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第七章 随机变量及其分布章末总结
知识点一 条件概率与全概率公式
（一）条件概率
1.定义：一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率.
2. 概率的乘法公式
对任意两个事件与，若，则
设，则
①；
②如果和互斥，那么 ；
③设和互为对立事件，则.
（二）全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有我们称它为全概率公式.
（三）贝叶斯公式：
设
知识点二 离散型随机变量
（一）离散型随机变量及其分布列
1. 随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量；随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量.
2 分布列
(1)概念:一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格
为随机变量的概率分布列，简称的分布列.
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质
(3)两点分布
如果随机变量的分布列为
则称服从两点分布，并称为成功概率.
(二）离散型随机变量的数字特征
1 离散随机变量的均值（数学期望）
一般地，随机变量的概率分布列为
则称 为的数学期望或均值，简称为期望.
它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平.
若 ，其中为常数，则也是变量，则 ，即
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 ，即若服从两点分布，则
4.离散型随机变量取值的方差和标准差
（1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为
则称
为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散.
一般地，
证明
知识点三 二项分布与超几何分布
（一） 二项分布
1.重伯努利试验
（1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性；
（2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验,
（3）重伯努利试验具有如下共同特征
第一：同一个伯努利试验重复做次；
第二：各次试验的结果相互独立；
2.二项分布
(1) 概念：一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率.随机变量的分布列如下
（2）二项分布的期望与方差
一般地,如果那么.
（二）超几何分布
1.概念：一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为：
其中.
如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布.
2. 超几何分布的期望
设随机变量服从超几何分布,则.
知识点四 正态分布
1 正态分布的概念
若连续型随机变量的概率密度函数为
其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为.
的图象称为正态曲线.
2 正态分布的期望与方差
若，则
3 正态曲线的性质
① 曲线在轴的上方，与轴不相交；
② 曲线关于直线对称；
③ 曲线在时达到峰值；
④ 曲线与轴之间的面积为；
⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近；
⑥ 曲线的形状由确定，
越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
4若，取值不超过的概率为区域的面积，而为区域的面积.
5 原则
假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地，
考点一 条件概率
【例1-1】（24-25江苏）有6名研究员进入A、B、C三个实验舱，则恰有4名研究员在A舱的条件下甲和乙在A舱的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（24-25江西）若，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（2025·山东济南）第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】（24-25高二上·江西上饶·期末）（多选）对于随机事件，若，则（ ）
A． B． C． D．
考点二 全概率
【例2-1】（24-25山东潍坊）盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2025云南）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（24-25甘肃白银）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（24-25高二上·上海·期末）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（ ）
甲 乙 丙 丁
甲 0.3 0.3 0.7
乙 0.7 0.6 0.3
丙 0.7 0.4 0.4
丁 0.3 0.7 0.6
A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25
考点三 离散型随机变量的分布列及均值、方差
【例3-1】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ）
X 0 1 2 3
P 0.2 0.1 0.1 0.6
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【例3-2】（2025海南）已知随机变量的分布列如下表：
0 1
P a b c
其中成等差数列，则的值与公差d的取值范围分别是（ ）
A．； B．；
C．； D．；
【例3-3】（2025湖南）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.4 0.1 0.3
若随机变量，则等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【例3-4】（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下：
1 2 3 4
0.1 0.4 0.3
则（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【例3-5】（23-24高二下·甘肃·期末）随机变量的概率分布列为，其中是常数，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．35
【例3-6】（24-25云南楚雄）（多选）已知随机变量的分布列为
1 2 3
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点四 二项分布
【例4-1】（2024陕西）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得的白球数为X，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（24-25陕西西安）蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立．
(1)求顾客中奖的概率；
(2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望．
【例4-3】（24-25高二上·陕西渭南·期末）设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7，0.6和0.5．
(1)若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率；
(2)若甲单独向目标射击三次，求命中次数X的分布列和均值．
考点五 超几何分布
【例5-1】（24-25 甘肃定西 ）某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校名学生中随机抽取名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按、、、分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求出的值，并估计全校学生中运动时长超过分钟的人数；
(2)在上述选取的名学生中任意选取名学生，设为运动时长超过分钟的人数，求的分布列与期望；
(3)现将运动时长高于分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取名学生，求恰有名学生是“热爱运动者”的概率．
【例5-2】（24-25河南南阳）高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
(1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率；
(2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人.
①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望；
②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果）
【例5-3】（24-25江苏扬州）已知给定两个集合，从两个集合中各随机取出两个元素合并成一个集合．
(1)若，求集合中恰有三个元素的概率；
(2)若，设集合中元素的个数为，求随机变量的分布列与期望．
考点六 正态分布
【例6-1】（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数近似为样本方差.
