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考点八 统计概率（选填题11种考向）
考向一 特征数
【例1-1】（2025·甘肃兰州·一模）（多选）在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成缆作为样本，这7名同学的成领分别为78，80，81，84，87，88，90，则（ ）
A．估计这次考试全班成绩的平均分为84
B．从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是
C．样本的分位数是87
D．当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差
【答案】ABD
【解析】对于A，样本的平均分为，
所以估计这次考试全班成绩的平均分为84，故A正确；
对于B，从样本中任取两人的成绩有种不同的取法，
从成绩大于平均的3名同学中任取2人有种不同的取法，
所以从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是，故B正确；
对于C，因为，所以样本的分位数是第6个数据，故C错误；
对于D，当该样本中加入84形成新样本时，新数据平均数不变，
由方差公式可知新样本方差小于原样本方差，故D正确.
故选：ABD.
【例1-2】（2025·福建泉州·一模）（多选）有一组样本数据1，2，3，4，5，现加入两个正整数，构成新样本数据，与原样本数据比较，下列说法正确的是（ ）
A．若平均数不变，则 B．若极差不变，则
C．若，则中位数不变 D．若，则方差不变
【答案】AC
【解析】若平均数不变，则，解得，故A正确；
当时，极差不变，但，故B错；
若，则为或或，每一种情况对应的中位数都是3，故C正确；
原数据的平均数为3，原数据的方差为，
新数据的平均数为3，新数据的方差为，当且仅当时等号成立，所以方差有可能改变，故D错.
故选：AC.
【例1-3】（2024·湖北荆州·模拟预测）（多选）随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，86，88，90，95，98，则下列说法正确的有（ ）
A．这组数据的极差为48
B．将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70
C．将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70
D．这组数据的第75百分位数是85
【答案】ABD
【解析】对于A，这组数据的极差为，故A正确；
对于B，原数据的平均数为：
，
将这组数据都减去70后得到的平均数为：
，
所以这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70，故B正确；
对于C，原数据的方差为：
，
将这组数据都减去70后得到的方差为：
所以将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相等，故C错误；
对于D，这组数据的上四分位数是第百分位数，即，
所以，则这组数据的上四分位数是85，故D正确；
故选：ABD.
【例1-4】（2025·安徽黄山·一模）（多选）某校对参加校庆活动的志愿者开展培训活动，培训活动结束后进行考核．为了解培训效果，从中抽取了80名志愿者的考核成绩，规定考核成绩在内的考核等级为优秀，这80名志愿者的考核成绩统计图表如下所示，则下列选项中正确的有（ ）
分组 频数 频率
2 0.050
13 0.325
18 0.450
a m
b 0.075
女志愿者考核成绩频率分布表
A．被抽取的男女志愿者人数均为40
B．，，
C．样本中考核等级为优秀的男女志愿者人数分别为6和7
D．样本中男志愿者考核成绩的第92百分位数为93
【答案】ABD
【解析】对于A，由女志愿者考核成绩频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为，
所以被抽取的男女志愿者人数均为40，故A正确；
对于B，由，得，则，所以，故B正确；
对于C，样本中考核等级为优秀的男志愿者人数为，
样本中考核等级为优秀的女志愿者人数为，故C错误；
对于D，样本中男志愿者考核成绩的第92百分位数为，故D正确.
故选：ABD.
【例1-5】（2025·广东佛山·二模）（多选）某次跳水比赛的计分规则如下：共有7个裁判打分，去掉一个最高分与一个最低分后，取剩余5个分数的平均值，比较前、后两组数据的数字特征，则（ ）
A．中位数不变 B．极差不变
C．平均数大小关系不确定 D．方差变小
【答案】AC
【解析】 对于A，去掉一个最高分与一个最低分后，中间的一个数不变，所以中位数不变，故A正确；
对于B，去掉一个最高分与一个最低分后，极差可能变小，也可能不变，故B错误；
对于C，去掉一个最高分与一个最低分后，平均数可能变大，也可能变小，也可能不变，比如数据1、9、9、9、9、9、10，前后前、后两组数据平均数变大；比如数据1、2、2、2、2、2、10，前后前、后两组数据平均数变小；故C正确；
对于D，如果数据都相同，去掉一个最高分与一个最低分后，方差不变.
