考点五 导数(选填题14种考向)-2025年高考数学二轮复习【考向分类】(新高考专用)

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考点五 导数(选填题14种考向)-2025年高考数学二轮复习【考向分类】(新高考专用)

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考点五 导数(选填题14种考向)
考向一 切线方程
【例1-1】(2025·江西·二模)已知函数,则在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【例1-2】(2025·山东聊城·一模)曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
【例1-3】(2024吉林)(多选)已知函数,则曲线过点的切线方程为( ).
B.
C. 5x-y-1=0 D.105x+16y-15=0
【例1-4】(2025·贵州安顺·模拟预测)已知直线与曲线相切,则的值为( )
A. B. C. D.1
【例1-5】(2025·河南·模拟预测)过原点且与曲线相切的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【例1-6】(2025·山东聊城·模拟预测)已知直线与曲线有三个交点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例1-7】(2025·甘肃白银·模拟预测)已知是曲线上一点,则点到直线的最短距离为( )
A. B.
C. D.
【例1-8】(2025·江西新余·模拟预测)过轴上一点可以作函数图像的3条切线,则的取值范围是:( ).
A. B. C. D.
考向二 根据单调性求参数
【例2-1】(2025·山东菏泽·一模)已知函数在区间单调,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例2-2】(2025·黑龙江·二模)已知函数在区间上单调递增,则实数的最小值为( )
A. B. C. D.1
【例2-3】(24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习)已知函数在区间上不单调,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例2-4】(23-24辽宁·期末)若函数在区间上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例2-5】(24-25高三下·河北沧州·阶段练习)已知函数在定义域上单调递增,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
考向三 极值点与极值
【例3-1】(2025·广东汕头·一模)设,若函数在内存在极值点,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例3-2】(2025·吉林长春·一模)已知函数的极大值为,则( )
A. B. C. D.
【例3-3】(2025·新疆·模拟预测)已知函数在处有极小值,则极大值为( )
A.32 B.1 C. D.0
【例3-4】.(2025·陕西咸阳·一模)已知在区间内存在2个极值点,则实数a的取值范围为( ).
A. B. C. D.
【例3-5】(2025·四川成都·二模)若函数有极值,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【例3-6】(2024北京)若函数存在两个极值点,则的取值范围是 .
【例3-7】(2025·江苏苏州·模拟预测)已知函数,若在有唯一的极值点且为极大值点,则a的取值范围为 .
考向四 单调性的应用---比较大小
【例4-1】(2025·安徽马鞍山·一模)已知函数,若,,,则( )
A. B. C. D.
【例4-2】(2025·新疆·模拟预测)已知分别为上的奇函数和偶函数,且满足,当时,,若,则大小关系为( )
A. B.
C. D.
【例4-3】(2025·黑龙江·一模)已知实数,,满足,,,其中为自然对数的底数.则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【例4-4】(2025·黑龙江·一模)已知函数是偶函数,则( )
A. B.
C. D.
考向五 单调性的应用---解不等式
【例5-1】(2024高三·全国·专题练习)函数,若存在,使有解,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【例5-2】(2025·山西吕梁·一模)设函数,则满足的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例5-3】(2025·内蒙古呼和浩特·一模)设函数,则使得成立的的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例5-4】(2025·贵州毕节·二模)已知函数是定义域为的奇函数,是的导函数,,当时,,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【例5-5】(2025·山东·模拟预测)已知为函数的导函数,且.若,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【例5-6】.(2025·黑龙江哈尔滨·一模)已知函数,若时,关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
考向六 零点(实根)
【例6-1】(24-25高三上·广东深圳·阶段练习)函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
【例6-2】(24-25高三上·四川·期中)已知实数满足,则函数的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【例6-3】(24-25高三上·湖南·期中)已知函数,若方程恰有5个不同的解,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例6-4】(24-25高三下·江苏扬州·期末)已知函数,,若函数有5个零点,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
【例6-5】(2025·四川南充·二模)已知函数,有5个不相等的实数根,从小到大依次为,,,,,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【例6-6】(2025·湖南岳阳·一模)已知函数,若函数与的图象有且仅有三个交点,则实数的取值范围是 .
考向七 最值
【例7-1】(2025·广东佛山·一模)若直线与曲线相切,则的最小值为( )
A. B.1 C. D.2
【例7-2】(2025·江西·模拟预测)设函数,若,则的最大值为( )
A. B. C. D.1
【例7-3】(2025·安徽滁州·一模)已知函数,是的反函数.若,满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【例7-4】(2025·陕西西安·一模)设函数,其中,若有两个零点且取最小整数P时,的最小值为( )
A. B. C. D.
考向八 恒(能)成立求参数
【例8-1】(24-25高三上·广东潮州·期末)若满足,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例8-2】(2025·河北秦皇岛·一模)若存在正实数,使得,关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例8-3】(23-24河南濮阳·期末)已知,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【例8-4】2024·安徽·模拟预测)若关于的方程有解,则实数m的最大值为 .
考向九 导数与三角函数综合
【例9-1】(2025·湖北·二模)(多选)已知函数是其导函数.若存在且,满足,则( )
A. B.
C. D.
【例9-2】(2025·甘肃·一模)(多选)函数,则( )
A.的最小正周期是
B.的值域是
C.的图象是轴对称图形,其中一条对称轴是
D.的零点是
【例9-3】(2025·广东广州·模拟预测)(多选)已知函数,为的导函数,则( )
A.曲线在处的切线方程为
B.在区间上单调递增
C.在区间上有极小值
D.在区间上有两个零点
【例9-4】(2025·福建泉州·一模)(多选)已知函数,则( )
A.的最小正周期为 B.曲线关于直线对称
C.在区间上有4个零点 D.在区间内单调递减
【例9-5】(2025·安徽滁州·一模)(多选)已知函数的极值点从小到大依次为,,,,是的导函数,则( )
A. B.
C.是的极小值点 D.
【例9-6】(24-25高三上·贵州毕节·期中)已知函数,为的最小正周期,且,若在区间上恰有3个极值点,则的取值范围是 .
考向十 导数与数列的综合
【例10-1】(24-25高三上·河北唐山·期末)设,是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标,记,则数列的前50项和为( )
A. B. C. D.
【例10-2】(2025·山东淄博·一模)(多选)过点向曲线引斜率为的切线,切点为,则下列结论正确的是( )
A. B.
C.数列的前项和为 D.
【例10-3】(2025·陕西·模拟预测)对函数,若数列满足,则称为牛顿数列.若函数,数列为牛顿数列,且,,则( )
A.20 B. C.30 D.
【例10-4】(24-25高三下·浙江·开学考试)已知函数,设曲线在点处的切线与轴的交点为,,,则 ;设是函数的零点,,则数列的前项和 .
考向十一 导数与概率的综合
【例11-1】(2025·内蒙古呼和浩特·一模)设随机变量服从正态分布,若,则函数有极值点的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
【例11-2】(2025·云南·模拟预测)某超市在春节期间举行抽奖活动,在箱子里装有个写有“秋绥”的小球和5个写有“冬禧”的小球,这些小球除文字外完全相同.顾客从中一次性抽取两个小球,恰好抽出“秋绥”和“冬禧”视为中奖,其余情况均未中奖.设在连续3次抽奖中(每次抽完后将小球放回箱子再进行下一次抽奖)恰好中奖一次的概率为,则当取到最大值时的值为( )
A.15 B.20 C.25 D.30
考向十二 导数与函数综合
【例12-1】(2025·河北唐山·一模)(多选)已知函数,则下列说法正确的是( )
A.当时,在上单调递增
B.函数的对称中心为
C.,使得与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形
D.,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切
【例12-2】(2025·广东湛江·一模)(多选)设定义在R上的函数和,记的导函数为,且满足,,若为奇函数,则下列结论一定成立的有( ).
A. B.
C. D.
【例12-3】(2025·湖北武汉·二模)(多选)已知且,则函数的图象可能是( )
A.B.C. D.
【例12-4】(24-25高三上·山东济南·期末)(多选)已知函数与其导函数的定义域均为R,且为奇函数,,则( )
A. B.
C. D.
【例12-5】(2025·浙江·模拟预测)(多选)设函数,则( )
A.为的极大值点 B.的图象关于中心对称
C.函数的三个零点成等差数列 D.,
【例12-6】(2025·云南昆明·模拟预测)(多选)函数及其导函数的定义域均为R,是奇函数,,且对任意,,则( )
A. B. C. D.
【例12-7】(2024·山西·模拟预测)(多选)已知函数及其导函数的定义域均为,若是偶函数,且,令,则下列说法正确的是( )
A.函数是奇函数 B.
C.函数的图象关于点对称 D.
【例12-8】(24-25高三上·广东·开学考试)设函数,则( )
A.当时,有三个零点
B.当时,无极值点
C.,使在上是减函数
D.图象对称中心的横坐标不变
考向十三 导数与解析几何综合
【例13-1】(2025·甘肃白银·模拟预测)已知是曲线上一点,则点到直线的最短距离为( )
A. B.
C. D.
【例13-2】(2025·广东惠州·模拟预测)已知,若点为曲线与曲线的交点,且两条曲线在点处的切线重合,则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
【例13-3】(2024·安徽合肥·模拟预测)过且倾斜角为的直线与曲线交于,两点,分别过,作曲线的两条切线,,若,,交于,直线的倾斜角为,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【例13-4】(2025·福建漳州·一模)已知点M是抛物线上一动点,过点M作直线MN与圆相切于点N,则面积的最小值为( )
A.4 B. C.5 D.
【例13-5】(2025·四川南充·二模)(多选)已知抛物线的焦点为F,过x轴下方一点作抛物线C的两条切线,切点为A,B,直线PA,PB分别交x轴于M,N两点,则下列结论中正确的是( )
A.当点P的坐标为时,则直线AB方程为
B.若直线AB过点F,则四边形PMFN为矩形
C.当时,
D.时,面积的最大值为4
考向十四 导数的新定义
【例14-1】(2024山东菏泽·期末)(多选)函数的图象类似于汉字“囧”字,被称为“囧函数”,并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”,以“囧点”为圆心,凡是与“囧函数”有公共点的圆,皆称之为“囧圆”,则当,时,下列结论正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.当时,的最大值为-1
C.函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为