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求.（结果精确到0.001）
附：①；②若，则③
【例6-2】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店．
(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；
(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．）
(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望．
【例6-3】（24-25黑龙江哈尔滨）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为．
(1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率；
(2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
(3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，
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第七章 随机变量及其分布章末总结
知识点一 条件概率与全概率公式
（一）条件概率
1.定义：一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率.
2. 概率的乘法公式
对任意两个事件与，若，则
设，则
①；
②如果和互斥，那么 ；
③设和互为对立事件，则.
（二）全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有我们称它为全概率公式.
（三）贝叶斯公式：
设
知识点二 离散型随机变量
（一）离散型随机变量及其分布列
1. 随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量；随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量.
2 分布列
(1)概念:一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格
为随机变量的概率分布列，简称的分布列.
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质
(3)两点分布
如果随机变量的分布列为
则称服从两点分布，并称为成功概率.
(二）离散型随机变量的数字特征
1 离散随机变量的均值（数学期望）
一般地，随机变量的概率分布列为
则称 为的数学期望或均值，简称为期望.
它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平.
若 ，其中为常数，则也是变量，则 ，即
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 ，即若服从两点分布，则
4.离散型随机变量取值的方差和标准差
（1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为
则称
为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散.
一般地，
证明
知识点三 二项分布与超几何分布
（一） 二项分布
1.重伯努利试验
（1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性；
（2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验,
（3）重伯努利试验具有如下共同特征
第一：同一个伯努利试验重复做次；
第二：各次试验的结果相互独立；
2.二项分布
(1) 概念：一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率.随机变量的分布列如下
（2）二项分布的期望与方差
一般地,如果那么.
（二）超几何分布
1.概念：一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为：
其中.
如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布.
2. 超几何分布的期望
设随机变量服从超几何分布,则.
知识点四 正态分布
1 正态分布的概念
若连续型随机变量的概率密度函数为
其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为.
的图象称为正态曲线.
2 正态分布的期望与方差
若，则
3 正态曲线的性质
① 曲线在轴的上方，与轴不相交；
② 曲线关于直线对称；
③ 曲线在时达到峰值；
④ 曲线与轴之间的面积为；
⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近；
⑥ 曲线的形状由确定，
越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
4若，取值不超过的概率为区域的面积，而为区域的面积.
5 原则
假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地，
考点一 条件概率
【例1-1】（24-25江苏）有6名研究员进入A、B、C三个实验舱，则恰有4名研究员在A舱的条件下甲和乙在A舱的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设事件表示“恰有4名研究员在A舱”，事件表示“甲和乙在A舱”，
则，，
则.
故选：A.
【例1-2】（24-25江西）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，又，所以，
因为，所以，所以，
所以.
故选：D.
【例1-3】（2025·山东济南）第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则，
因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区，
则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区，
基本事件的总数为，
若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁，
此时，不同的参观情况种数为，
若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区，
此时，不同的参观情况种数为种，
因此，，
由条件概率公式可得.
故选：A.
【例1-4】（24-25高二上·江西上饶·期末）（多选）对于随机事件，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由，解得，故A正确；
由，则，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
考点二 全概率
【例2-1】（24-25山东潍坊）盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，
则，
所以.
故选：C.
【例2-2】（2025云南）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游，
则，，，
因为，即，解得，
又因为，即，解得，
因为，所以，
所以.
故选：D.
【例2-3】（24-25甘肃白银）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，解得.
故选：C.
【例2-4】（24-25高二上·上海·期末）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（ ）
甲 乙 丙 丁
甲 0.3 0.3 0.7
乙 0.7 0.6 0.3
丙 0.7 0.4 0.4
丁 0.3 0.7 0.6
A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25
【答案】B
【解析】设为甲赢乙的概率，为甲赢丙的概率，为甲赢丁的概率，
分别为丙赢丁和丁赢丙的概率，为甲夺冠的概率，
则.
故选：B.
考点三 离散型随机变量的分布列及均值、方差
【例3-1】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ）
X 0 1 2 3
P 0.2 0.1 0.1 0.6
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
【例3-2】（2025海南）已知随机变量的分布列如下表：
0 1
P a b c
其中成等差数列，则的值与公差d的取值范围分别是（ ）
A．； B．；
C．； D．；
【答案】A
【解析】由题意，因为成等差数列，所以，
又由，解得，
则，，，
根据分布列的性质，得，，
所以.
故选：A
【例3-3】（2025湖南）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.4 0.1 0.3
若随机变量，则等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
【例3-4】（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下：
1 2 3 4
0.1 0.4 0.3
则（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【解析】由题可得，解得．
由，可得或4，
则（或）．
故选：B
【例3-5】（23-24高二下·甘肃·期末）随机变量的概率分布列为，其中是常数，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．35
【答案】A
【解析】因为，所以，解得，
所以，
所以，
故．
故选：A．
【例3-6】（24-25云南楚雄）（多选）已知随机变量的分布列为
1 2 3
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】由，得，故A正确；
则故B正确；
因，故C正确；
因故D错误.