故选：AC.
考向二 图表信息读取
【例2-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）（多选）2024年4月30日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）（）（与上月比较无变化），如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．从2023年4月到2024年4月制造业采购经理指数（PMI）呈下降趋势
B．从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为
C．从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数为
D．从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的分位数为
【答案】BD
【解析】对于A，制造业采购经理指数（PMI）有升有降，A错误；
对于B，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差
为，B正确；
对于C，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数为
，C错误；
对于D，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）,
从小到大的顺序为，
由，得第80百分位数为第6个数，为，D正确.
故选：BD
【例2-2】（2024·浙江杭州·三模）（多选）南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ）
A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵
B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加
C．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降
D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡
【答案】BCD
【解析】对于A选项，1854年4月至1855年3月,因为每个扇形白色部分面积远大于灰色部分的面积，
根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，可以得出由于疾病或其他原因而死的士兵远大于战场上因伤死亡的士兵；错误；
对于B选项，从右侧图像可以看出，冬季（12月至来年2月）相应的扇形面积，大于其他季节时扇形的面积，表明在冬季死亡人数相较其他季节显著增加，正确；
对于C选项，从左侧图像可以看出，1855年12月之后，每个扇形白色部分的面积较大幅度的在减少，表明因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降，正确；
对于D选项，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积、在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，
因此，可以推断出随着志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而使得因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，大幅度降低了不必要的死亡，正确,
故选：BCD.
【例2-3】（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）有关数据显示，年轻一代的父母更加重视亲子陪伴，以往“以孩子为中心”的观念正逐步向与孩子玩在一起、学在一起的方向转变．如图为2023年中国父母参与过的各类亲子活动人数在参与调查总人数中的占比，根据该图，下列说法正确的是（ ）
A．在参与调查的总人数中父母参与过的亲子活动最多的是亲子阅读
B．在参与调查的总人数中同时参与过亲子阅读与亲子运动会的父母不少于
C．图中各类亲子活动占比的中位数为
D．图中10类亲子活动占比的极差为
【答案】AB
【解析】对于A，亲子阅读阅读占比，为最大，A正确；
对于B，由于，B正确；
对于C，图中各类亲子活动占比的中位数为，C错误；
对于D，图中10类亲子活动占比的极差为，D错误.
故选：AB
【例2-4】（2024·全国·模拟预测）（多选）如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1～9月份的营业额（单位：亿元）、净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业额的增长率的统计图．已知2023年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长，则下列结论正确的是（ ）
A．年营业额逐年增加
B．2022年的净利润超过年净利润的总和
C．年营业额的增长率最大的是2022年
D．2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元
【答案】BC
【解析】选项A：2019年的营业额低于2018年，A错误．
选项B：2022年的净利润为166.2亿元，
年的净利润的总和为（亿元），，B正确．
选项C：年营业额的增长率最大的是2022年，C正确．
选项D：设2023年第一季度的净利润为亿元，则第四季度的净利润为，
则，得，
故2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多21.37亿元，D错误．故选：BC.
考向三 统计案例
【例3-1】（2024·四川）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
【答案】C
【解析】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；
根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；
样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低，
所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；
样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.
故选：C.
【例3-2】（23-24河南信阳·期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（ ）
A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关”
B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌
C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌
D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”
【答案】D
【解析】依已知数据，得有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”，
则选项D正确，其余都是错误的.
故选：D.
【例3-3】（2025·广东·一模）（多选）一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为、，分布如图所示，且，则（ ）
A． 样本负相关 B．
C． D．处理后的决定系数变大
【答案】ABD
【解析】由经验回归方程单调递减，可知样本负相关，故A正确；
由题意样本均值分别为，
由样本中心在经验回归直线上，代入回归直线解得，故B正确：
由图一的数据波动较大可得比更集中，所以，故C错误；
由图一的残差平方和较图二的残差平方和大可知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，故D正确．
故选：ABD
【例3-4】（2024·四川绵阳·模拟预测）（多选）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用（万元） 2 3 4 5 6
销售额（万元） 19 25 34 38 44
根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是 （ ）
A．回归直线必经过样本点
B．这组数据的样本中心点未必在回归直线上
C．回归系数的含义是广告费用每增加万元，销售额估计约增加万元
D．据此模型预报广告费用为万元时销售额为万元
【答案】CD
【解析】由题意：，.