D.函数的所有“囧圆”中,面积的最小值为
【例14-2】(24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习)(多选)已知函数 是定义在区间 上的连续函数,若 ,使得 , ,都有 ,则称函数 是区间 上的 “ 类函数”. 下列说法正确的有( )
A.函数 是区间 上的 “ 3 类函数”
B.函数 是区间 上的 “ 2 类函数”
C.若函数 是区间 上的 “ 类函数”,则方程 在区间 上至多只有一个解
D.若函数 是区间 上的 “ 2 类函数”,且 ,则存在满足条件的函数 ,使得
【例14-3】(24-25高三上·安徽·阶段练习)(多选)定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为,则下列说法中正确的有( )
A.,
B.的值是19
C.函数有三个零点
D.过只可以作两条直线与图象相切
单选题
1(2025·福建莆田·二模)曲线在点处切线的斜率为,则的坐标为( )
A. B. C. D.
2.(2025·江西·一模)已知函数的图象在处的切线过原点,则所在的区间是( )
A. B. C. D.
3.(2025·甘肃兰州·一模)若函数(e为自然对数的底)的一条切线与x轴平行,则切点的坐标为( )
A. B. C. D.
4 .(2025·山东济宁·一模)曲线与和分别交于两点,设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为,若,则( )
A. B. C. D.
5.(2025·河南·二模)已知函数,若存在实数,使得成立,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.(2025·天津·模拟预测)设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.(2025·河北·模拟预测)已知函数在上单调递减,在上单调递增,且圆内恰好包含的三个极值对应的点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.(24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试)已知函数,若对任意两个不相等的实数,,都有,则a的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.0
9.(2025·江西上饶·一模)利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的,同学们利用我们所学数学知识,探究函数,下列说法正确的是( )
A.有且只有一个极大值点 B.在上单调递增
C.存在实数,使得 D.有最小值,最小值为
10(2025·江西萍乡·一模)将函数的图象向右平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,设,则在内的极大值点为( )
A. B. C. D.
11.(2025·陕西榆林·模拟预测)已知函数,则的最小值为( )
A.0 B. C.1 D.
12.(2025·河南郑州·一模)已知函数,,对,,使得成立.下列结论正确的是( )
A.,使得
B.函数的最大值为0
C.a的取值范围为
D.过作的切线,有且只有一条
13.(2025·辽宁·模拟预测)设函数及其导函数的定义域均为,记,已知,且函数的图象关于直线对称,若,则( )
A. B. C. D.0
多选题
14.(2025·山西·一模)已知函数,过点作平行于轴的直线交曲线于点,曲线在点处的切线交轴于点.则( )
A.当时,切线的方程为 B.当时,的面积为
C.点的坐标为 D.面积的最小值为
15.(2025·江西·二模)已知函数,是函数的一个极值点,则下列说法正确的是( )
A.
B.函数在区间上单调递减
C.过点能作两条不同直线与相切
D.函数恰有4个零点
16.(2025·安徽合肥·模拟预测)已知函数,则下列命题中正确的是( )
A.0是的极小值点
B.当时,
C.若,则
D.若存在极大值点,且,其中,则
17.(2025·黑龙江·二模)已知函数的极小值为,则( )
A.
B.曲线是中心对称图形
C.若直线与函数的图象有个交点,则实数的取值范围为
D.当时,
18.(2025·安徽黄山·一模)设函数,则( )
A.存在,函数仅有一个极值点
B.曲线关于点对称
C.当时,是曲线的切线方程
D.当时,函数有唯一零点
19.(2025·福建莆田·二模)已知函数,下列结论正确的是( )
A.当时,是的极大值点
B.存在实数,使得成立
C.若在区间上单调递减,则的取值范围是
D.若存在唯一的零点,且,则的取值范围是
20.(2025·江西萍乡·一模)已知函数,则下列结论正确的是( )
A.若有2个零点,则
B.当时,是增函数
C.当时,恒成立
D.当时,若是的零点,则
21.(2025·四川德阳·二模)已知函数的导函数为( )
A.若有三个零点,则 B.
C.是的极小值点 D.当时,则
填空题
22.(2025·北京平谷·一模)已知函数,当时,的值域是 ,若有两个极值点,则的取值范围是 .
23.(2025·湖北鄂州·一模)已知函数在上单调递减,则a的取值范围为 .
24.(2025·河北保定·模拟预测)对于,函数有且仅有一个零点,则实数的取值范围是 .
25.(23-24高三上·江苏连云港·阶段练习)已知直线分别与曲线,相切于点,,则的值为 .
26.(2025河南)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.若,则a的取值范围是 .
27.(23-24 ·山东聊城·期末)若直线与曲线相切,也与曲线相切,则的斜率为 .
28.(24-25高三下·湖南永州·开学考试)若曲线与曲线有三条公切线,则的取值范围是 .
29.(2025·陕西宝鸡·二模)若函数的极大值点为,则 .
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考点五 导数(选填题14种考向)
考向一 切线方程
【例1-1】(2025·江西·二模)已知函数,则在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时,,
当时,,则,
所以,,
则所求切线方程为,即.
故选:A
【例1-2】(2025·山东聊城·一模)曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对函数求导得,故所求切线斜率为,切点坐标为,
所以,曲线在处的切线方程为,
该切线交轴于点,交轴于点,
因此,曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
故选:D.
【例1-3】(2024吉林)(多选)已知函数,则曲线过点的切线方程为( ).
B.
C. 5x-y-1=0 D.105x+16y-15=0
【答案】AB
【解析】设切点为,,则切线斜率为,
故曲线在处的切线方程为,
将点的坐标代入切线方程可得,解或,
故所求切线方程为或,即或.
故答案为:或.
【例1-4】(2025·贵州安顺·模拟预测)已知直线与曲线相切,则的值为( )
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】设切点坐标为.
∵,∴,则,
由②得,,代入①得,,
整理得,解得,故.故选:A.
【例1-5】(2025·河南·模拟预测)过原点且与曲线相切的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】C
【解析】设切点,因为曲线,所以,
所以,所以,
所以或,
当时,所以,所以切线方程为,即;
当时,所以,所以切线方程为,即;
当时,所以,所以切线方程为,即;
所以切线有3条.
故选:C.
【例1-6】(2025·山东聊城·模拟预测)已知直线与曲线有三个交点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令,则
令得,∴时,单调递减;
令得,∴时,单调递增,
又,
故,则,若,则,
且,
因为,所以点在曲线上,
所以的图像如图所示
因为直线过定点,
由题意可知,过点的直线与曲线有三个交点,
因为过点的曲线的切线的斜率为:,
即当时,直线与曲线相切;
因,,
,,,
所以函数在时是凸的,在时是凸的,在函数可能有一个拐点.因此,函数 在 左右由凸变凹.
根据图像可知,
当时,直线与曲线有两个公共点;
当时,直线与曲线只有一个公共点;
当时,直线与曲线有三个公共点.
故选:A.
【例1-7】(2025·甘肃白银·模拟预测)已知是曲线上一点,则点到直线的最短距离为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题知,,令,得,
又,可得点,
所以点到直线的距离最短,
为.
故选:A.
【例1-8】(2025·江西新余·模拟预测)过轴上一点可以作函数图像的3条切线,则的取值范围是:( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,所以,
设切点为,则切线方程,
而过,将代入方程得到,
令,,
令,,此时单调递减,
令,,此时单调递增,
故有极小值,有极大值,
则得到,故A正确.
故选:A.
考向二 根据单调性求参数
【例2-1】(2025·山东菏泽·一模)已知函数在区间单调,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知得,当时,令,得,
令,解得;令,解得;
故在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以若在区间上单调,则需满足或,即或,
所以的取值范围是
故选:B
【例2-2】(2025·黑龙江·二模)已知函数在区间上单调递增,则实数的最小值为( )
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】,
因为函数在区间上单调递增,所以在区间上恒成立.
即在区间上恒成立.
因为,所以,所以,所以,即实数的最小值为.故选:B
【例2-3】(24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习)已知函数在区间上不单调,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,又函数的定义域是,
当时,,当时,,
故函数在上单调递减,在上单调递增,
,解得.
故选:C
【例2-4】(23-24辽宁·期末)若函数在区间上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,因为在区间上存在单调递减区间,
所以在区间上有解,即在区间上有解,
当显然不出来;
当时,,即,
故选:C.
【例2-5】(24-25高三下·河北沧州·阶段练习)已知函数在定义域上单调递增,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由,解得,
所以的定义域是,
依题意可知在区间上恒成立,
即在区间上恒成立,即在区间上恒成立,由于,所以的最大值为,所以.
故选:D.
考向三 极值点与极值
【例3-1】(2025·广东汕头·一模)设,若函数在内存在极值点,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意,在内存在变号零点,而不是的零点,从而得,又在上递增,所以.
故选:B
【例3-2】(2025·吉林长春·一模)已知函数的极大值为,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意,,
则,
令,解得或,
当时,在,上满足,单调递增,
在上满足,单调递减,
所以在处取得极大值,,解得,
当时,在,上满足,单调递增,
在上满足,单调递减,
所以在处取得极大值,,不符合题意,
当时,,在R上单调递增,无极值,不符合题意,
综上所述,.
故选:D.
【例3-3】(2025·新疆·模拟预测)已知函数在处有极小值,则极大值为( )
A.32 B.1 C. D.0
【答案】C
【解析】由题意可得,
由于是极小值点,故,或 ,
当时,,当和时,,当时,,
故在单调递减,在和单调递增,
此时是函数的极大值点,不符合题意,舍去,
当时,,当和时,,当时,,
故在单调递减,在和单调递增,
此时是函数的极小值点,符合题意,且是极大值点,故极大值为,
故选:C
【例3-4】.(2025·陕西咸阳·一模)已知在区间内存在2个极值点,则实数a的取值范围为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,可知在内有2个变号零点,
由可得,可知:与在内有2个交点,
又因为,
令,解得;令,解得;
可知在内单调递增,在内单调递减,则,
且,,
结合图象可得,所以实数a的取值范围为.
故选:B.
【例3-5】(2025·四川成都·二模)若函数有极值,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由,,
则,
令,,
则,
当时,恒成立,则,
即函数在上单调递增,此时函数无极值,不符合题意;
当时,令,得,
当时,,则,得函数在上单调递减,
又时,;时,,
所以存在,使得,则函数存在极值;
当时,,
则时,;时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
则,
设,,则,
当时,;当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
又,且时,,
则时,,此时函数无极值,不符合题意;
当时,,且时,;时,,
此时函数存在极值.
综上所述,的取值范围为.
故选:A.
【例3-6】(2024北京)若函数存在两个极值点,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意知:的定义域为,,
有两个极值点,为的两根,
,又,解得:;,,

