,则,.因为,所以,而,所以,故选项A正确;令,则.①考虑的情况:当时,;当时,;则函数在上单调递增,在上单调递减.又,,当且时,,则存在,使得,当时,,此时,则,故;当时,,此时,则,故.②考虑的情况:当时,,,且等号不能同时取得,则,此时.结合①可知,在上单调递增,在上单调递减,函数在处取得极大值,可知,故选项B错误;③考虑的情况:当时,;当时,;则函数在上单调递增,在上单调递减,,,当且时,,则存在,使得,当时,,此时,则,此时;当时,,此时,则,此时;④考虑的情况:当时,,,且等号不能同时取得,则,此时;结合③可知,在上单调递减,在上单调递增,综上,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,函数在处取得极大值,在处取得极小值,可知,即是的极小值点,故选项C正确;⑤考虑的情况:可知函数在上单调递增,在上单调递减,同①可知,存在,使得,当时,,此时;当时,,此时;综合可知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,可知.由题可知,,.令,,则,可得,,可得,由可得,则,则,即,.又,则,,,可得,即,则,即,即,可得.又,,函数在上单调递减,所以,即,可得,故选项D正确.故选:ACD.【例9-6】(24-25高三上·贵州毕节·期中)已知函数,为的最小正周期,且,若在区间上恰有3个极值点,则的取值范围是 .【答案】【解析】由题意可得:的最小正周期,因为,且,则为的一条对称轴,所以,解得,又,则,故,因为,则,若函数在区间上恰有3个极值点,则,解得,故的取值范围是.故答案为:.考向十 导数与数列的综合【例10-1】(24-25高三上·河北唐山·期末)设,是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标,记,则数列的前50项和为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】,当时,,在点处的切线为:,化简为:,当代入中,,即,,化简:,则数列的前50项和为:,故选:A.【例10-2】(2025·山东淄博·一模)(多选)过点向曲线引斜率为的切线,切点为,则下列结论正确的是( )A. B.C.数列的前项和为 D.【答案】ABD【解析】设直线,联立,得,则由,即,解得(负值舍去),故A正确;可得,,所以,故B正确;因为,则,故C错误;因为,,所以,设,则,可得在上单调递增,则时,,又,则,故D正确.故选:ABD【例10-3】(2025·陕西·模拟预测)对函数,若数列满足,则称为牛顿数列.若函数,数列为牛顿数列,且,,则( )A.20 B. C.30 D.【答案】B【解析】因为,所以,则,又因为,且,所以是首项为,公比的等比数列,,,则,故选:B.【例10-4】(24-25高三下·浙江·开学考试)已知函数,设曲线在点处的切线与轴的交点为,,,则 ;设是函数的零点,,则数列的前项和 .【答案】 2【解析】因为,所以.因为,,所以曲线在点处的切线方程为.令,得,即.因为,所以.因为,所以.因为,所以,,所以.因为, 故,而,故为等比数列,且首项为1,公比为2,所以,故.故答案为:考向十一 导数与概率的综合【例11-1】(2025·内蒙古呼和浩特·一模)设随机变量服从正态分布,若,则函数有极值点的概率为( )A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】C【解析】函数的定义域为R,求导得,依题意,有两个不相等的实数根,则,解得,由随机变量服从正态分布,且,得,所以函数有极值点的概率为0.4.故选:C【例11-2】(2025·云南·模拟预测)某超市在春节期间举行抽奖活动,在箱子里装有个写有“秋绥”的小球和5个写有“冬禧”的小球,这些小球除文字外完全相同.顾客从中一次性抽取两个小球,恰好抽出“秋绥”和“冬禧”视为中奖,其余情况均未中奖.设在连续3次抽奖中(每次抽完后将小球放回箱子再进行下一次抽奖)恰好中奖一次的概率为,则当取到最大值时的值为( )A.15 B.20 C.25 D.30【答案】B【解析】依题意,单次抽奖中奖的概率,则连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率,令,求导得,当时,,当时,,函数在上单调递增,在上单调递减,当时,取得最大值,因此当取最大值时,,而,解得,所以当取到最大值时的值为.故选:B考向十二 导数与函数综合【例12-1】(2025·河北唐山·一模)(多选)已知函数,则下列说法正确的是( )A.当时,在上单调递增B.