即样本中心点为.
因为线性回归方程必过样本中心点，但不一定过样本点，故AB错误；
根据回归系数的含义可知，C正确；
由.预测：当时，，故D正确.
故选：CD
【例3-5】（2025·山东青岛·一模）（多选）为了研究与的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表），假设经验回归方程为，则（ ）
1 2 3 4 5
0.5 0.8 1 1.2 1.5
A．
B．当时的残差为
C．样本数据的％分位数为0.8
D．去掉样本点后，与的样本相关系数不变
【答案】ABD
【解析】由题，
所以，故A选项正确；
由A，当时，，
所以时的残差为，所以B选项正确；
因为，所以样本数据的％分位数为，C选项错误；
去掉样本点后，而，
由于，
所以去掉样本点后，与的样本相关系数不变，故D正确.
故选：ABD
考向四 排列组合
【例4-1】（2025·湖北·一模）（多选）有形状、质量完全相同的个不同白色小球，另有一个红色小球与每一个白色小球仅有颜色差异，将这个红色小球命名为“2025幸运星球”，将这个小球装在一个盒子里，并随机摇动放匀，则下列说法正确的是（ ）
A．从盒子里任取3个小球，“2025幸运星球”被选中的概率为；
B．从盒子里任取3个小球，记事件“2025幸运星球’被选中”；事件“取得的3个小球都是白色球”，则事件为对立事件；
C．当时，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，甲、乙、丙三个盒子里装有小球的个数分别记为x，y，z，则有序数组的个数为171；
D．当时，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，甲、乙、丙三个盒子里装有小球的个数分别记为x，y，z，则有序数组的个数为231；
【答案】ABC
【解析】依题意知：盒子中共有个小球，从中任取3球的取法总数为，
“2025幸运星球”被选中取法总数为，所以“2025幸运星球”被选中的概率为，故A正确；
事件“取得的3个小球都是白色球”，即取得的球中没有“2025幸运星球”，所以事件A，B为对立事件，故B正确；
依题意，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，
所以有序数组的个数等于不定方程的非负整数解个数，
相当于在17个小球摆成一排所形成的18个空位中放入两块隔板，
两块隔板可以占一个空位，也可以占两个空位，
故隔板方法总数为，故C正确，D错误；
故选：ABC.
【例4-2】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）（多选）带有编号、、、、的五个球，则（ ）
A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
【答案】AC
【解析】对于A：由分步计数原理，
五个球全部投入个不同的盒子里共有种放法，故A正确；
对于B：由排列数公式，
五个不同的球放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，故B错误；
对于C：将其中的个球投入一个盒子里（另一个球不投入）共有种放法，故C正确；
对于D：全部投入个不同的盒子里，没有空盒，
共有种不同的放法，故D错误．
故选：AC
【例4-3】（23-2 4黑龙江哈尔滨·期末）（多选）在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有种
B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种
【答案】CD
【解析】不同的安排方法共有种，故选项A错误；
若恰有一项工作无人去参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数，
则不同的安排方法共有种，故选项B错误；
若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，
此时先从丙、丁两人中，选人或人安排到项工作，然后再安排剩余的人到项工作，
则不同的安排方法共有种，故选项C正确；
学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班，
每个班至少一个名额，采用挡板法，有种方法；故选项D正确．
故选：CD
【例4-4】（23-24山东济宁·期中）（多选）已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A．若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法
B．若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法
C．若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法
D．若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法
【答案】AC
【解析】对于A：甲不能排在最后，则甲有种排法，剩下乙、丙、丁、戊4个人全排有种排法，
所以排队方法有种，故A正确；
对于B：甲乙2人不能排在最前，也不能排在最后，先安排甲乙，则共有种排法，再安排剩下的丙、丁、戊3人，共有种排法；则所有的排队方法有种，故B错误；
对于C：甲乙两人相邻，将甲和乙捆绑在一起，和剩余3人放在一起排队，
则共有种排队方法，故C正确；
对于D：甲乙两人不能相邻，则先安排其余丙、丁、戊3个人，有种排法，在形成的4个空中，再排甲乙，有种排队方法，故共有种排队方法，故D错误.故选：AC.