令,则,
当时,恒成立,在上单调递减,
,则的取值范围为.
故答案为:.
【例3-7】(2025·江苏苏州·模拟预测)已知函数,若在有唯一的极值点且为极大值点,则a的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数,则,
因为在有唯一的极值点且为极大值点,
所以根据零点的存在性定理得,
的图象是开口向上的抛物线,对称轴为 ,
由于对称轴在区间 右侧,
要使在内有唯一的变号零点,则需满足 ,
而,

则不等式组可化为 ,解得,
综上,的取值范围为.
故答案为:.
考向四 单调性的应用---比较大小
【例4-1】(2025·安徽马鞍山·一模)已知函数,若,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数定义域为R,且,
故函数为偶函数,
又在上,即在上单调递增,
因为,且,
所以,即.
故选:D
【例4-2】(2025·新疆·模拟预测)已知分别为上的奇函数和偶函数,且满足,当时,,若,则大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为分别为上的奇函数和偶函数,
所以,
由, 得,
所以,可得的周期为2,
又,
可得,
两式相加可得,
当时,因为都是增函数,
所以为增函数,
且,所以为单调递增函数,

,,
所以.
故选:A.
【例4-3】(2025·黑龙江·一模)已知实数,,满足,,,其中为自然对数的底数.则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设,可知函数的定义域为,且,
因为在定义域上单调递增,且,
若,则;若,则;
可得在上单调递增,在上单调递减,
又因为,,,
可得,,,
即,,,且,,,
可知,且,,,所以.
故选:D.
【例4-4】(2025·黑龙江·一模)已知函数是偶函数,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数,
且,,
所以,即,
解得,得到,其定义域关于原点对称,
此时,