函数的对称中心为C.,使得与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形D.,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切【答案】ABD【解析】因为,所以,当时,在上恒成立,即在上单调递增,故A正确;因为,所以的对称中心为,故B正确;由B项可知,函数的对称中心为且也关于对称,假设与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形,即与曲线有四个交点,即,即除去0以外还有四个解,即,所以,设和与曲线的交点分别为A,C,B,D,所以,即,无解,假设不成立,故C错误;设两直线与曲线的切点分别为,,则,即,所以,,总存在,使得上式成立,即,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切,故D正确;故选:ABD.【例12-2】(2025·广东湛江·一模)(多选)设定义在R上的函数和,记的导函数为,且满足,,若为奇函数,则下列结论一定成立的有( ).A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由得.又,所以,即,所以关于对称,.又因为是奇函数,故是偶函数,所以满足条件.对于选项A,因为,所以,所以,选项A正确;,选项B正确;因为,所以,所以,选项C正确;对于选项D,,但不一定为0,选项D错误.故选:ABC.【例12-3】(2025·湖北武汉·二模)(多选)已知且,则函数的图象可能是( )A.B.C. D.【答案】BCD【解析】由,求导可得,易知函数在单调递增,令,求导可得在上恒成立,则在上单调递增,所以,易知,使得,则,即,当时,,则函数在上单调递减;当时,,则函数在上单调递增,所以,由,则,当,即时,,故A错误,B可能正确;当,即时,令,求导可得,则函数在上单调递减.由,,则存在,使得,所以当时,此时符号不定,故CD可能正确.故选:BCD.【例12-4】(24-25高三上·山东济南·期末)(多选)已知函数与其导函数的定义域均为R,且为奇函数,,则( )A. B.C. D.【答案】AC【解析】因为为奇函数,所以所以A正确;由A可知,求导数所以关于直线对称,又所以即故B错误,C正确因为所以所以D错误.故选:AC【例12-5】(2025·浙江·模拟预测)(多选)设函数,则( )A.为的极大值点 B.的图象关于中心对称C.函数的三个零点成等差数列 D.,【答案】ABC【解析】由题设,则得或,得,所以在上单调递增,在上单调递减,故为极大值点,A对;由,所以的图象关于中心对称,B对;显然是函数的一个零点,若另两个零点为,则,所以,则,所以,故函数的三个零点成等差数列,C对;由上知,则,可得,故不存在,,D错.故选:ABC【例12-6】(2025·云南昆明·模拟预测)(多选)函数及其导函数的定义域均为R,是奇函数,,且对任意,,则( )A. B. C. D.【答案】ACD【解析】对于A,由函数是R上的奇函数,得,A正确;对于B,由,令,得,而,解得,B错误;由,两边求导得,令,得,则,即,于是,即,因此,即,则,且,函数都是周期为的周期函数,,对于C,,C正确;对于D,,而,则,即,因此,D正确.故选:ACD【例12-7】(2024·山西·模拟预测)(多选)已知函数及其导函数的定义域均为,若是偶函数,且,令,则下列说法正确的是( )A.函数是奇函数 B.C.函数的图象关于点对称 D.【答案】BCD【解析】对A,因为,所以,所以函数是偶函数,故A错误;对B,因为为偶函数,所以,即,所以,即,令,得,所以,故B正确;对C,因为,所以,即,又,所以,所以,所以,即,所以函数的图象关于点对称,故C正确;对D,因为,令,得,所以,又,所以,,…,所以,故D正确.故选:BCD.【例12-8】(24-25高三上·广东·开学考试)设函数,则( )A.当时,有三个零点B.当时,无极值点C.,使在上是减函数D.图象对称中心的横坐标不变【答案】BD【解析】对于A,当时,,求导得,令得或,由,得或,由,得,于是在,上单调递增,在上单调递减,在处取得极大值,因此最多有一个零点,A错误;对于B,,当时,,即恒成立,函数在上单调递增,无极值点,B正确;对于C,要使在上是减函数,则恒成立,而不等式的解集不可能为,C错误;对于D,由,得图象对称中心坐标为,D正确.故选:BD考向十三 导数与解析几何综合【例13-1】(2025·甘肃白银·模拟预测)已知是曲线上一点,则点到直线的最短距离为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】由题知,,令,得,又,可得点,所以点到直线的距离最短,为.故选:A.