考向五 二项式定理
【例5-1】（2025·福建泉州·一模）已知的展开式中的系数为0，则的值为（ ）
A． B． C．640 D．1280
【答案】A
【解析】依题意，展开式中项为，其系数为，
展开式中项，其系数为，由展开式中的系数为0，得，
所以.
故选：A
【例5-2】（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．20
【答案】B
【解析】先求展开式中含，的项，
易知，显然其不含，
含的项分别为：，，
所以在的展开式中，
的系数为.
故选：B.
【例5-3】（2025·广东江门·一模）（多选）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ）
A．
B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C．展开式中的系数为
D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大
【答案】ACD
【解析】由，则其展开式的通项为，
对于A，根据题意可得，由组合数的性质可知，故A正确；
对于B，由，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误；
对于C，由解得，则展开式中的系数为，故C正确；
对于D，令，则展开式中各项系数之和，解得，
可得展开式的通项为，即每项系数均为该项的二项式系数，
易知展开式中第项为二项式的中间项，则其系数最大，故D正确.
故选：ACD.
【例5-4】（2025·江西赣州·一模）（多选）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由，
所以的展开式中最高次项为次项，即，故A正确；
的展开式中，的系数为，的系数为，
则，故B错误；
令，得，故C正确；
令，得，
所以，，故D 正确；
故选：ACD.
【例5-5】（24-25江苏无锡·期末）（多选）已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．除以8所得的余数为1 D．
【答案】BCD
【解析】根据题意可知，故，
故，
对于A，令，则，令，则，故，故A错误，
对于B，，
故为负值，为正，且令时，，
因此，B正确，
对于C, ,故除以8所得的余数为1，C正确，
对于D，对求导可得
，令可得，故D正确，
故选：BCD
考向六 正态分布
【例6-1】（2025·新疆·二模）（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ）
A．
B．
C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车
D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车
【答案】BD
【解析】由题意：，.
对A：因为，，所以，故A错误；
对B：因为，，所以，故B正确；
对C：因为，，所以，所以只有34分钟可用，小明应选择坐公交，故C错误；
对D：因为，，所以，所以只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D正确.
故选：BD
【例6-2】（2025·黑龙江·一模）（多选）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，由，得，
则，A正确；
对于B，由A知，在区间的概率为，，，
因此，B正确；
对于C，由B知，，因此，C错误；
对于D，，D错误.
故选：AB
【例6-3】（2025·江西·一模）（多选）比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数．某地区进行调研考试，共名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为，离散系数为，则下列说法正确是（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，，）
A．学生考试成绩标准差为
B．学生考试成绩近似服从正态分布
C．约有名学生的成绩低于分
D．全体学生成绩的第百分位数约为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，，则学生考试成绩标准差为，A对；
对于B选项，由正态分布可知学生考试成绩近似服从正态分布，B对；
对于C选项，因为，
则，
所以，绩低于分的学生人数约为，C错；
对于D选项，因为，
所以，全体学生成绩的第百分位数约为，D对.
故选：ABD.
考向七 独立事件与互斥事件
【例7-1】（2025·辽宁·模拟预测）（多选）甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（ ）
A．事件相互独立 B．事件相互独立
C．事件相互独立 D．事件相互独立
【答案】BCD
【解析】，两个单位招志愿者的不同选法种数为，
因为事件所包含的基本事件为（招甲、招丙），（招乙、招甲），（招乙、招丙），共3个，
所以，因为，所以为独立事件，故A项正确；
，同理得，故B项错误；
，同理得，故C项错误；
因为为对立事件，所以，故D项错误.
故选：BCD
【例7-2】（2025·江西·模拟预测）（多选）已知事件发生的概率分别为，则（ ）
A．若与互斥，则
B．若与相互独立，则
C．若与相互独立，则
D．若与相互独立，则
【答案】ACD
【解析】对于A，若与互斥，则，A正确；
对于B，若与相互独立，则，B错误；
对于C，若与相互独立，则与相互独立，则，C正确；
对于D，若与相互独立，则，D正确.