故是偶函数,符合题意,
而,
令,,令,,
故在上单调递减,在上单调递增,
而,且,得到,
而由偶函数性质得,
而,则,
得到成立,故A正确.
故选:A
考向五 单调性的应用---解不等式
【例5-1】(2024高三·全国·专题练习)函数,若存在,使有解,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若存在,使得有解,即.
设,,则.
令,解得,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,所以.
故的取值范围为.
故选:A
【例5-2】(2025·山西吕梁·一模)设函数,则满足的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令函数,其定义域为R,
,函数是奇函数,
求导得,当且仅当时取等号,因此函数在R上单调递增,
不等式,
则,解得,所以所求取值范围是.
故选:A
【例5-3】(2025·内蒙古呼和浩特·一模)设函数,则使得成立的的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的定义域为R,,
函数是奇函数,求导得,
函数在R上单调递增,由,得,
即,则,因此,解得,
所以所求的取值范围是.
故选:C
【例5-4】(2025·贵州毕节·二模)已知函数是定义域为的奇函数,是的导函数,,当时,,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令,则,
由题意知当时,,故在上单调递增,
因为函数是定义域为的奇函数,
所以,
所以,
所以是定义域为的偶函数,
所以在上单调递减,
又因为,所以,
所以,
所以当时,,则;
当时,,则;
当时,,则;
当时,,则.
则不等式的解集为.
故选:D.
【例5-5】(2025·山东·模拟预测)已知为函数的导函数,且.若,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得,所以,解得,
所以,即,
又,当且仅当,即时,等号成立,
所以,,
故选:D
【例5-6】.(2025·黑龙江哈尔滨·一模)已知函数,若时,关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得,令解得,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
又因为,
所以为偶函数,大致图象如下,
若时,关于的不等式恒成立,
则对恒成立,
所以,则或,
所以或对恒成立,
所以或,
所以实数的取值范围为,
故选:C
考向六 零点(实根)
【例6-1】(24-25高三上·广东深圳·阶段练习)函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于,,且中,
故,在单调递增,
因此至多一个零点,
,,,
因此的零点所在的区间是,
故选:C
【例6-2】(24-25高三上·四川·期中)已知实数满足,则函数的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】由题设,则或时,时,,
所以在上递增,在上递减,且,
由,即,而在R上递增,在R上递减,
显然,故,
所以,又趋向时趋向趋向时趋向,
综上,共有3个零点.
故选:D
【例6-3】(24-25高三上·湖南·期中)已知函数,若方程恰有5个不同的解,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为,
若时,由求导得,,
故当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,也是最小值,,
当时,;当时,;
若时,由求导得,,
因为,故恒有,即在上单调递增,
且当时,,当时,,
即当时,恒有.
作出函数的大致图象如图所示.

又由可得或,
由图知有两个根,此时方程有2个不同的解;
要使方程恰有5个不同的解,
需使有3个零点,由图知,需使,
即,解得.
综上所述,实数a的取值范围是.
故选:B.
【例6-4】(24-25高三下·江苏扬州·期末)已知函数,,若函数有5个零点,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意,可知:
①当时,,故为的1个零点.
②当时,由题意,可得,
即与有4个交点,
当时,,
设,,则,令得,
则函数在单调递增,在上单调递减,又,
如图
则必有,解得,
故选:D
【例6-5】(2025·四川南充·二模)已知函数,有5个不相等的实数根,从小到大依次为,,,,,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为当时,,
所以,
所以当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
所以,所以,
当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
作出函数的图象,如图所示:
由此可得,
当时,令,解得或,
所以,
又因为,
所以,
所以;
由题意可得,,是方程,即的三个根,
所以,
即,
所以,
即,
所以.
故选:.
【例6-6】(2025·湖南岳阳·一模)已知函数,若函数与的图象有且仅有三个交点,则实数的取值范围是 .
【答案】.
【解析】当时,则,令,
求导可得,令,解得,可得下表:
单调递增 极大值 单调递减
由函数的极大值为,则存在唯一零点,
所以函数与函数在上有且仅有一个交点;
当时,,令,
求导可得,显然上,
则函数在上单调递减,
当时,,当时,,
由,则函数在上存在唯一零点,
所以函数与函数在上有且仅有一个交点;
由题意可得函数与函数在上有且仅有一个交点,
当时,,令,
令,整理可得,
当方程有两个相等的实数解时,,解得,
此时,符合题意,
当方程在有一个实数根时,可得,解得,
综上可得.
故答案为:.
考向七 最值
【例7-1】(2025·广东佛山·一模)若直线与曲线相切,则的最小值为( )
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【解析】设直线与曲线的切点为.
对求导,根据,可得.
因为直线的斜率为,由导数的几何意义可知,
在切点处,即.
又因为切点既在直线上又在曲线上,
所以且,即.
将代入可得:,即.
将代入可得:

所以当,时,取得最小值为.
故选:A
【例7-2】(2025·江西·模拟预测)设函数,若,则的最大值为( )
A. B. C. D.1
【答案】C
【解析】当时,,定义域为不恒成立,不合题意;
当时,定义域为在定义域内单调递增,
当时,,不合题意;
当时,定义域为,

在上单调递减,在上单调递增,



令,

在上单调递增,在上单调递减,
的最大值为.
故答案为:C
【例7-3】(2025·安徽滁州·一模)已知函数,是的反函数.若,满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得,因为,
所以,
所以,
令,则,
因为在上单调递增,所以
所以,
令,
则,
令,则,
所以在R上单调递减,

所以当时,,即当时,,即,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
故选:D.
【例7-4】(2025·陕西西安·一模)设函数,其中,若有两个零点且取最小整数P时,的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令,函数定义域为,
求导得,
当时,,函数在上单调递增,最多一个零点,不符合题意,
当时,由,得;由,得,
函数在上单调递减,在上单调递增,,
当从大于0的方向趋近于0时,值趋近于正无穷大;当趋近于正无穷大时,值趋近于正无穷大,
由有两个零点,得,即,
函数在上都递增,则函数在上递增,
,因此存在,使得,
则不等式成立时,的最小整数值为3,即,
由,得,,
当且仅当,即时取等号,B正确.
故选:B
考向八 恒(能)成立求参数
【例8-1】(24-25高三上·广东潮州·期末)若满足,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设,则恒成立,即,
因为,所以在上单调递增,
且当时,,
故当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以当时,取得极小值,即最小值,

令,得.
故选:D.
【例8-2】(2025·河北秦皇岛·一模)若存在正实数,使得,关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】恒成立,即恒成立,
,设,
故时,,单调递减;
时,,单调递增,
故,
当时,且,
由的单调性知,在上单调递减,上单调递增,

此时若存在正实数,,使恒成立,
即存在正实数,使,故.
当时,故恒成立,即恒成立,
因为,故此时不存在正实数满足条件.
综上可得,实数的取值范围是.
故选:B
【例8-3】(23-24河南濮阳·期末)已知,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解法一:不等式,即 ,
设,则,,
令,则,
当时,,单调递减,
当 时,,单调递增.
故只需,
所以,即.
设,则在上单调递增,又,
所以,设,则,
所以在上单调递增,所以的值域为,即的取值范围为.
解法二:由题意将原不等式变形可得,
即,令,则有,即
因为,所以有对于任意的恒成立,
令,则
因为,且当时,,单调递增;当时,,单调递减;
所以在处取极大值,也是的最大值
所以
又因为,所以
故选:C
【例8-4】2024·安徽·模拟预测)若关于的方程有解,则实数m的最大值为 .
【答案】/
【解析】由题意得,,
令,则,
易知单调递增,所以.
令,,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,
所以,得.
所以的最大值为.
故答案为:
考向九 导数与三角函数综合
【例9-1】(2025·湖北·二模)(多选)已知函数是其导函数.若存在且,满足,则( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】,数形结合,得到内的大致图象为如图所示,
故,,A对.
由得,
即,
由题意,则,
,则,B正确.
又,D正确.
因为,从而C错误.
故选:ABD.
【例9-2】(2025·甘肃·一模)(多选)函数,则( )
A.的最小正周期是
B.的值域是
C.的图象是轴对称图形,其中一条对称轴是
D.的零点是
【答案】ABD
【解析】对A:,故为的周期,
显然,没有比更小的正周期,故的最小正周期为,故A正确;
对B:考虑到的最小正周期为,故只需考虑在的值域;
,,故
即;
因为,故,
则当时,,即,此时,单调递减;
当时,,即,此时,单调递增;
又,,
,故的值域为,故B正确;
对C:,