【例13-2】(2025·广东惠州·模拟预测)已知,若点为曲线与曲线的交点,且两条曲线在点处的切线重合,则实数的最大值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得,由得,设点的横坐标为,则点处切线斜率,解得或(舍),由点为曲线与曲线的交点,所以与为同一点,所以,即,令,则,令可得,由知,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,故实数的最大值为.故选:B.【例13-3】(2024·安徽合肥·模拟预测)过且倾斜角为的直线与曲线交于,两点,分别过,作曲线的两条切线,,若,,交于,直线的倾斜角为,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】如图,设,,,由于曲线,则,所以在点的切线方程为,同理在点的切线方程为,由于点是两切线的交点,所以,则为,且过,且,设,,,当且仅当时“”成立,故选:C.【例13-4】(2025·福建漳州·一模)已知点M是抛物线上一动点,过点M作直线MN与圆相切于点N,则面积的最小值为( )A.4 B. C.5 D.【答案】A【解析】由题意得:表示以圆心,以为半径的圆,可知,所以,所以当取得最小值时,的面积最小.设,则,令,则,令,则,所以单调递增,即单调递增.又,所以当时,,单调递增,当时,,单调递减.所以,即面积的最小值为故选:A.【例13-5】(2025·四川南充·二模)(多选)已知抛物线的焦点为F,过x轴下方一点作抛物线C的两条切线,切点为A,B,直线PA,PB分别交x轴于M,N两点,则下列结论中正确的是( )A.当点P的坐标为时,则直线AB方程为B.若直线AB过点F,则四边形PMFN为矩形C.当时,D.时,面积的最大值为4【答案】ABD【解析】方程变形为,则. 设,,直线的方程:,即,同理可得直线的方程:,点在直线和上,∴,,∴的方程为,联立,得①,由韦达定理得,,②.对于选项A,当为时,,故A正确;对于选项B,若直线过点时,,即,,,利用韦达定理,则,∴,同理.由②得,,∴四边形PMFN为矩形,故B正确;对于选项C,当时,取,方程①变为,即得,,,故C错误;对于选项D,当时,由弦长公式得,即,点到直线的距离为,,∴,∴,当取等号,故D正确.故选:ABD.考向十四 导数的新定义【例14-1】(2024山东菏泽·期末)(多选)函数的图象类似于汉字“囧”字,被称为“囧函数”,并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”,以“囧点”为圆心,凡是与“囧函数”有公共点的圆,皆称之为“囧圆”,则当,时,下列结论正确的是( )A.函数的图象关于直线对称B.当时,的最大值为-1C.函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为D.函数的所有“囧圆”中,面积的最小值为【答案】BCD【解析】当,时,函数.A.f(x)的定义域为,,且为偶函数,则函数关于对称,故A错误;B.其图象如图所示,当,为减函数,则当时,最大为,故B正确;C.当时,,即函数图象与轴的交点为,其关于原点的对称点为,所以“囧点”为,设,则,设切点为,,切线的斜率,当“囧点”与切点的连线垂直切线时,距离最短,,解得,切点坐标为,故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是,故C正确,D.“囧圆”的圆心为.要求“囧圆”的面积最小,则只需考虑轴及轴右侧的函数图象.当圆过点时,其半径为2,这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值;当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时,设(其中,则点到圆心的距离的平方为,令,,则,再令,(其中,则,所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时,最小半径为.又,综上可知,在所有的“囧圆”中,半径的最小值为.故所有的“囧圆”中,圆的面积的最小值为,故D正确,故选:BCD.【例14-2】(24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习)(多选)已知函数 是定义在区间 上的连续函数,若 ,使得 , ,都有 ,则称函数 是区间 上的 “ 类函数”. 下列说法正确的有( )A.函数 是区间 上的 “ 3 类函数”B.函数 是区间 上的 “ 2 类函数”C.若函数 是区间 上的 “ 类函数”,则方程 在区间 上至多只有一个解D.