【例7-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）（多选）已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则
C．若与互斥，则 D．若，则
【答案】ACD
【解析】对于A，，故与相互独立，即A正确；
对于B，若与相互独立，则与也相互独立，
则
，故B错误；
对于C，若与互斥，则，
，故C正确；
对于D，由全概率公式可得，
所以，故D正确；故选：ACD.
考向八 条件概率与全概率
【例8-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设事件为这个人患流感，分别表示这个人来自A，B，C三个地区，
由已知可得，
又，
由全概率公式可得
.
故选：C.
【例8-2】（2024·四川德阳·模拟预测）公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，，
所以，
故选：C.
【例8-3】（2025·安徽马鞍山·一模）（多选）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由题意知，，
，，
，，
，
.
故选：.
【例8-4】（2025·福建厦门·二模）（多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】A.由题意得，，A错误.
B.由题意得，，
∴，B正确.
C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生，
∴，
∴，C正确.
D.，D正确.
故选：BCD.
【例8-5】（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（ ）
A．与B相互独立 B． C． D．
【答案】C
【解析】AC选项，由题意得，，
，，
，，
故，C正确；
由于，故，
故与B不互相独立，A错误；
B选项，由条件概率得，B错误；
D选项，，D错误；
故选：C
【例8-6】（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ．
【答案】
【解析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，
由题知，，，
又，
所以，
又，故答案为：.
考向九 概率的性质
【例9-1】（2025·江苏苏州·一模）（多选）表示三个随机事件，判断下列选项正确的是（ ）
A．已知是事件与事件相互独立的充要条件
B．已知，则
C．已知是事件与事件互斥的充要条件
D．已知，则
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，得到，
故事件与相互独立，即充分性成立；
若事件与相互独立，则，
于是，即必要性成立，故A正确；
对于B，因为，因表示事件发生而不发生的概率，
而则表示事件都不发生的概率，故B错误；
对于C，因为，
所以，又，故事件与互斥，即充分性成立；
若事件与互斥，则，，即必要性成立，故C正确；
对于D，因为，故D正确.
故选：ACD.
【例9-2】（2025·陕西宝鸡·二模）（多选）已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（ ）
A．若、相互独立，则
B．恒成立
C．若，则
D．若，则、相互独立
【答案】AC
【解析】对于A选项，若、相互独立，则，
由条件概率公式可得，A对；
对于B选项，抛掷一枚骰子，定义事件向上的点数为，事件向上的点数为奇数，
则，，此时，，B错；
对于C选项，若，则，
因此，，C对；
对于D选项，对任意的事件、恒成立，故、不一定独立，D错.
故选：AC.
【例9-3】（2025·福建漳州·一模）设A，B是两个随机事件，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若A与B互斥，则 D．若，则A与B相互独立
【答案】C
【解析】对于A选项，，若，则，不符合题意，故A选项不正确；
对于B选项，，若，
则，所以，即不符合题意.故B选项不正确；
对于C选项，因为A与B互斥，所以，又，，
所以，，所以，故，故C选项正确；
对于D选项，，不能说明成立，故D选项不正确.
故选：C.
考向十 概率与其他知识综合
【例10-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，求导得，
依题意，有两个不相等的实数根，则，解得，
由随机变量服从正态分布，且，
得，
所以函数有极值点的概率为0.4.
故选：C
【例10-2】（2025·广东江门·一模）在某平台开展闯关赢奖品活动中，用户每次进入新的一关都有一次抽奖机会．已知用户在第一关抽到奖品的概率为．从第二关开始，若前一关没抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为；若前一关抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为．记用户第关抽到奖品的概率为，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】依题意，，记用户第关抽到奖品为事件，当时，，
，，，
于是，则，
而，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
当为奇数时，，则；
当为偶数时，，数列是递减数列，，
所以的最大值为.
故答案为：
【例10-3】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知正项等比数列的公比不为1，若在的前20项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为 .（用最简分数作答）
【答案】
【解析】设正项等比数列的首项为，公比，则.
