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考点六 函数（选填题10种考向）
考向一 函数的单调性
【例1-1】（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【例1-2】（2025·贵州毕节·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（2025·河南南阳·模拟预测）已知是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】（2025·山东菏泽·一模）已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-5】（2025·河北·模拟预测）已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例1-6】（2025·贵州六盘水·一模）函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-7】（2025·云南大理·模拟预测）已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向二 函数的奇偶性
【例2-1】（2025·四川巴中·一模）若函数为奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无解
【例2-2】（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-3】（2025·山东聊城·一模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（2025·河北·一模）（多选）已知函数下列命题正确的是（ ）
A．若是奇函数，则
B．若是奇函数，则
C．若是减函数，则的取值范围为
D．若是减函数，则的取值范围为
【例2-5】（2025·陕西宝鸡·二模）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C．8 D．16
考向三 函数的对称性
【例3-1】（2024·福建·模拟预测）已知函数，则曲线的对称中心为 ．
【例3-2】（2025·山东）已知函数，则不等式的解集为 .
【例3-3】（2024·四川成都·模拟预测）函数，若，则 .
【例3-4】（2025·内蒙古）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ．
【例3-5】（2025·江西·一模）已知函数，若，的图象关于原点对称，若，的图象关于轴对称，则 .
【例3-6】（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知函数的图象关于直线对称，则 .
考向四 函数的周期性
【例4-1】（2025·陕西）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 ．
【例4-2】（2025·江苏）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则 ．
【例4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，，则 ．
【例4-4】（2025·江苏南通·一模）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则 ．
【例4-5】（2024·江西鹰潭·一模）已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，求= ．
考向五 函数4大性质的综合
【例5-1】．（2025·四川·模拟预测）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，且，则（ ）
A．4040 B．4044 C．4046 D．4048
【例5-2】（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
【例5-3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例5-4】（2025·安徽·一模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ）
A． B．
C． D．
考向六 函数图像
【例6-1】（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（2025·安徽合肥·一模）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【例6-3】（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【例6-4】（2025·江西·一模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【例6-5】（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
考向七 函数的零点个数
【例7-1】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（2025·宁夏银川·一模）定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（ ）
A．14 B． C．12 D．
【例7-3】（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例7-4】（2025·陕西西安·二模）已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例7-5】（2025·河南·二模）已知函数若，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例7-5】（2025·江苏淮安·二模）定义在上的函数满足，且当时，．则方程所有的根之和为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【例7-6】（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向八 抽象函数
【例8-1】（2025·河北秦皇岛·一模）（多选）已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．为偶函数
D．的图象关于点中心对称
【例8-2】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．是偶函数
【例8-3】（2025·湖北·模拟预测）（多选）已知定义域为的函数满足，且.则（ ）
A． B． C． D．可能为增函数
【例8-4】（2025·广西·一模）已知函数满足：（1）对任意，都有；（2）对任意，都有．则的值是（ ）．
A．324 B．336 C．348 D．360
【例8-5】（2025·海南·三模）（多选）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是奇函数
C． D．若，则
【例8-6】（2025·河南·二模）（多选）已知函数的定义域为，，且，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．数列是等比数列 D．当时，
考向九 函数的实际应用
【例9-1】（2025·甘肃·一模）某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为（单位：）的净化装置后污染物的含量如下表：
0 1 2 3
研究小组的同学根据表格数据建立了关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】（2025·北京平谷·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ）
A． B． C． D．
【例9-3】（24-25高三上·河南南阳·开学考试）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过 天.（参考数据：，）
【例9-4】（2025·北京延庆·一模）延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）

A．为奇函数 B．的最大值为1
C．在上单调递增 D．方程有2个实数解
【例9-5】（24-25 四川达州·期末）国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示药品的治愈效果，系数越大表示效果越好.某研究机构元旦时在实验用小白鼠体内注射某种实验药品，二月底测得普姆克系数为24 pmk，三月底测得普姆克系数为36 pmk，已知该药品在当年第x月月底测得的普姆克系数y与月份x（单位：月）的关系是.则普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是（ ）（参考数据：，.）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例9-6】（2024河南南阳·期中）放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）．
A． B． C． D．
考向十 新定义函数
【例10-1】（2025·河南安阳·一模）（多选）定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例10-2】（2025·云南昆明·一模）（多选）悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在上单调递增
C．， D．