故选：ABC.
考点四 二项分布
【例4-1】（2024陕西）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得的白球数为X，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，知，所以，解得，
所以，所以．
故选：B
【例4-2】（24-25陕西西安）蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立．
(1)求顾客中奖的概率；
(2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为1
【解析】（1）顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”的概率为，
顾客取出的2个小球的字样组成“安康”的概率为，
顾客取出的2个小球的字样组成“和顺”的概率为，
综上，顾客中奖的概率为；
（2）设小明全家中奖的次数为，
则，，
，
，
，则的分布列为
0 1 2 3
所以．
【例4-3】（24-25高二上·陕西渭南·期末）设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7，0.6和0.5．
(1)若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率；
(2)若甲单独向目标射击三次，求命中次数X的分布列和均值．
【答案】(1)0.94
(2)分布列见解析，2.1
【解析】（1）设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，
由题知，，
,
若三人各向目标射击一次,
则至少有一人命中目标的概率．
（2）易知X的所有可能取值为0，1，2，3，
当时，三次射击都没命中，此时；
当时，三次射击中有一次命中，此时；
当时，三次射击中有两次命中，此时；
当时，三次射击都命中，此时，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
．
考点五 超几何分布
【例5-1】（24-25 甘肃定西 ）某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校名学生中随机抽取名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按、、、分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求出的值，并估计全校学生中运动时长超过分钟的人数；
(2)在上述选取的名学生中任意选取名学生，设为运动时长超过分钟的人数，求的分布列与期望；
(3)现将运动时长高于分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取名学生，求恰有名学生是“热爱运动者”的概率．
【答案】(1)，全校学生运动时长超过分钟的人数约为
(2)分布列见解析，
(3)
【解析】（1）由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为，
则．
全校学生运动时长超过分钟的人数约为．
（2）由图可知，运动时长超过分钟的人数为，
运动时长不超过分钟的人数为，
由题意可知的可能取值为、、，
则，，，
所以的分布列为
所以．
（3）运动时长超过分钟的人数为，
运动时长不超过分钟的人数为，
所以从样本中任意选取名学生，
恰有名学生是“热爱运动者”的概率．
【例5-2】（24-25河南南阳）高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
(1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率；
(2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人.
①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望；
②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)①分布列见解析，；②.
【解析】（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，则，
记事件所抽取的学生的总成绩超过分，则，
所以.
即任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为；
解法二：数学成绩超过分的有人，其中包含总成绩超过分以上的有人，
所以任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为
（2）①名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，
所以所有可能的取值为：、、、，
，，
，.
所以的分布列为：
.
②名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，
按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量，所以.
【例5-3】（24-25江苏扬州）已知给定两个集合，从两个集合中各随机取出两个元素合并成一个集合．
(1)若，求集合中恰有三个元素的概率；
(2)若，设集合中元素的个数为，求随机变量的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为.
【解析】（1）集合C恰有三个元素，即从集合A中取出的两个元素，与集合B中取出的两个元素，
恰有一个是相同的，另一个是不同的，所以其概率为：．
（2）X可取值为2，3，4．，，．
所以X的概率分布列为：
X 2 3 4
P
X的期望为．
考点六 正态分布
【例6-1】（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数近似为样本方差.
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求.（结果精确到0.001）
附：①；②若，则③
【答案】(1)，；
(2)①317户；②0.499.
【解析】（1）这2000户农户家庭年收入的样本平均数
；
这2000户农户家庭年收入的样本方差
.
（2）①由（1）知，，，农户家庭年收入近似服从正态分布，
所以，
而，
所以这2000户农户家庭年收入超过万元的户数约为317.
②年收入不超过万元的农户家庭数服从二项分布，
所以.
【例6-2】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店．
(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；
(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．）
(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望．
【答案】(1)平均数为13.0百元，中位数为13百元
(2)14
(3)分布列见解析，1
【解析】（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，，
的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，
∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为：
（百元）．
∵，，
∴中位数在内，设中位数为x百元，
则，解得．
∴估计中位数为13百元．
（2）由（1）知，
∵，，
∴，
∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为．
（3）由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个），“五星级”加盟店有（个），
∴Y的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，．
∴Y的概率分布列为
Y 0 1 2 3
P
∴．
【例6-3】（24-25黑龙江哈尔滨）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为．
(1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率；
(2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
(3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)6
【解析】（1）设事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”，
则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”，
事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级” ，
由全概率公式： ，
∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为
（2）的可能取值为0，1，2 ，
， ，，
∴的分布列为：
0 1 2
；
（3）， ，
，，
∴的数学期望约为6人.
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