当公比为时，设选出来的四项为；
由，则，解得，
所以，此时有17种情况；
当公比为时，设选出来的四项为；
由，则，解得，
所以，此时有14种情况；
当公比为时，设选出来的四项为；
由，则，
解得，
所以，此时有种情况；
这是一个首项为，公差的等差数列，
那么按原来顺序仍然成等比数列的组合数的总和
在的前20项中随机抽取4项，共有种取法；
故这4项按原来的顺序仍然成为等比数列的概率为.
故答案为：
【例10-4】（2025·山东青岛·一模）有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到红球的概率是 ，从第个盒子中取到红球的概率是 .
【答案】
【解析】设事件表示“从第i个盒子中取到红球”（），则，，
所以，
则当时，
，
所以，又，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以．
故答案为：；．
考向十一 新定义
【例11-1】（2025·四川南充·二模）（多选）数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系.根据波利亚的思想，由恒等式（m，）左右两边展开式（其中，，）系数相同，可得恒等式，我们称之为范德蒙德恒等式，下列关于范德蒙德恒等式说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】根据范德蒙德恒等式，而不是.
例如时，左边，右边，此时，A错误.
对于，这里.
根据范德蒙德恒等式，此时，.
所以，B正确.
对于，这里.
由范德蒙德恒等式，，.
所以，C正确.
对于，可以看作（因为）.
这里，，根据范德蒙德恒等式，而.
所以，D正确.
故选：BCD.
【例11-2】（2025·贵州六盘水·一模）定义集合，比如：若，则．把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即已知集合，则（1）集合中的元素个数为 ；（2）若中的元素个数为56，则p的值为 ．
【答案】 5 9或33
【解析】（1）集合中的元素满足，且，列举满足条件的组合，共有5种，，即集合中有5个元素；
（2）中的元素满足，且，
当时，利用组合数公式，将问题转化为将个相同的小球放入6个不同的盒子中，每个盒子中球的个数分别是，
应用隔板法即有种分法，既有个元素，
已知中有56个元素，即 ，当 时，，因此；
当时，可以考虑先放置其中的11颗，在此基础上再放置其余的小球，一定多余的情况，不合题意；
因为当先保证每个盒子中放置1颗（共6颗）后，再放置其余的小球，与当时，先在每个盒子中均放置6颗小球后再从6个盒子中共取走相应的个数的小球的方法数一样，
所以当时，放置种数与颗球的情况相等，所以当也满足题意.
故答案为：5；9或33.
单选题
1．（2025·广东湛江·一模）一组数据1，3，7，9，的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为这组数据的平均数为，
所以这组数据的中位数只可能是m或7，
若这组数据的中位数是m，则，即，
若这组数据的中位数是7，则，即，
综上所述，m的取值范围为.
故选：B.
2．（2025·安徽六安·模拟预测）用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ）
A．48个 B．60个 C．72个 D．120个
【答案】B
【解析】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为，
若五位数的个位不为零，而个位仅有两种选择，万位有种选择，其情况数为，
所以五位数为偶数的情况数为.
故选：B
3．（2025·广东·模拟预测）2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，故.
故选：B.
4．（2025·江西赣州·一模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，
由题意可知，，，
所以，
故选：B
5．（2025·江西·一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，
所以平局的概率，
若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种，
所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，
各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为；
若平局2次，则最后1次不能是平局，
另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，
若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为，
所以.
故选：.
6．（2025·福建福州·模拟预测）春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，每个人进入学校时选择每个检测点的概率都相等，
则三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，共有种不同的结果，
若每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等，
则①每个检测点均为一男一女通过，共有
②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，
共有种不同的结果；种不同的结果；
③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果.
则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为.
故选：B.
7．（2025·宁夏银川·一模）下列说法正确的是（ ）
A．已知一组各不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的28个数据的分位数等于原来数据的分位数
B．已知具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点中心为，则
C．若随机变量服从正态分布，且，则
D．若事件满足，且，则事件独立
【答案】D
【解析】对于A，将原来30个数从小到大排列，，
则30个数的22%分位数为30个数中的第7个数，
去掉其中最大和最小两个数据后，，
故剩下的28个数据的22%分位数为28个数中的第7个数字，也是30个数中的第8个数，
故两者不相等，A错误，
对于B，将代入可得，故，B错误，
对于C，由于，则，故C错误，
对于D，，所以相互独立，因此也相互独立，D正确，
故选：D.