【例10-3】（2025·湖南·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【例10-4】（2025·安徽·模拟预测）（多选）对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“比翼函数”.则下列说法正确的是（ ）
A．函数是“比翼函数”
B．若函数在上为“比翼函数”，则
C．若函数在上为“比翼函数”，当，，则，
D．若函数在上为“比翼函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调递减函数，记，若，则
【例10-5】（2025·辽宁·模拟预测）若函数的图象上存在无数个点，使得在这无数个点处的切线重合，则称为“共切线函数”，则下列函数中是“共切线函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
单选题
1．（2025·河北秦皇岛·一模）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津·模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东·一模）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
6．（2025·贵州毕节·一模）若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·湖北·二模）已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
9．（2025·黑龙江·二模）已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·河北保定·模拟预测）若关于的方程在定义域内有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·河南·模拟预测）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·江苏泰州·一模）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·山西·一模）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．0 B．2025 C． D．1013
15．（2025·贵州毕节·一模）已知定义域为的奇函数满足，且时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·江西赣州·一模）已知，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·广东湛江·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（ ）．
A． B． C． D．3
多选题
18．（2025·重庆·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．是周期为的周期函数 D．
19．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．
C． D．
20．（24-25 福建泉州·阶段练习）已知函数若关于的方程有3个实数解，则（ ）
A． B．
C． D．关于的方程恰有3个实数解
21．（23-24·陕西渭南·期末）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，.则下列结论正确的是（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．是偶函数 D．在上有个零点
22．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的为（ ）
A．4是的一个周期 B．是偶函数
C． D．
23．（2025·吉林延边·一模）设是上的奇函数，且对都有，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值是1，最小值是0 B．当时，
C．点是函数的对称中心 D．在区间上是增函数
24．（2025·广西·一模）设函数，则（ ）
A．是的极大值点
B．当时，
C．当时，
D．曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为
填空题
25．（24-25高三上·海南·开学考试）已知函数，若，则实数a的取值范围是 .
26．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知，且，若函数，在上是增函数，则的取值区间为 .
27．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则 ．
28．（24-25高三上·江西·期中）已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ．
29．（2025·天津武清·一模）函数 关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 .
30．（23-24浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，，，，且，则的取值范围为 ．
31．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）设函数，若恰有2个零点，则的取值范围是 .
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考点六 函数（选填题10种考向）
考向一 函数的单调性
【例1-1】（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由且，得，即或，
所以函数的定义域为，
因为在上单调递减，在上单调递增，
又函数为增函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又函数为增函数，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
【例1-2】（2025·贵州毕节·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，
则函数的减区间为，增区间为，
又因为函数在区间上单调递增，且外层函数在上为增函数，
所以，，可得，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
【例1-3】（2025·河南南阳·模拟预测）已知是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数是增函数，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
【例1-4】（2025·山东菏泽·一模）已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知， ，
即函数图象的对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减.
.
，.
故选：A.
【例1-5】（2025·河北·模拟预测）已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数与均是增函数，
所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得，
由得，即恒成立，
所以，当时，函数取得最大值，所以，，即，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【例1-6】（2025·贵州六盘水·一模）函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数，为减函数；
又因为所以为奇函数，
若，不等式恒成立，
则不等式，因为为奇函数，所以，
因为为减函数，所以恒成立，
所以恒成立，所以，
，
当且仅当时取最小值3，所以，
所以，所以实数m的取值范围是.
故选：B.
【例1-7】（2025·云南大理·模拟预测）已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，
因为是偶函数，是奇函数，所以，
联立，解得，
又对任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，则，
所以在上单调递增，
①若，则对称轴，解得；
②若，则在单调递增，满足题意；
③若，则对称轴恒成立；
综上，,
故选：D
考向二 函数的奇偶性
【例2-1】（2025·四川巴中·一模）若函数为奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无解
【答案】D
【解析】根据题意，函数，则，
若为奇函数，则，
即，a的值不是常数，即无解．
故选：D
【例2-2】（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A：，定义域为R，是偶函数，不符；
B：，定义域为，是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知在上单调递减，不符；
C：，定义域为R，是偶函数，不符；
D：，定义域为R，是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知在R上单调递增，符合.
故选：D
【例2-3】（2025·山东聊城·一模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使奇函数是增函数，则需要在上单调递增，且，
当时，恒成立，
因为，此时的对称轴，所以只需即可，即.