则,即,
则不是的对称轴,故C错误;
对D:令,即,,即,
则,或,解得,或,,
又,,故的零点为,D正确.
故选:ABD.
【例9-3】(2025·广东广州·模拟预测)(多选)已知函数,为的导函数,则( )
A.曲线在处的切线方程为
B.在区间上单调递增
C.在区间上有极小值
D.在区间上有两个零点
【答案】BC
【解析】依题意,,
对于A,,,所求切线方程为,A错误;
对于B,当时,,在区间上单调递增,B正确;
对于C,在上都单调递增,则函数在上单调递增,
,,则存在唯一,使得,
当时,;当时,,因此在处取得极小值,C正确;
对于D,由选项C知,在上有唯一零点,又,
当时,,即,,
因此在区间上有1零点,D错误.
故选:BC
【例9-4】(2025·福建泉州·一模)(多选)已知函数,则( )
A.的最小正周期为 B.曲线关于直线对称
C.在区间上有4个零点 D.在区间内单调递减
【答案】AD
【解析】A选项,的最小正周期为,的最小正周期为,
两者的最小公倍数为,故的最小正周期为,A正确;
B选项,,
故曲线不关于直线对称,B错误;
C选项,,
令得,故或,
因为,所以的解为,,,,,
的解为,,,
综上,在区间上有5个零点,C错误;
D选项,
当时,,,
即,所以在区间内单调递减,D正确
故选:AD
【例9-5】(2025·安徽滁州·一模)(多选)已知函数的极值点从小到大依次为,,,,是的导函数,则( )
A. B.
C.是的极小值点 D.
【答案】ACD
【解析】,定义域为,
则,.
因为,所以,而,
所以,故选项A正确;
令,则.
①考虑的情况:
当时,;当时,;
则函数在上单调递增,在上单调递减.
又,,当且时,,
则存在,使得,
当时,,
此时,则,故;
当时,,
此时,则,故.
②考虑的情况:
当时,,,且等号不能同时取得,
则,此时.
结合①可知,在上单调递增,在上单调递减,
函数在处取得极大值,可知,故选项B错误;
③考虑的情况:
当时,;当时,;
则函数在上单调递增,在上单调递减,
,,当且时,,
则存在,使得,
当时,,
此时,则,此时;
当时,,
此时,则,此时;
④考虑的情况:
当时,,,且等号不能同时取得,
则,此时;
结合③可知,在上单调递减,在上单调递增,
综上,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
函数在处取得极大值,在处取得极小值,
可知,即是的极小值点,故选项C正确;
⑤考虑的情况:
可知函数在上单调递增,在上单调递减,
同①可知,存在,使得,
当时,,此时;
当时,,此时;
综合可知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,
可知.
由题可知,,.
令,,
则,可得,
,可得,
由可得,则,
则,即,
.
又,则,,,
可得,即,
则,
即,即,
可得.
又,,函数在上单调递减,
所以,即,
可得,故选项D正确.
故选:ACD.
【例9-6】(24-25高三上·贵州毕节·期中)已知函数,为的最小正周期,且,若在区间上恰有3个极值点,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可得:的最小正周期,
因为,且,
则为的一条对称轴,
所以,解得,
又,则,故,
因为,则,
若函数在区间上恰有3个极值点,则,
解得,故的取值范围是.
故答案为:.
考向十 导数与数列的综合
【例10-1】(24-25高三上·河北唐山·期末)设,是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标,记,则数列的前50项和为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,当时,,
在点处的切线为:,
化简为:,
当代入中,
,即,

化简:,
则数列的前50项和为:

故选:A.
【例10-2】(2025·山东淄博·一模)(多选)过点向曲线引斜率为的切线,切点为,则下列结论正确的是( )
A. B.
C.数列的前项和为 D.
【答案】ABD
【解析】设直线,联立,
得,
则由,即,
解得(负值舍去),故A正确;
可得,,
所以,故B正确;
因为,则,故C错误;
因为,,
所以,
设,则,
可得在上单调递增,
则时,,
又,则,故D正确.
故选:ABD
【例10-3】(2025·陕西·模拟预测)对函数,若数列满足,则称为牛顿数列.若函数,数列为牛顿数列,且,,则( )
A.20 B. C.30 D.
【答案】B
【解析】因为,所以,则,
又因为,且,所以是首项为,公比的等比数列,
,,
则,
故选:B.
【例10-4】(24-25高三下·浙江·开学考试)已知函数,设曲线在点处的切线与轴的交点为,,,则 ;设是函数的零点,,则数列的前项和 .
【答案】 2
【解析】因为,所以.
因为,,
所以曲线在点处的切线方程为.
令,得,即.
因为,所以.
因为,所以.
因为,所以,,所以.
因为, 故,
而,故为等比数列,且首项为1,公比为2,
所以,故.
故答案为:
考向十一 导数与概率的综合
【例11-1】(2025·内蒙古呼和浩特·一模)设随机变量服从正态分布,若,则函数有极值点的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
【答案】C
【解析】函数的定义域为R,求导得,
依题意,有两个不相等的实数根,则,解得,
由随机变量服从正态分布,且,
得,
所以函数有极值点的概率为0.4.
故选:C
【例11-2】(2025·云南·模拟预测)某超市在春节期间举行抽奖活动,在箱子里装有个写有“秋绥”的小球和5个写有“冬禧”的小球,这些小球除文字外完全相同.顾客从中一次性抽取两个小球,恰好抽出“秋绥”和“冬禧”视为中奖,其余情况均未中奖.设在连续3次抽奖中(每次抽完后将小球放回箱子再进行下一次抽奖)恰好中奖一次的概率为,则当取到最大值时的值为( )
A.15 B.20 C.25 D.30
【答案】B
【解析】依题意,单次抽奖中奖的概率,
则连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率,
令,求导得,
当时,,当时,,
函数在上单调递增,在上单调递减,当时,取得最大值,
因此当取最大值时,,而,解得,
所以当取到最大值时的值为.
故选:B
考向十二 导数与函数综合
【例12-1】(2025·河北唐山·一模)(多选)已知函数,则下列说法正确的是( )
A.当时,在上单调递增
B.函数的对称中心为
C.,使得与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形
D.,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切
【答案】ABD
【解析】因为,所以,
当时,在上恒成立,即在上单调递增,故A正确;
因为,
所以的对称中心为,故B正确;
由B项可知,函数的对称中心为且也关于对称,
假设与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形,
即与曲线有四个交点,即,
即除去0以外还有四个解,即,所以,
设和与曲线的交点分别为A,C,B,D,
所以,即,无解,假设不成立,故C错误;
设两直线与曲线的切点分别为,,
则,即,所以,
,总存在,使得上式成立,
即,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切,故D正确;
故选:ABD.
【例12-2】(2025·广东湛江·一模)(多选)设定义在R上的函数和,记的导函数为,且满足,,若为奇函数,则下列结论一定成立的有( ).
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】由得.
又,所以,即,
所以关于对称,.
又因为是奇函数,故是偶函数,所以满足条件.
对于选项A,因为,所以,
所以,选项A正确;
,选项B正确;
因为,所以,
所以,选项C正确;
对于选项D,,但不一定为0,选项D错误.
故选:ABC.
【例12-3】(2025·湖北武汉·二模)(多选)已知且,则函数的图象可能是( )
A.B.C. D.
【答案】BCD
【解析】由,求导可得,易知函数在单调递增,
令,求导可得在上恒成立,
则在上单调递增,所以,
易知,使得,则,即,
当时,,则函数在上单调递减;
当时,,则函数在上单调递增,
所以,由,则,
当,即时,,故A错误,B可能正确;
当,即时,令,求导可得,
则函数在上单调递减.
由,,则存在,使得,
所以当时,此时符号不定,故CD可能正确.
故选:BCD.
【例12-4】(24-25高三上·山东济南·期末)(多选)已知函数与其导函数的定义域均为R,且为奇函数,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为为奇函数,所以所以A正确;
由A可知,求导数所以关于直线对称,
又所以即故B错误,C正确
因为所以
所以D错误.
故选:AC
【例12-5】(2025·浙江·模拟预测)(多选)设函数,则( )
A.为的极大值点 B.的图象关于中心对称
C.函数的三个零点成等差数列 D.,
【答案】ABC
【解析】由题设,则得或,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,故为极大值点,A对;
由,
所以的图象关于中心对称,B对;
显然是函数的一个零点,若另两个零点为,则,
所以,则,
所以,故函数的三个零点成等差数列,C对;
由上知,则,可得,
故不存在,,D错.
故选:ABC
【例12-6】(2025·云南昆明·模拟预测)(多选)函数及其导函数的定义域均为R,是奇函数,,且对任意,,则( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A,由函数是R上的奇函数,得,A正确;
对于B,由,令,得,
而,解得,B错误;
由,两边求导得,
令,得,则,
即,于是,
即,因此,
即,则,且,
函数都是周期为的周期函数,,
对于C,,C正确;
对于D,,而,则,
即,因此,D正确.
故选:ACD
【例12-7】(2024·山西·模拟预测)(多选)已知函数及其导函数的定义域均为,若是偶函数,且,令,则下列说法正确的是( )
A.函数是奇函数 B.
C.函数的图象关于点对称 D.
【答案】BCD
【解析】对A,因为,所以,
所以函数是偶函数,故A错误;
对B,因为为偶函数,所以,即,
所以,即,令,得,
所以,故B正确;
对C,因为,所以,
即,又,所以,
所以,所以,即,
所以函数的图象关于点对称,故C正确;
对D,因为,令,得,
所以,又,所以,
,…,所以,故D正确.
故选:BCD.
【例12-8】(24-25高三上·广东·开学考试)设函数,则( )
A.当时,有三个零点
B.当时,无极值点
C.,使在上是减函数
D.图象对称中心的横坐标不变
【答案】BD
【解析】对于A,当时,,求导得,
令得或,由,得或,由,
得,于是在,上单调递增,在上单调递减,
在处取得极大值,因此最多有一个零点,A错误;
对于B,,当时,,即恒成立,
函数在上单调递增,无极值点,B正确;
对于C,要使在上是减函数,则恒成立,
而不等式的解集不可能为,C错误;
对于D,由,
得图象对称中心坐标为,D正确.
故选:BD
考向十三 导数与解析几何综合
【例13-1】(2025·甘肃白银·模拟预测)已知是曲线上一点,则点到直线的最短距离为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题知,,令,得,
又,可得点,
所以点到直线的距离最短,
为.
故选:A.
【例13-2】(2025·广东惠州·模拟预测)已知,若点为曲线与曲线的交点,且两条曲线在点处的切线重合,则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得,由得,
设点的横坐标为,则点处切线斜率,解得或(舍),
由点为曲线与曲线的交点,
所以与为同一点,
所以,即,
令,则,
令可得,由知,当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,故实数的最大值为.
故选:B.
【例13-3】(2024·安徽合肥·模拟预测)过且倾斜角为的直线与曲线交于,两点,分别过,作曲线的两条切线,,若,,交于,直线的倾斜角为,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,设,,,
由于曲线,则,
所以在点的切线方程为,
同理在点的切线方程为,
由于点是两切线的交点,所以,
则为,且过,
且,设,,