多选题
8．（2025·江苏苏州·一模）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．经验回归方程相对于样本点的残差为0.5
C．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
D．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4
【答案】AD
【解析】对于A，由，得，
所以，故A正确；
对于B，残差为，故B错误；
对于C，由题意，总体均值为，若两层样本容量为，
则，
当且仅当时，，故C错误；
对于D，加入数据5后，平均数，
则这5个数据的方差为，故D正确；
故选：AD．
9．（2025·安徽滁州·一模）下列说法中正确的是（ ）
A．一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小
B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第m百分位数为79
D．依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y之间是否有关联，经计算得，则可以认为“X与Y没有关联”
【答案】AC
【解析】一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，
根据方差公式，可知方差变小，故A正确；
两个变量的相关系数越小，则两者的线性相关程度越弱，故B错误;
除m外，剩余数据的极差为，因为所有数据的极差为40，且，
所以
把数据技从小到大题序排列，得：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，
由，所以这组数据的第m百分位数为第9个，为故C正确;
零假设为与Y相互独立，即X与Y没有关联，由，
可知依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，可以认为“X与Y有关联”，故D错误.
故选：AC.
10．（2025·湖南·模拟预测）若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．数据的30%分位数为5
C．数据的标准差为3
D．若，随机变量，则
【答案】ACD
【解析】对于A，令，则，故A正确，
对于B,
将其从小到大排列为，且，故30%分位数为第2个数1，B错误，
对于C，分别为，则平均数为，
故方差为，故标准差为3，C正确，
对于D， ，
故，故D正确，
故选：ACD
11．（2024·全国·模拟预测）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2
若离散型随机变量满足，则（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】AC
【解析】因为，所以，故A正确；
由得，即，
所以，故B错误；
又，
，故C正确；
因为，所以，，故D错误.
故选：AC.
12．（2025·陕西·模拟预测）下列结论中正确的有（ ）
A．若两个具有线性相关关系的变量，其相关性越强，则样本相关系数的值越接近1；
B．依据小概率的独立性检验推断两个分类变量与之间是否有有关联，经计算，可以推断两变量有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05
C．随机变量，若，，则
D．用拟合一组数据时，经代换后得到的回归直线方程为，则，
【答案】BCD
【解析】A. 若两个具有线性相关关系的变量，其相关性越强，则样本相关系数的绝对值越接近1，故A错误；
B. 依据独立性检验相关知识可知B正确；
C. 随机变量，则，
则，，
解得，故C正确；
D. 由得，又因，则，，得，故D正确.
故答案为：BCD.
13．（2025·湖北·二模）若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则
D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
【答案】BD
【解析】
由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大，
即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高，
则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线，
易知，故A错误；
由原则可知，故B正确；
根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：，
，建立方程，
整理可得，
则，故C错误；
易知，故D正确.
故选：BD
14．（2025·河北秦皇岛·一模）的展开式中（ ）
A．前三项系数之和为112
B．二项式系数最大的项是第3项
C．常数项为240
D．所有项的系数之和为1
【答案】ACD
【解析】的展开式的通项为，，
对于A，由通项可得，前三项系数之和为，故A正确；
对于B，因二项展开式有7项，故二项式系数最大的项是最中间项，即第4项，故B错误；
对于C，在通项中，使，解得，故常数项为，故C正确；
对于D，在中，令，即得所有项的系数之和为1，故D正确.
故选：ACD.
15．（2025·贵州毕节·二模）甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件“从甲盒子中取出的球是红球”，事件“从甲盒子中取出的球是白球”，事件“从乙盒子中取出的球是红球”.则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，为对立事件，故，故B错误；
对于C，，故，
故C错误；
对于D，
，
故D正确；
故选：AD.
16．（2025·山东淄博·一模）随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．是增函数
C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称
【答案】AD
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，当增大时，减少，
所以在上是减函数，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，若的图象关于点中心对称，则，
因为服从正态分布，所以关于对称，
所以，
则，故D正确.
故选：AD.