故选：B
【例2-4】（2025·河北·一模）（多选）已知函数下列命题正确的是（ ）
A．若是奇函数，则
B．若是奇函数，则
C．若是减函数，则的取值范围为
D．若是减函数，则的取值范围为
【答案】AC
【解析】当时，.
若是奇函数，则，解得，
当时，时，，
也满足奇函数，故A正确.
若是减函数，则，解得，C正确.
故选：AC
【例2-5】（2025·陕西宝鸡·二模）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C．8 D．16
【答案】D
【解析】由奇函数性质可得，的定义域关于原点对称，
又定义域为，即且，，故，解得.
又，故，此时为奇函数，故.故选：D
考向三 函数的对称性
【例3-1】（2024·福建·模拟预测）已知函数，则曲线的对称中心为 ．
【答案】
【解析】曲线的对称中心为，则，
即，整理得，
依题意，与无关，则，解得，此时，
所以曲线的对称中心为.
故答案为：
【例3-2】（2025·山东）已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由已知得：，
所以，即
则不等式等价于，
再由，
可得在上单调递增，所以，解得，
故答案为：.
【例3-3】（2024·四川成都·模拟预测）函数，若，则 .
【答案】
【解析】，
，
.
故答案为：
【例3-4】（2025·内蒙古）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】易知函数在上为单调性递增，
即可得是上的增函数，
令，则是上的增函数，
易知，可得,
即的图象关于点成中心对称，
由可得，
即，由可得；
所以，利用是上的增函数可得，
解得.即的取值范围是.故答案为：
【点睛】方法点睛：解函数不等式的方法步骤：
（1）根据解析式特征得出函数奇偶性、对称性、周期性等性质；
（2）再判断得出函数单调性，利用单调性并结合定义域得出不等式（组）；
（3）解不等式可得结论；
【例3-5】（2025·江西·一模）已知函数，若，的图象关于原点对称，若，的图象关于轴对称，则 .
【答案】
【解析】∵时，的图象关于原点对称，故此时为奇函数，
∴，即，
∴.
∵时，的图象关于轴对称，故此时为偶函数，
∴，即，
∴.
①②两式相加得，，
整理得，.
故答案为：.
【例3-6】（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知函数的图象关于直线对称，则 .
【答案】3
【解析】由知，即，
所以函数的定义域为
由函数的图象关于直线对称，
所以，且恒成立，
即，所以，整理得，
所以，故故答案为：3
考向四 函数的周期性
【例4-1】（2025·陕西）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 ．
【答案】
【解析】根据题意知为偶函数，为奇函数，
所以可得，，
，
所以可得，，
则是以为周期的函数，又因为奇函数，令，可得，
所以.
故答案为：
【例4-2】（2025·江苏）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则 ．
【答案】48
【解析】因为，所以，
又因为，则有，
因为是奇函数，所以，
可得，即有与，
即，所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数.
因为且. 所以，所以为偶函数，
由是奇函数，则，因为，所以，
又因为，且的周期为4，
所以，
由得，因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
【例4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，，则 ．
【答案】
【解析】解法一因为是奇函数，可得 ，所以，
又因为是偶函数，可得，即，
所以，
所以是周期为12的周期函数，则．
解法二 因为是奇函数，可得的图象关于点对称，
又因为是偶函数，可得的图象关于直线对称，
所以是周期为12的周期函数，所以，
因为的图象关于直线对称，所以，则．
故答案为：.
【例4-4】（2025·江苏南通·一模）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则 ．
【答案】3
【解析】因为是定义域为的偶函数，所以，即.
两边求导，可得：，可得.
因为，所以的图象关于直线对称，则.
用代替可得.
将代入中，可得 ①.
用代替可得 ②.
由②-①可得：.
所以是周期为的周期函数.
所以.
在中，令，可得.
又因为的图象关于直线对称，所以.
在中，令，可得，解得，
所以，即.
故答案为：3.
【例4-5】（2024·江西鹰潭·一模）已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，求= ．
【答案】
【解析】因为是偶函数，则，
两边求导得，所以是奇函数，故，
由，
代入，得，
则，所以，
又是奇函数，所以，
所以是周期函数，且周期为4，
又，可知也是以4为周期的周期函数，
令，得，故，
而所以，
令，得，则，
而，，
又，则，
，
故答案为：.