当且仅当时“”成立,
故选:C.
【例13-4】(2025·福建漳州·一模)已知点M是抛物线上一动点,过点M作直线MN与圆相切于点N,则面积的最小值为( )
A.4 B. C.5 D.
【答案】A
【解析】由题意得:表示以圆心,以为半径的圆,可知,
所以,
所以当取得最小值时,的面积最小.
设,则,
令,则,
令,则,
所以单调递增,即单调递增.
又,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减.
所以,
即面积的最小值为
故选:A.
【例13-5】(2025·四川南充·二模)(多选)已知抛物线的焦点为F,过x轴下方一点作抛物线C的两条切线,切点为A,B,直线PA,PB分别交x轴于M,N两点,则下列结论中正确的是( )
A.当点P的坐标为时,则直线AB方程为
B.若直线AB过点F,则四边形PMFN为矩形
C.当时,
D.时,面积的最大值为4
【答案】ABD
【解析】方程变形为,则. 设,,
直线的方程:,即,
同理可得直线的方程:,
点在直线和上,∴,,
∴的方程为,
联立,得①,
由韦达定理得,,②.
对于选项A,当为时,,故A正确;
对于选项B,若直线过点时,,即,
,,利用韦达定理,则,
∴,同理.
由②得,,∴四边形PMFN为矩形,故B正确;
对于选项C,当时,取,方程①变为,
即得,,,故C错误;
对于选项D,当时,由弦长公式得,
即,
点到直线的距离为,,∴,
∴,当取等号,故D正确.
故选:ABD.
考向十四 导数的新定义
【例14-1】(2024山东菏泽·期末)(多选)函数的图象类似于汉字“囧”字,被称为“囧函数”,并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”,以“囧点”为圆心,凡是与“囧函数”有公共点的圆,皆称之为“囧圆”,则当,时,下列结论正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.当时,的最大值为-1
C.函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为
D.函数的所有“囧圆”中,面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】当,时,函数.
A.f(x)的定义域为,,且为偶函数,则函数关于对称,故A错误;
B.其图象如图所示,当,为减函数,则当时,最大为,故B正确;
C.当时,,即函数图象与轴的交点为,其关于原点的对称点为,
所以“囧点”为,
设,则,设切点为,,
切线的斜率,
当“囧点”与切点的连线垂直切线时,距离最短,