若函数 是区间 上的 “ 2 类函数”,且 ,则存在满足条件的函数 ,使得【答案】ABC【解析】对于选项A,,,,所以选项A正确;对于选项B,“函数是区间上的‘2类函数’”等价于“,,恒成立”,不妨设,即等价于“在上恒成立”,即“”和“,对,,且恒成立”,所以等价于“函数在上单调递减”且“函数在上单调递增”,令,,又因为时,,,所以“函数在上单调递减”且“函数在上单调递增”,即“函数是区间上的‘2类函数’”成立,所以选项B正确;对于选项C,若方程在区间上有两个及以上的解,不妨设其中两个不同的解为,则,所以,所以,与若函数是区间上的“k类函数”矛盾,所以选项C正确;对于选项D,不妨设,且,若,则;若,则,所以,恒成立,所以选项D错误,故选:ABC.【例14-3】(24-25高三上·安徽·阶段练习)(多选)定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为,则下列说法中正确的有( )A.,B.的值是19C.函数有三个零点D.过只可以作两条直线与图象相切【答案】ABD【解析】对于A,因为,所以,所以,由题意可得,即,解得,故A正确;对于B,因为的对称中心为,所以,设,仿写得到,两式相加得到,所以,故B正确;对于C,由A可得,所以,令,解得或2,所以,当时,,为增函数;当时,,为减函数;当时,,为增函数;所以在取得极大值,在处取得极小值,又,,且,所以有一个零点,故C错误;对于D,设切点为,则切线方程为,又切线过点,所以,化简可得,即,解得或,即满足题意的切点只有两个,所以满足题意的切线只有2条,故D正确;故选:ABD.单选题1(2025·福建莆田·二模)曲线在点处切线的斜率为,则的坐标为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】,令,则,故,当时,,即的坐标为.故选:B.2.(2025·江西·一模)已知函数的图象在处的切线过原点,则所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,所以.因为的图象在处的切线过原点,则,即,即.设,因为在上均单调递增,且函数值为正,所以在上单调递增,且,,所以.故选:.3.(2025·甘肃兰州·一模)若函数(e为自然对数的底)的一条切线与x轴平行,则切点的坐标为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设切点坐标为,函数,所以,因为切线与x轴平行,所以,解得,,故切点坐标为故选:B4 .(2025·山东济宁·一模)曲线与和分别交于两点,设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为,若,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为和互为反函数,其图象关于直线对称,且反比例函数的图象也关于直线对称,可知点关于直线对称,设,则,设,则,由题意可得:,解得或(舍去),可得,则,所以.故选:A.5.(2025·河南·二模)已知函数,若存在实数,使得成立,则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】因为函数,若存在实数,使得成立,当时,存在,所以;当时,不成立;当时,存在,所以成立,令,,当单调递增;当单调递减;所以时,,,,所以;综上得:或.故选:D.6.(2025·天津·模拟预测)设,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】对应,有,故在R上单调递增,若,即,所以“”是“”的充要条件.故选:C7.(2025·河北·模拟预测)已知函数在上单调递减,在上单调递增,且圆内恰好包含的三个极值对应的点,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知在处取得最小值,,,解得,∵函数在上单调递减,,即,,当时,,,符合条件,.由图像知轴右侧包含两个极值对应的点,左侧包含一个极值对应的点,的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离,小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离,即,故选:B.8.(24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试)已知函数,若对任意两个不相等的实数,,都有,则a的最大值为( )A. B.1 C.2 D.0【答案】B【解析】不妨设,因为,所以,构造函数,则,所以单调递增,恒成立,即恒成立,令函数,,当时,,当,,所以在上单调递减,在上单调递增,则,故.