考向五 函数4大性质的综合
【例5-1】．（2025·四川·模拟预测）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，且，则（ ）
A．4040 B．4044 C．4046 D．4048
【答案】D
【解析】由为奇函数，得，即，
由为偶函数，则，即，即，
则，即，于是，
因此，函数是周期为4的函数，
由，，得，
所以.
故选：D
【例5-2】（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
【答案】C
【解析】令，得，即，故函数的图象关于对称．
又的图象关于直线对称，故，的图象关于直线对称．
，是以4为周期的周期函数．
对于A，的图象是将的图象向左平移2个单位，故的图象关于轴对称，是偶函数，故A错误；
对于B，的图象是将的图象向左平移1个单位，故的图象关于原点对称，是奇函数，故B错误；
对于C，由，得；由，得，
，故C正确；
对于D，依题意，得，，，故D错误．
故选：C．
【例5-3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于函数有，，则函数关于直线对称，
由，则函数关于点对称，
所以，所以得，
则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数，
因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图：
由对称性可得，
所以
，故A错误；
由于，，所以，故B错误；
又，，所以，故C正确；
，且，
因为，所以，故，
所以，故D错误.
故选：C.
【例5-4】（2025·安徽·一模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题得，所以即，
所以是奇函数，故，
又由得函数关于点对称，，
所以，故，
所以 ，即函数是周期为6的函数，
所以也是周期为6的函数，即，
由求导得即，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，由函数关于点对称得，故B错误；
对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确；
对于D，由得，
且即，且即，
且即，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
考向六 函数图像
【例6-1】（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】恒成立，故的定义域为R，
，
故为奇函数，BD错误；
当趋向于时，的增长速度远大于的速度，
故趋向于0，C错误，A正确.
故选：A
【例6-2】（2025·安徽合肥·一模）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由知，，即，所以函数定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为奇函数，故排除A；
当时，，时，，
所以当，时，，排除C；
当时，符号可正可负，所以可正可负，故可排除D；故选：B
【例6-3】（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C；
又由当时，排除A，B;
故选：D．
【例6-4】（2025·江西·一模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数是定义域为
函数，是奇函数，所以排除B，C，
又函数在原点附近的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数，
如0.1，得，所以排除D．
故选：A.
【例6-5】（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】因为的定义域为R，关于原点对称，且
，
所以为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除A，C.
因为，故排除B.故选：D.
考向七 函数的零点个数
【例7-1】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，由可得，
令，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【例7-2】（2025·宁夏银川·一模）定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（ ）
A．14 B． C．12 D．
【答案】B
【解析】由，
则关于中心对称，关于直线轴对称，且，
将替换为，则，则，即的周期为4.
画出以及的函数图象，如图所示，

两个函数图象均关于对称，则所有的根之和为.
故选：B
【例7-3】（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】是定义在上的函数，且有，当时，，
则时，，则，
时，，
时，，
时，，
画出函数与函数的图象，
由图象可知方程的根的个数为3.
故选：C.
【例7-4】（2025·陕西西安·二模）已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，有1个零点，
则当时，只有一个零点，
即方程在时有一个解，
即方程在时有一个解，
因为函数为增函数，
且当时，，
则，即.
故选：B.
【例7-5】（2025·河南·二模）已知函数若，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且；
当时，所以在上单调递增，且，
所以的图象如下所示：
又，且，不妨令，
结合图象可知且，即，
所以，即的取值范围为.
故选：A
【例7-5】（2025·江苏淮安·二模）定义在上的函数满足，且当时，．则方程所有的根之和为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【解析】已知，所以函数是奇函数.
又因为，则，用代替可得：，所以.所以函数的周期是.
方程可化为，所以方程的根就是函数与图象交点的横坐标.
当时，，对求导得，
其判别式，且二次项系数，所以，则在上单调递增.，.
因为是奇函数，所以在上也单调递增，.
又因为的周期是，可画出的大致图象.
直线恒过点.
通过分析函数图象可知，函数与的图象有个交点，
设这个交点的横坐标分别为.
由于函数的图象关于点对称，直线也过点，所以，，.
则.
故选：B.