解得,
切点坐标为,
故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是,故C正确,
D.“囧圆”的圆心为.要求“囧圆”的面积最小,则只需考虑轴及轴右侧的函数图象.当圆过点时,其半径为2,这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值;
当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时,设(其中,
则点到圆心的距离的平方为,
令,,则,
再令,(其中,
则,
所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时,最小半径为.
又,
综上可知,在所有的“囧圆”中,半径的最小值为.
故所有的“囧圆”中,圆的面积的最小值为,故D正确,
故选:BCD.
【例14-2】(24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习)(多选)已知函数 是定义在区间 上的连续函数,若 ,使得 , ,都有 ,则称函数 是区间 上的 “ 类函数”. 下列说法正确的有( )
A.函数 是区间 上的 “ 3 类函数”
B.函数 是区间 上的 “ 2 类函数”
C.若函数 是区间 上的 “ 类函数”,则方程 在区间 上至多只有一个解
D.若函数 是区间 上的 “ 2 类函数”,且 ,则存在满足条件的函数 ,使得
【答案】ABC
【解析】对于选项A,,,
,所以选项A正确;
对于选项B,“函数是区间上的‘2类函数’”等价于“,,恒成立”,
不妨设,即等价于“在上恒成立”,即“”和“,对,,且恒成立”,
所以等价于“函数在上单调递减”且“函数在上单调递增”,
令,,
又因为时,,,所以“函数在上单调递减”且“函数在上单调递增”,
即“函数是区间上的‘2类函数’”成立,所以选项B正确;
对于选项C,若方程在区间上有两个及以上的解,不妨设其中两个不同的解为,
则,所以,
所以,与若函数是区间上的“k类函数”矛盾,所以选项C正确;
对于选项D,不妨设,且,若,则;若,则
,所以,恒成立,所以选项D错误,
故选:ABC.
【例14-3】(24-25高三上·安徽·阶段练习)(多选)定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为,则下列说法中正确的有( )
A.,
B.的值是19
C.函数有三个零点
D.过只可以作两条直线与图象相切
【答案】ABD
【解析】对于A,因为,
所以,
所以,
由题意可得,即,
解得,故A正确;
对于B,因为的对称中心为,
所以,
设,
仿写得到,
两式相加得到,
所以,故B正确;
对于C,由A可得,
所以,
令,解得或2,
所以,当时,,为增函数;
当时,,为减函数;
当时,,为增函数;
所以在取得极大值,在处取得极小值,
又,,
且,
所以有一个零点,故C错误;
对于D,设切点为,
则切线方程为,
又切线过点,
所以,
化简可得,即,
解得或,
即满足题意的切点只有两个,所以满足题意的切线只有2条,故D正确;
故选:ABD.
单选题
1(2025·福建莆田·二模)曲线在点处切线的斜率为,则的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,令,则,故,
当时,,即的坐标为.
故选:B.
2.(2025·江西·一模)已知函数的图象在处的切线过原点,则所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以.
因为的图象在处的切线过原点,则,
即,即.
设,因为在上均单调递增,且函数值为正,
所以在上单调递增,且,,
所以.
故选:.
3.(2025·甘肃兰州·一模)若函数(e为自然对数的底)的一条切线与x轴平行,则切点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设切点坐标为,函数,所以,
因为切线与x轴平行,所以,解得,,故切点坐标为
故选:B
4 .(2025·山东济宁·一模)曲线与和分别交于两点,设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为和互为反函数,其图象关于直线对称,
且反比例函数的图象也关于直线对称,
可知点关于直线对称,设,则,
设,则,
由题意可得:,解得或(舍去),
可得,则,所以.
故选:A.
5.(2025·河南·二模)已知函数,若存在实数,使得成立,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数,若存在实数,使得成立,
当时,存在,所以;
当时,不成立;
当时,存在,所以成立,
令,,
当单调递增;
当单调递减;
所以时,,,,所以;
综上得:或.
故选:D.
6.(2025·天津·模拟预测)设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对应,有,故在R上单调递增,
若,即,
所以“”是“”的充要条件.
故选:C
7.(2025·河北·模拟预测)已知函数在上单调递减,在上单调递增,且圆内恰好包含的三个极值对应的点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知在处取得最小值,
,,解得,
∵函数在上单调递减,
,即,,
当时,,,符合条件,
.
由图像知轴右侧包含两个极值对应的点,左侧包含一个极值对应的点,
的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离,小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离,即,
故选:B.
8.(24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试)已知函数,若对任意两个不相等的实数,,都有,则a的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.0
【答案】B
【解析】不妨设,因为,所以,
构造函数,则,所以单调递增,
恒成立,即恒成立,
令函数,,
当时,,当,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
则,故.
故选:B.
9.(2025·江西上饶·一模)利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的,同学们利用我们所学数学知识,探究函数,下列说法正确的是( )
A.有且只有一个极大值点 B.在上单调递增
C.存在实数,使得 D.有最小值,最小值为
【答案】D
【解析】由,则,
令,则,令,解得,
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增;
由函数与复合而成,而在上单调递增;
故在上单调递减,在上单调递增;
所以在处取极小值,且无极大值,
又,故不存在实数,使得.
故ABC错误,D正确.
故选:D.
10(2025·江西萍乡·一模)将函数的图象向右平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,设,则在内的极大值点为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数的图象向右平移个单位长度,得函数的图象,
再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,
所以,
则.令,得,或.
当时,单调递减;
当时,单调递增;
当时,单调递减,
所以在内的极大值点为.
故选:A.
11.(2025·陕西榆林·模拟预测)已知函数,则的最小值为( )
A.0 B. C.1 D.
【答案】D
【解析】法1:因为,所以在上单调递增,
又因为,
所以当时,,
当时,,
所以,,
因此当时,取得最小值.
法2:因为,所以在上单调递增,
又,所以当时,,当时,,
因此与函数符号相同,
原不等式等价于在上恒成立,
因此,设点,则点在直线上,
因此.
法3:因为,所以在上单调递增,零点为0,
又因为单调递增,零点为,
因此,当且仅当时取等号.
法4:设,则恒成立,
因为,所以为函数的极小值点,因此,
又,所以,
当时,,
由解法1知,当时,,即,
当时,,即,满足题意.
因此,下同解法1.
法5:设,则恒成立,
因为,所以为函数的极小值点,
因此,又,所以,
由解法1知在上单调递增,且,因此,下同解法1.
故选:D.
12.(2025·河南郑州·一模)已知函数,,对,,使得成立.下列结论正确的是( )
A.,使得
B.函数的最大值为0
C.a的取值范围为
D.过作的切线,有且只有一条
【答案】D
【解析】对于A,,
因为在上单调递增,在上单调递增,
所以在上单调递增,
又,
所以当时,,故A错误;
对于B,由A的分析可知,当时,,
当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以在处取得最小值:,无最大值,故B错误;
对于C,由前面分析知,
由题可知:,使得
对于函数,,
当时,,
故无论a取什么值,均,使得,
则a的取值范围为R,故C错误;
对于D,不妨设切点为,,
切线方程为,
把代入可得:,
即:
令,,

因为对恒成立,
所以当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
又,
所以只有一个零点0,
即只有时,成立,
故过作的切线,有且只有一条,故D正确.
故选:D.
13.(2025·辽宁·模拟预测)设函数及其导函数的定义域均为,记,已知,且函数的图象关于直线对称,若,则( )
A. B. C. D.0
【答案】B
【解析】由,得,
两式相加得,
两边取导数得,即,
则,所以是以6为一个周期的周期函数,
由函数的图象关于直线对称,得,
则,所以直线是图象的一条对称轴,
由,两边取导数得,
则,
令,得,又,所以;
令,得;令,得;
令,得;令,得.
所以,
因为,
所以.
故选:B
多选题
14.(2025·山西·一模)已知函数,过点作平行于轴的直线交曲线于点,曲线在点处的切线交轴于点.则( )
A.当时,切线的方程为 B.当时,的面积为
C.点的坐标为 D.面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】由已知得,,
过点的切线方程为,当时,,
则,故正确;
当时,,则,
以为切点的切线方程为,即,故错误;
此时,的面积,故正确;
因为,,,
所以,,所以,
令,所以,
令,即,解得,
当时,,所以函数在内单调递减,
当时,,所以函数在内单调递增,
所以当时,函数有最小值,最小值为,故正确.
故选:.
15.(2025·江西·二模)已知函数,是函数的一个极值点,则下列说法正确的是( )
A.
B.函数在区间上单调递减
C.过点能作两条不同直线与相切
D.函数恰有4个零点
【答案】AB
【解析】对于A中,由函数,可得,
因为 是函数的一个极值点,可得,
解得,经检验适合题意,所以A正确;
对于B中,由,令,解得或,
当时,;当时,;当时,,
故在区间上递增,在区间上递减,在区间上递增,所以B正确;
对于C中,设过点且与函数相切的切点为,
则该切线方程为,
由于切点满足直线方程,则,
整理得,解得,所以只能作一条切线,所以C错误;
对于D中,令,则的根有三个,如图所示,,
所以方程有3个不同根,方程和均有1个根,
故有5个零点,所以D错误.
故选:AB.