故选:B.9.(2025·江西上饶·一模)利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的,同学们利用我们所学数学知识,探究函数,下列说法正确的是( )A.有且只有一个极大值点 B.在上单调递增C.存在实数,使得 D.有最小值,最小值为【答案】D【解析】由,则,令,则,令,解得,当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增;由函数与复合而成,而在上单调递增;故在上单调递减,在上单调递增;所以在处取极小值,且无极大值,又,故不存在实数,使得.故ABC错误,D正确.故选:D.10(2025·江西萍乡·一模)将函数的图象向右平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,设,则在内的极大值点为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的图象向右平移个单位长度,得函数的图象,再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,所以,则.令,得,或.当时,单调递减;当时,单调递增;当时,单调递减,所以在内的极大值点为.故选:A.11.(2025·陕西榆林·模拟预测)已知函数,则的最小值为( )A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】法1:因为,所以在上单调递增,又因为,所以当时,,当时,,所以,,因此当时,取得最小值.法2:因为,所以在上单调递增,又,所以当时,,当时,,因此与函数符号相同,原不等式等价于在上恒成立,因此,设点,则点在直线上,因此.法3:因为,所以在上单调递增,零点为0,又因为单调递增,零点为,因此,当且仅当时取等号.法4:设,则恒成立,因为,所以为函数的极小值点,因此,又,所以,当时,,由解法1知,当时,,即,当时,,即,满足题意.因此,下同解法1.法5:设,则恒成立,因为,所以为函数的极小值点,因此,又,所以,由解法1知在上单调递增,且,因此,下同解法1.故选:D.12.(2025·河南郑州·一模)已知函数,,对,,使得成立.下列结论正确的是( )A.,使得B.函数的最大值为0C.a的取值范围为D.过作的切线,有且只有一条【答案】D【解析】对于A,,因为在上单调递增,在上单调递增,所以在上单调递增,又,所以当时,,故A错误;对于B,由A的分析可知,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以在处取得最小值:,无最大值,故B错误;对于C,由前面分析知,由题可知:,使得对于函数,,当时,,故无论a取什么值,均,使得,则a的取值范围为R,故C错误;对于D,不妨设切点为,,切线方程为,把代入可得:,即:令,,,因为对恒成立,所以当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,又,所以只有一个零点0,即只有时,成立,故过作的切线,有且只有一条,故D正确.故选:D.13.(2025·辽宁·模拟预测)设函数及其导函数的定义域均为,记,已知,且函数的图象关于直线对称,若,则( )A. B. C. D.0【答案】B【解析】由,得,两式相加得,两边取导数得,即,则,所以是以6为一个周期的周期函数,由函数的图象关于直线对称,得,则,所以直线是图象的一条对称轴,由,两边取导数得,则,令,得,又,所以;令,得;令,得;令,得;令,得.所以,因为,所以.故选:B多选题14.(2025·山西·一模)已知函数,过点作平行于轴的直线交曲线于点,曲线在点处的切线交轴于点.则( )A.当时,切线的方程为 B.当时,的面积为C.点的坐标为 D.面积的最小值为【答案】BCD【解析】由已知得,,过点的切线方程为,当时,,则,故正确;当时,,则,以为切点的切线方程为,即,故错误;此时,的面积,故正确;因为,,,所以,,所以,令,所以,令,即,解得,当时,,所以函数在内单调递减,当时,,所以函数在内单调递增,所以当时,函数有最小值,最小值为,故正确.故选:.15.(2025·江西·二模)已知函数,是函数的一个极值点,则下列说法正确的是( )A.B.函数在区间上单调递减C.过点能作两条不同直线与相切D.