【例7-6】（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：为单调函数，
当时，单调递减;
故当时，也是单调递减，故
要确保在R上单调递减，则，
解得：，
所以满足在R上单调递减时，实数a的取值范围为
当时，，又在上单调递减，，所以，
即在上的值域为令，则或3，即或，
要使得有4个不同的实数解，则，解得：
综上，实数a的取值范围为：，即故选：C.
考向八 抽象函数
【例8-1】（2025·河北秦皇岛·一模）（多选）已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．为偶函数
D．的图象关于点中心对称
【答案】BC
【解析】对于A，令则，故或，
令，则，
若，则，与的值域为矛盾，故，故A错误；
对于B，令则，故或，
令，则，
若，则，与的值域为矛盾，故，
令则，故，或，
因为的值域为，故，故，故B正确；
对于C，令则，故， 故C正确；
对于D，的值域为，故的图象不可能关于点中心对称，故D错误.
故选：BC
【例8-2】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．是偶函数
【答案】ABD
【解析】令，可得，解得，故C错误；
令，，则，由偶函数的定义知，是偶函数，故D正确；
令，则，
由是偶函数，则①，
令，则②，
①②可得，
又，则，代入①可得，，故AB正确；
故选：ABD.
【例8-3】（2025·湖北·模拟预测）（多选）已知定义域为的函数满足，且.则（ ）
A． B． C． D．可能为增函数
【答案】ABD
【解析】因为，，
所以令，可得，故A正确；
再令，可得，又因为，
所以，
又令，可得，所以，故B正确；
不妨取，则，
，
此时满足原恒等式，但是当时，，故C错误；
但由于此时在上是增函数，故D正确；
故选：ABD.
【例8-4】（2025·广西·一模）已知函数满足：（1）对任意，都有；（2）对任意，都有．则的值是（ ）．
A．324 B．336 C．348 D．360
【答案】C
【解析】对任意的，由（1）得，即.
故在上为单调增函数.
对任意，由（2）得.
显然.否则，.矛盾.
若，则，矛盾.
所以，.
故，.
由，得，.
则，.
故.
故选：C
【例8-5】（2025·海南·三模）（多选）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是奇函数
C． D．若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，令可得：，
所以，正确；
对于B，令，可得：，
令可得：，即，
所以，即是奇函数，正确；
对于C：令，可得，
由B可得：，
所以，C错误；
对于D，令，可得：，
所以
所以，
，
,
累加可得：
所以，
化简可得：，
当时，代入可得满足，
所以，则，
故选：ABD
【例8-6】（2025·河南·二模）（多选）已知函数的定义域为，，且，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．数列是等比数列
D．当时，
【答案】BCD
【解析】令，，则有，由，
故，即，故A错误；
令，，则有，
由，，故、、，则，
即当时，有恒成立，
故在上单调递增，故B正确；
令，，则有，
即，即，
又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故C正确；
由数列是以为首项，为公比的等比数列，
故，即，所以当时，
令可得，
当时，所以，
因为，则，又，所以，所以，
所以当时，，故D正确；故选：BCD.
考向九 函数的实际应用
【例9-1】（2025·甘肃·一模）某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为（单位：）的净化装置后污染物的含量如下表：
0 1 2 3
研究小组的同学根据表格数据建立了关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过.
函数和图象不过，不符合条件，故BC错误；
函数单调递增，故A错误；
D选项：满足上述条件，故D正确.
故选：D.
【例9-2】（2025·北京平谷·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：，即，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
两式相除可得：，
即，
所以：，
即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历，
故选：A
【例9-3】（24-25高三上·河南南阳·开学考试）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过 天.（参考数据：，）
【答案】12
【解析】设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上，则，即，
∴（天）．
故最少要经过12天
故答案为：12
【例9-4】（2025·北京延庆·一模）延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）

A．为奇函数 B．的最大值为1
C．在上单调递增 D．方程有2个实数解
【答案】D
【解析】对A，定义域为R，∵，则为偶函数，A错误；
对BC，又∵，根据，在R上均单调递增，
则在在R上单调递增，且，
则当时，则，当时，则，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误；
则，即的最小值为，B错误；
对D，令,，
再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确.
故选：D
【例9-5】（24-25 四川达州·期末）国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示药品的治愈效果，系数越大表示效果越好.某研究机构元旦时在实验用小白鼠体内注射某种实验药品，二月底测得普姆克系数为24 pmk，三月底测得普姆克系数为36 pmk，已知该药品在当年第x月月底测得的普姆克系数y与月份x（单位：月）的关系是.则普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是（ ）（参考数据：，.）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】根据题意可知时，；时，，
∴，解得．
故该函数模型的解析式为一月底，，；
当时，，一月底普姆克系数是，
令，得，
所以，
所以普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是5月.