16.(2025·安徽合肥·模拟预测)已知函数,则下列命题中正确的是( )
A.0是的极小值点
B.当时,
C.若,则
D.若存在极大值点,且,其中,则
【答案】ACD
【解析】由题意可得,
令,当时,得或,
对于A,当时,令,解得或,则在和上单调递增,
令,解得,则在上单调递减,
所以在处取得极小值,
同理,当时,在和上单调递减,在上单调递增,
所以在处取得极小值;
当时,,在上单调递减,在上单调递增,
所以在处取得极小值,故A正确;
对于B,当时,在上单调递减,
又,,所以,故B错误;
对于C,若,则,则
.
所以,,则,故C选项正确.
对于D,若存在极大值点,则,即,
因为,所以,
所以,,
即,
又,所以,故D正确.
故选:ACD.
17.(2025·黑龙江·二模)已知函数的极小值为,则( )
A.
B.曲线是中心对称图形
C.若直线与函数的图象有个交点,则实数的取值范围为
D.当时,
【答案】BCD
【解析】函数的定义域为,导函数,
当时,,函数为增函数,与条件矛盾,
当时,令可得,或,
当时,,函数在上单调递增,
当时,,函数在上单调递减,
当时,,函数在上单调递增,
所以当时,函数取极小值,极小值为,
由已知,所以,A错误,
所以,
设,
函数的定义域为,定义域关于原点对称,

所以函数为奇函数,故函数的图象关于原点对称,
所以函数的图象关于点对称,关于曲线是中心对称图形,B正确,
因为当时,,函数在上单调递增,
当时,,函数在上单调递减,
当时,,函数在上单调递增,
又,,
当时,,当时,,
所以函数的大致图象如下:
因为直线与函数的图象有3个交点,
所以,
所以的取值范围为,C正确;
因为,又,
所以,即,
因为,,
函数在上单调递减,
所以,D正确;
故选:BCD.
18.(2025·安徽黄山·一模)设函数,则( )
A.存在,函数仅有一个极值点
B.曲线关于点对称
C.当时,是曲线的切线方程
D.当时,函数有唯一零点
【答案】BC
【解析】对于A,由题意可得,当时,恒成立,
函数在上单调递减,无极值点,当时,令,
即,解得,此时函数有两个极值点,
所以不存在,使函数仅有一个极值点,故A错误;
对于B,设是图像上任意一点,则,
点关于点对称的点为,
将代入函数可得,
而,
所以曲线关于点对称,故B正确;
对于C,当时,,,
若是切线方程,则其斜率为9,
令,解得,
当时,,切线方程为,
化简可得;
当时,,切线方程为,
化简可得;
所以是曲线的切线方程,故C正确;
对于D,由,当时,令,可得,
当或时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;


当时,,当时,,
所以函数在上各有一个零点,
即函数有三个零点,故D错误;
故选:BC
19.(2025·福建莆田·二模)已知函数,下列结论正确的是( )
A.当时,是的极大值点
B.存在实数,使得成立
C.若在区间上单调递减,则的取值范围是
D.若存在唯一的零点,且,则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】A:,令,得或.
当时,,令或,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以是的极大值点,故A正确;
B:,
所以,
整理得,
所以,解得,即存在使得,故B正确;
C:若在上单调递减,则在上恒成立,
即不等式在上恒成立,
又在上单调递减,其值域为,所以,故C错误;
D:由选项A知,当时,,
令,解得,所以函数又两个零点,不符合题意;
当时,,令或,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以的极大值为,极小值,
且当时,,当时,,
要使存在唯一的零点,则,
解得或(舍去),所以,此时,不符合题意;
当时,在上单调递减,在上单调递增,
所以的极大值为,极小值,
且当时,,当时,,
要使存在唯一的零点,且,则,
解得或(舍去),所以.
综上,的取值范围为,故D正确.
故选:ABD
20.(2025·江西萍乡·一模)已知函数,则下列结论正确的是( )
A.若有2个零点,则
B.当时,是增函数
C.当时,恒成立
D.当时,若是的零点,则
【答案】ABD
【解析】显然,由,得,
所以直线与函数的图象有2个交点,又,
所以当或时,;当时,,
所以在和上单调递增,在上单调递减,
从而在处取得极小值.
又时,;当时,;当时,,
在同一直角坐标系中作出的图象以及直线,
由图可见,当且仅当时,直线与的图象有两个公共点,故A正确;
当时,,对求导得.
再对求导得.
令,即,解得.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
所以在处取得最小值,,
即恒成立,所以是增函数,选项B正确.
当时,,,
所以不恒成立,选项C错误.
当时,,,.
因为是增函数,且,
所以由零点存在定理可知,的零点满足,选项D正确.
故选:ABD.
21.(2025·四川德阳·二模)已知函数的导函数为( )
A.若有三个零点,则 B.
C.是的极小值点 D.当时,则
【答案】ABD
【解析】因为函数,所以,
令,解得,或,
当,或,,当,,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
,,
对于A,由得,
即,,
因为在上单调递减,所以在上只有一个零点,
因为,在上单调递增,
可得在上只有一个零点,
因为,在上单调递增,
可得在上只有一个零点,
综上,有三个零点,故A正确;
对于B,,

所以,故B正确;
对于C,是的极大值点,故C错误;
对于D,当时,则,
解得,故D正确.
故选:ABD.
填空题
22.(2025·北京平谷·一模)已知函数,当时,的值域是 ,若有两个极值点,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由,则,
当时,,
易知函数在上单调递增,在上单调递减,
此时;
当时,,易知函数在上单调递减,则.
综上可得.
由题意可设函数的两个极值点分别为,且,
由二次函数在上单调递增,在上单调递减,
一次函数,当时,在上单调递减,当时,在上单调递增,
易知函数在与上单调递增,在上单调递减,
且,,可得,解得.
故答案为:;.
23.(2025·湖北鄂州·一模)已知函数在上单调递减,则a的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数,求导得,
依题意,,而当时,,
则,所以a的取值范围为.
故答案为:
24.(2025·河北保定·模拟预测)对于,函数有且仅有一个零点,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意,任意的均使得有且仅有一个零点,令0,得,
记函数,即与直线有且仅有一个交点,
若的值域不是,设的值域为,则,使得,矛盾,
所以的值域为,且为单调函数(否则与直线存在至少两个交点),
所以恒有或,易得,
当且时,有,所以恒有,得恒成立,
记,则,
当时,单调递增;当时,单调递减,
所以的最大值为,
故实数的取值范围是.
故答案为:
25.(23-24高三上·江苏连云港·阶段练习)已知直线分别与曲线,相切于点,,则的值为 .
【答案】1
【解析】由,,有,,
在点处的切线方程为,
在点处的切线方程为,
则有,得,
所以,可得.
故答案为:1.
26.(2025河南)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.若,则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】[方法一]:【最优解】转化法,零点的问题转为函数图象的交点
因为,所以方程的两个根为,
即方程的两个根为,
即函数与函数的图象有两个不同的交点,
因为分别是函数的极小值点和极大值点,
所以函数在和上递减,在上递增,
所以当时,,即图象在上方
当时,,即图象在下方
,图象显然不符合题意,所以.
令,则,
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为,
则切线的斜率为,故切线方程为,
则有,解得,则切线的斜率为,
因为函数与函数的图象有两个不同的交点,
所以,解得,又,所以,
综上所述,的取值范围为.
[方法二]:【通性通法】构造新函数,二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点,
所以函数在和上递减,在上递增,
设函数,则,
若,则在上单调递增,此时若,
则在上单调递减,在上单调递增,此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点,则,不符合题意;
若,则在上单调递减,此时若,则在上单调递增,在上单调递减,令,则,此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点,且,则需满足,,即故,所以.
27.(23-24 ·山东聊城·期末)若直线与曲线相切,也与曲线相切,则的斜率为 .
【答案】/
【解析】设直线切曲线于点,切曲线于点,
由得,则直线的方程为,
即;
由可得,则直线的方程为,
即,
所以,,
消去可得,即,可得,
因此,直线的斜率为.
故答案为:.
28.(24-25高三下·湖南永州·开学考试)若曲线与曲线有三条公切线,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】设公切线为是与的切点,由,得,
设是与的切点,由,得,
所以的方程为,因为,整理得,
同理,因为,整理得,
依题意两条直线重合,可得,
消去,得,
由题意此方程有三个不等实根,设,
即直线与曲线有三个不同的交点,
因为,令,则,
当或时,;当时,,
所以有极小值为,有极大值为,
因为,,,所以,
当趋近于时,趋近于0;当趋近于时,趋近于,
故的图象简单表示为下图:
所以当,即时,直线与曲线有三个交点,
故答案为:
29.(2025·陕西宝鸡·二模)若函数的极大值点为,则 .
【答案】/0.8
【解析】由函数,
求导可得,
令,则,
由题意可得,
由函数可知当()时,,
当()时,,且为函数的极大值点,
则可得(),解得(),
所以.
故答案为:.
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