函数恰有4个零点【答案】AB【解析】对于A中,由函数,可得,因为 是函数的一个极值点,可得,解得,经检验适合题意,所以A正确;对于B中,由,令,解得或,当时,;当时,;当时,,故在区间上递增,在区间上递减,在区间上递增,所以B正确;对于C中,设过点且与函数相切的切点为,则该切线方程为,由于切点满足直线方程,则,整理得,解得,所以只能作一条切线,所以C错误;对于D中,令,则的根有三个,如图所示,,所以方程有3个不同根,方程和均有1个根,故有5个零点,所以D错误.故选:AB. 16.(2025·安徽合肥·模拟预测)已知函数,则下列命题中正确的是( )A.0是的极小值点B.当时,C.若,则D.若存在极大值点,且,其中,则【答案】ACD【解析】由题意可得,令,当时,得或,对于A,当时,令,解得或,则在和上单调递增,令,解得,则在上单调递减,所以在处取得极小值,同理,当时,在和上单调递减,在上单调递增,所以在处取得极小值;当时,,在上单调递减,在上单调递增,所以在处取得极小值,故A正确;对于B,当时,在上单调递减,又,,所以,故B错误;对于C,若,则,则.所以,,则,故C选项正确.对于D,若存在极大值点,则,即,因为,所以,所以,,即,又,所以,故D正确.故选:ACD.17.(2025·黑龙江·二模)已知函数的极小值为,则( )A.B.曲线是中心对称图形C.若直线与函数的图象有个交点,则实数的取值范围为D.当时,【答案】BCD【解析】函数的定义域为,导函数,当时,,函数为增函数,与条件矛盾,当时,令可得,或,当时,,函数在上单调递增,当时,,函数在上单调递减,当时,,函数在上单调递增,所以当时,函数取极小值,极小值为,由已知,所以,A错误,所以,设,函数的定义域为,定义域关于原点对称,,所以函数为奇函数,故函数的图象关于原点对称,所以函数的图象关于点对称,关于曲线是中心对称图形,B正确,因为当时,,函数在上单调递增,当时,,函数在上单调递减,当时,,函数在上单调递增,又,,当时,,当时,,所以函数的大致图象如下:因为直线与函数的图象有3个交点,所以,所以的取值范围为,C正确;因为,又,所以,即,因为,,函数在上单调递减,所以,D正确;故选:BCD.18.(2025·安徽黄山·一模)设函数,则( )A.存在,函数仅有一个极值点B.曲线关于点对称C.当时,是曲线的切线方程D.当时,函数有唯一零点【答案】BC【解析】对于A,由题意可得,当时,恒成立,函数在上单调递减,无极值点,当时,令,即,解得,此时函数有两个极值点,所以不存在,使函数仅有一个极值点,故A错误;对于B,设是图像上任意一点,则,点关于点对称的点为,将代入函数可得,而,所以曲线关于点对称,故B正确;对于C,当时,,,若是切线方程,则其斜率为9,令,解得,当时,,切线方程为,化简可得;当时,,切线方程为,化简可得;所以是曲线的切线方程,故C正确;对于D,由,当时,令,可得,当或时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;,,当时,,当时,,所以函数在上各有一个零点,即函数有三个零点,故D错误;故选:BC19.(2025·福建莆田·二模)已知函数,下列结论正确的是( )A.当时,是的极大值点B.存在实数,使得成立C.若在区间上单调递减,则的取值范围是D.若存在唯一的零点,且,则的取值范围是【答案】ABD【解析】A:,令,得或.当时,,令或,所以在上单调递减,在上单调递增,所以是的极大值点,故A正确;B:,所以,整理得,所以,解得,即存在使得,故B正确;C:若在上单调递减,则在上恒成立,即不等式在上恒成立,又在上单调递减,其值域为,所以,故C错误;D:由选项A知,当时,,令,解得,所以函数又两个零点,不符合题意;当时,,令或,所以在上单调递增,在上单调递减,所以的极大值为,极小值,且当时,,当时,,要使存在唯一的零点,则,解得或(舍去),所以,此时,不符合题意;当时,在上单调递减,在上单调递增,所以的极大值为,极小值,且当时,,当时,,要使存在唯一的零点,且,则,解得或(舍去),所以.综上,的取值范围为,故D正确.故选:ABD20.(2025·江西萍乡·一模)已知函数,则下列结论正确的是( )A.若有2个零点,则B.当时,是增函数C.当时,恒成立D.当时,若是的零点,则【答案】ABD【解析】显然,由,得,所以直线与函数的图象有2个交点,又,所以当或时,;当时,,所以在和上单调递增,在上单调递减,从而在处取得极小值.又时,;当时,;当时,,在同一直角坐标系中作出的图象以及直线,由图可见,当且仅当时,直线与的图象有两个公共点,故A正确;当时,,对求导得.再对求导得.令,即,解得.当时,,单调递减;当时,,单调递增.所以在处取得最小值,,即恒成立,所以是增函数,选项B正确.当时,,,所以不恒成立,选项C错误.当时,,,.因为是增函数,且,所以由零点存在定理可知,的零点满足,选项D正确.故选:ABD.21.(2025·四川德阳·二模)已知函数的导函数为( )A.