故选：C
【例9-6】（2024河南南阳·期中）放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得，则，即．
因为，所以．
故选：A
考向十 新定义函数
【例10-1】（2025·河南安阳·一模）（多选）定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BCD
【解析】对于选项A，易知的最大值为，最小值为，则，所以选项A错误，
对于选项B，因为在区间上单调递减，
所以的最大值为，最小值为，则，所以选项B正确，
对于选项C，，令，，
当时，，又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又在区间上单调递增，所以的最大值为，最小值为，
则，所以选项C正确，
对于选项D，令，因为，则，且，
易知在区间上单调递增，所以在区间的最大值为，最小值为，
则，所以选项D正确，
故选：BCD.
【例10-2】（2025·云南昆明·一模）（多选）悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在上单调递增
C．， D．
【答案】ACD
【解析】对A，由题知定义域为，
所以，是偶函数，故选项A正确.
对B，函数的导数，
所以当时，当时，
所以单调递减区间为，单调递增区间为.
又，所以函数在单调递增，
由复合函数的单调性，可知 在上单调递减，故选项B错误.
对C，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，故选项C正确.
对D，，
，
则，故选项D正确.
故选：ACD.
【例10-3】（2025·湖南·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，令，即．
因为均为的单调递增函数，所以在区间上单调递增，所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误；
对于B，令，即．
由于均为的单调递增函数，所以在区间上单调递增，所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误；
对于C，由，得，
易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点；
当时，单调递减，且；
当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点．
所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误；
对于D，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点，
即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确．
故选：D.
【例10-4】（2025·安徽·模拟预测）（多选）对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“比翼函数”.则下列说法正确的是（ ）
A．函数是“比翼函数”
B．若函数在上为“比翼函数”，则
C．若函数在上为“比翼函数”，当，，则，
D．若函数在上为“比翼函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调递减函数，记，若，则
【答案】ACD
【解析】对于A，对于，则，
所以，
则函数是“比翼函数”，故A正确；
对于B，取，则，
所以，
此时在上为“比翼函数”，但，故B错误；
对于C，当时，，所以，故C正确；
对于D，因为函数是上的“比翼函数”，其函数值恒大于0，
且在上是单调递减函数，所以，
任取且，则，
所以，，
所以
，所以函数为上的增函数，
因为，故函数为上的奇函数，
当时，即，
则，所以，故D正确.
故选：ACD
【例10-5】（2025·辽宁·模拟预测）若函数的图象上存在无数个点，使得在这无数个点处的切线重合，则称为“共切线函数”，则下列函数中是“共切线函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A项，，其中为锐角且，
显然直线是图象的切线且切点有无数个，故A项正确．
对于B项，，则，
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，
当时，，单调递珹，
当时，，单调递增，
所以（为常数）至多有两个解，
即不存在无数个点处的切线斜率相同，故B项锴误．
对于C项，作出的部分图象，如图所示：
则的图象与直线相切，切点的横坐标分别为，
所以是“共切线函数”，故C项正确．
对于D项，，则，
注意到，，
所以在点处的切线方程均为，故D项正确．
故选:ACD
单选题
1．（2025·河北秦皇岛·一模）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由在区间上单调递减，则需要在区间上单调递增，
故对称轴，则，解得，故选：C
2．（2025·天津·模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由在上单调递增，则，
由在上单调递减，则，所以.故选：D
3．（2025·山东·一模）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，故，且为减函数，
若，则在为减函数，则函数为增函数，故舍去；
若，则为增函数，因为函数在区间上是减函数，
故.故的取值范围是.故选：D.
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知当时，,故，满足题意；
当时，令，即，解得，所以.
综上，.
故选：C
5．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】函数，分母恒大于，所以函数在处有定义. 因为是奇函数，所以.
可得：，即，解得.
时，，经检验满足题意.
故选：B.
6．（2025·贵州毕节·一模）若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】令，
则有或，
作出函数的图象，如图所示：
因为直线与的图象有3个交点，
直线与的图象有4个交点，
所以原方程有7个解．
故选：C．
7．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为定义在上的函数满足条件，
所以函数是偶函数，
对任意，当时都有，
所以不妨设，则有，
因此时，函数是增函数，
因为函数是偶函数，
所以，，
因为时，函数是增函数，
所以，即，
故选：A
8．（2025·湖北·二模）已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【解析】因为，且，
所以，
即.
因为是定义域为的单调递减函数，
所以函数单调递减，
又因，
故，即.
故选：A.
9．（2025·黑龙江·二模）已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设，则由得，
令，则在上单调递增，
因为
所以，
故选：A
10（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】恒成立，故的定义域为R，
，
故为奇函数，BD错误；
当趋向于时，的增长速度远大于的速度，
故趋向于0，C错误，A正确.
故选：A
11．（2025·河北保定·模拟预测）若关于的方程在定义域内有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
即，
可转化为方程在定义域内有解，
由对数函数的定义域可知，又，所以，
所以，
令，则，
因为的图象开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以，又，
所以.
故选：B.
12．（2025·河南·模拟预测）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由在上单调递增，则值域为，
由对称轴为，
当时，开口向上，则，显然成立；
当时，在上单调递增，且，显然成立；
当时，开口向下，则，则；
综上，.
故选：D
13．（2025·江苏泰州·一模）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】定义在上的奇函数满足，
则的图象的对称轴是，
所以，
则，
则，所以的周期是8，
所以，
因为在上单调递增，
所以.
故选：D.
14．（2025·山西·一模）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．0 B．2025 C． D．1013
【答案】D
【解析】由得，且函数关于点对称；
由得.
又由得，
所以，得函数是周期为2的函数，
当时，，故.
故选：D
15．（2025·贵州毕节·一模）已知定义域为的奇函数满足，且时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为定义域为的奇函数满足，则，
即，所以，，
所以，函数是周期为的周期函数，
则，，，则，
当时，，
因为，故.
故选：D.
16．（2025·江西赣州·一模）已知，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由换底公式等价变形得：，
因为，两边取以7为底的对数可得：，
又因为，两边取以7为底的对数可得：，
可知，
由，可得，
由，可得，
从而可得，
故选：C.
17．（2025·广东湛江·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】因为定义在上的函数为奇函数，且当时，，
所以当时，，，当时，，
令，即，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
若，则函数在上单调递增，
又，所以，
即恒成立，故满足题意，排除选项A；
若，则，函数在上不单调，图象如图所示，
又，即，
可理解为函数的图象在函数的图象下方，
所以由图象可得，即，
令，
则，，
.
故选：D
多选题
18．（2025·重庆·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．是周期为的周期函数 D．
【答案】BCD
【解析】因为函数是定义域为的奇函数，，且，，
对于A选项，因为，则，A错；
对于B选项，由可得，
整理可得，
当时，则有，即，
当时，，也满足，
所以，函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，因为是定义域为的奇函数，
且，所以，函数是周期为的周期函数，C对；
对于D选项，因为函数是定义域为的奇函数，
则，，，，
，所以，，
因为，则，D对.
故选：BCD.
19．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】为奇函数，即其函数图象关于点中心对称，
将其向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到函数的图象，
则的图象关于点中心对称，即①，故选项A正确；
选项B错误，理由如下：由②可得，，则，若B选项正确，则，矛盾，故选项B错误；
①②两式相加可得，，则
，，
则 ，故选项C正确；
对①②两式分别求导得，③，④，
③④两式联立可得，⑤，再将替换为，
得⑥，⑤⑥两式联立可得，，
则的周期为4，故，
在④式中令得，，在③式中令得，，故，选项D正确.
故选：ACD.
20．（24-25 福建泉州·阶段练习）已知函数若关于的方程有3个实数解，则（ ）
A． B．
C． D．关于的方程恰有3个实数解
【答案】ABD
【解析】如图，依题意作出函数的图象，
对于A项，作出关于轴对称的函数的图象，与直线交于点，则，不难看出点在点的右侧，则，故，A项正确；
对于B项，因当时，的图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，则，
由可得：，即，则得，故B项正确；
对于C项，当时，由解得：，
由解得：，，
此时，故C项错误；
对于D项，依题意，，在上单调递增，故，
于是由图知，函数与的图象恰有三个交点，即关于的方程恰有3个实数解，故D项正确.