若有三个零点,则 B.C.是的极小值点 D.当时,则【答案】ABD【解析】因为函数,所以,令,解得,或,当,或,,当,,所以在,上单调递增,在上单调递减,,,对于A,由得,即,,因为在上单调递减,所以在上只有一个零点,因为,在上单调递增,可得在上只有一个零点,因为,在上单调递增,可得在上只有一个零点,综上,有三个零点,故A正确;对于B,,,所以,故B正确;对于C,是的极大值点,故C错误; 对于D,当时,则,解得,故D正确.故选:ABD.填空题22.(2025·北京平谷·一模)已知函数,当时,的值域是 ,若有两个极值点,则的取值范围是 .【答案】【解析】由,则,当时,,易知函数在上单调递增,在上单调递减,此时;当时,,易知函数在上单调递减,则.综上可得.由题意可设函数的两个极值点分别为,且,由二次函数在上单调递增,在上单调递减,一次函数,当时,在上单调递减,当时,在上单调递增,易知函数在与上单调递增,在上单调递减,且,,可得,解得.故答案为:;.23.(2025·湖北鄂州·一模)已知函数在上单调递减,则a的取值范围为 .【答案】【解析】函数,求导得,依题意,,而当时,,则,所以a的取值范围为.故答案为:24.(2025·河北保定·模拟预测)对于,函数有且仅有一个零点,则实数的取值范围是 .【答案】【解析】依题意,任意的均使得有且仅有一个零点,令0,得,记函数,即与直线有且仅有一个交点,若的值域不是,设的值域为,则,使得,矛盾,所以的值域为,且为单调函数(否则与直线存在至少两个交点),所以恒有或,易得,当且时,有,所以恒有,得恒成立,记,则,当时,单调递增;当时,单调递减,所以的最大值为,故实数的取值范围是.故答案为:25.(23-24高三上·江苏连云港·阶段练习)已知直线分别与曲线,相切于点,,则的值为 .【答案】1【解析】由,,有,,在点处的切线方程为,在点处的切线方程为,则有,得,所以,可得.故答案为:1.26.(2025河南)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.若,则a的取值范围是 .【答案】【解析】[方法一]:【最优解】转化法,零点的问题转为函数图象的交点因为,所以方程的两个根为,即方程的两个根为,即函数与函数的图象有两个不同的交点,因为分别是函数的极小值点和极大值点,所以函数在和上递减,在上递增,所以当时,,即图象在上方当时,,即图象在下方,图象显然不符合题意,所以.令,则,设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为,则切线的斜率为,故切线方程为,则有,解得,则切线的斜率为,因为函数与函数的图象有两个不同的交点,所以,解得,又,所以,综上所述,的取值范围为.[方法二]:【通性通法】构造新函数,二次求导=0的两个根为因为分别是函数的极小值点和极大值点,所以函数在和上递减,在上递增,设函数,则,若,则在上单调递增,此时若,则在上单调递减,在上单调递增,此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点,则,不符合题意;若,则在上单调递减,此时若,则在上单调递增,在上单调递减,令,则,此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点,且,则需满足,,即故,所以.27.(23-24 ·山东聊城·期末)若直线与曲线相切,也与曲线相切,则的斜率为 .【答案】/【解析】设直线切曲线于点,切曲线于点,由得,则直线的方程为,即;由可得,则直线的方程为,即,所以,,消去可得,即,可得,因此,直线的斜率为.故答案为:.28.(24-25高三下·湖南永州·开学考试)若曲线与曲线有三条公切线,则的取值范围是 .【答案】【解析】设公切线为是与的切点,由,得,设是与的切点,由,得,所以的方程为,因为,整理得,同理,因为,整理得,依题意两条直线重合,可得,消去,得,由题意此方程有三个不等实根,设,即直线与曲线有三个不同的交点,因为,令,则,当或时,;当时,,所以有极小值为,有极大值为,因为,,,所以,当趋近于时,趋近于0;当趋近于时,趋近于,故的图象简单表示为下图:所以当,即时,直线与曲线有三个交点,故答案为:29.(2025·陕西宝鸡·二模)若函数的极大值点为,则 .【答案】/0.8【解析】由函数,求导可得,令,则,由题意可得,由函数可知当()时,,当()时,,且为函数的极大值点,则可得(),解得(),所以.故答案为:.21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 考点五 导数(选填题14种考向)(原卷版).docx 考点五 导数(选填题14种考向)(解析版).docx