故选：ABD
21．（23-24·陕西渭南·期末）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，.则下列结论正确的是（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．是偶函数 D．在上有个零点
【答案】AB
【解析】，所以是周期为的周期函数.
，所以关于点对称，
由令，得，则，
令得，即，A选项正确.
则，
由，得，
以替换得，
所以是奇函数，，C选项错误，
所以关于对称，根据周期性可知的图象关于点对称，B选项正确.
由于，所以，
，
由上述分析可知，在区间上，
至少有如下个零点：，
对于，可以构造如下的符合题意的函数对应的图象，
此时在区间上有个零点：，所以D选项错误.
故选：AB
22．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的为（ ）
A．4是的一个周期 B．是偶函数
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为函数的图象关于点对称，
所以，即，
用代换上式中的可得，所以关于点对称，
因为函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，即，
又，
所以，所以，
所以，所以，
所以函数的周期为，故正确；
因为，所以，
因为函数的图象关于直线对称，所以，
所以，所以是偶函数，故正确；
因为，所以，
即，故正确；
因为关于点对称，，
因为，令可得，
又关于直线对称，所以，
所以，
所以，故不正确.
故选：.
23．（2025·吉林延边·一模）设是上的奇函数，且对都有，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值是1，最小值是0 B．当时，
C．点是函数的对称中心 D．在区间上是增函数
【答案】BD
【解析】因为是上的奇函数，所以，
又对都有，所以的图象关于对称，
因为，即，所以，
所以是周期为4的周期函数，
又当时，单调递增，所以在上单调递增，
则在上单调递增，由的图象关于对称，
得在上单调递增，所以在上的最大值是，
最小值是，故A错误；
当时，，则，故B正确；
由对都有，得的图象关于对称，故C错误；
由在上单调递增，且周期为4，则在区间上是增函数，故D正确；
故选：BD
24．（2025·广西·一模）设函数，则（ ）
A．是的极大值点
B．当时，
C．当时，
D．曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为
【答案】ACD
【解析】函数的定义域为R，求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
对于A，是的极大值点，A正确；
对于B，在上单调递减，，则，B错误；
对于C，当时，，，，C正确；
对于D，令，，函数是奇函数，
函数的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称，
若函数的图象还有一个对称中心，则
，而不为常数，
因此点不是函数图象的对称中心，即函数的图象有且只有一个对称中心，
则曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为，D正确.
故选：ACD
填空题
25．（24-25高三上·海南·开学考试）已知函数，若，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为当时，是单调递增函数，此时，
当时，是单调递增函数，此时，

所以是定义在上的单调递增函数，
所以若即，
则，解得.
故答案为：
26．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知，且，若函数，在上是增函数，则的取值区间为 .
【答案】
【解析】函数在上是增函数，
则可得，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
27．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则 ．
【答案】0
【解析】因为是定义域为的奇函数，则且，
又因为，
则，
可得，
可知函数的一个周期为，
由可得，
则，即，
所以.
故答案为：0.
28．（24-25高三上·江西·期中）已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ．
【答案】2
【解析】因为为偶函数，则，即，
又因为为偶函数，则.
由，求导得，即，
所以，则，
所以是以4为周期的周期函数.
由，可得，即，
由，得，
所以，
所以.
故答案为：2
29．（2025·天津武清·一模）函数 关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】如图画出函数的图象，
直线表示过点的直线，表示直线的斜率，
，，，，
所以在点处的切线方程为，此时斜率为1，
如图，若与，有一个交点，则，
，，，
所以在点处的切线方程为，此时斜率为，
如图，若与，有一个交点，则，
如图，当时，与有两个交点，
综上可知，的取值范围是.
故答案为：
30．（23-24浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，，，，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为方程有四个根，，，，
故函数的图象与函数的图象有四个交点，
它们的横坐标分别为，，，，如图所示，
当时，，且，故，
当时，，且，所以，解得，
因为函数的图象与函数的图象有四个交点，
由图可得，，故，
所以，
令，，在单调递增，
所以，，故的取值范围是．
故答案为：
31．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）设函数，若恰有2个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，
令，可得:
当时，，所以或，
当或时，方程在上有唯一解，
当或时，方程在上有两解为或，
当时，，
所以当时，，即方程有一个解，
当时，，即方程在上无解，
综上，当时，函数有两个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点.
因为恰有2个零点，所以或，
所以的取值范围是.
故答案为：
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