17．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）下列命题中正确的为（ ）
A．若随机变量服从二项分布，且，则
B．若，且，则的最大值为
C．若随机变量服从正态分布，且，则
D．若命题“”是假命题，则的取值范围为
【答案】BC
【解析】选项A，由期望的性质可知，解得，
因为随机变量服从二项分布，所以，解得，
所以，A说法错误；
选项B：因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，B说法正确；
选项C：因为随机变量服从正态分布，且，
所以，所以，C说法正确；
选项D：若命题“”是假命题，
则，
当时，解得，
当时，恒成立，满足题意；当时，不恒成立，不满足题意；
当则，解得，
综上的取值范围为，D说法错误；
故选：BC
18．（2025·福建福州·模拟预测）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制，5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ）
A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为
B．若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为
C．若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大
D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大
【答案】ACD
【解析】对A：采用3局2胜制，甲获胜分为第一二局胜，第一三局胜，第二三局胜三种情况，
最终甲获胜的概率为，故A正确；
对B：采用5局3胜制，甲以获胜，则甲前三局胜两局，第四局获胜，
故甲获胜的概率为，B错；
对C：因为，结合A项可知若采用3局2胜制，甲获胜的概率为，若采用5局3胜制，甲获胜的概率为，故C正确；
对D：因为，结合C项可知若采用5局3胜制，甲获胜的概率为，
甲获胜的条件下，比赛局数可取值为，
由条件概率公式可得：
故D正确.
故选：ACD.
19．（2025·安徽·一模）已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数据的方差为4
B．数据的平均数为17
C．数据的平均数为10，方差大于1
D．若数据的中位数为分位数为，则
【答案】AB
【解析】对于A：数据的方差为，A选项正确；
对于B：数据的平均数为，B选项正确；
对于C：数据的平均数为，
方差，C选项错误；
对于D：若取数据，平均数为10，方差为1，
则中位数为，因为，所以第5个数为分位数，
所以，D选项错误.
故选：AB.
20．（2025·山东·一模）设是一次随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B．相互独立
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，由于与是互斥事件，则 ，故A正确；
对于B，已知，可得.
设，则，.
由A项可知，即.
解得，由，可得相互独立，故B正确；
对于C，根据德摩根定律，再由对立事件概率公式，由B项可知，
所以，故C错误；
对于D，根据，，，则；
又，，，则.
则，故D错误.
故答案为：AB
填空题
21．（2025·宁夏石嘴山·一模）随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为 ．
【答案】9
【解析】由题设，则，
所以，
当且仅当时取等号，则的最小值为9.
故答案为：9
22．（2025·广东深圳·一模）学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为 ．
【答案】
【解析】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数：
先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法，再从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判以及第四裁判，注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有种选法，故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为，
第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数：
先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法；再从名男生中选出一名担任第四裁判，有种选法；最后从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判，有种选法，故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为，
因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为，
故答案为：
23．（2025·四川成都·二模）成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 种.
【答案】88
【解析】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况：
①甲，乙有且只有1人在主会场，需要在除甲，乙外的四人中选两人去主会场，
剩下的三人去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案；
②甲，乙都不在主会场，从甲，乙外的四人中选三人去主会场，
再将甲，乙安排去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人去一个分会场，
剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案.
根据分类加法计数原理，共有（种）不同的安排方案.
故答案为：88.
24（2025·江西萍乡·一模）现有两个抽奖箱M，N，其中M中装有3个红球和2个白球，N中装有4个红球和3个白球.每次抽奖时，先从两个箱子中随机选取一个，然后再从选中的箱子中随机抽取一个球，则抽到红球的概率为 .
【答案】
【解析】设事件C＝“抽到红球”，事件A＝“选到抽奖箱M”，
事件为“选到抽奖箱N”，，则，，
根据全概率公式，得.
故答案为：.
25．（24-25高三上·江苏·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之和为偶数，记满足条件的取法种数为；从0，1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之和为奇数，记满足条件的取法种数为.若从个取法和个取法各随机选一种，这两种取法的数字完全不同的概率是 .
【答案】/0.5
【解析】从中任取3个不同的数，要满足三个数之和为偶数，
第一类：取两个奇数和一个偶数，共有；
第二类：取三个偶数，共有；
所以满足三个数之和为偶数的取法种数有种，即；
从中任取2个不同的数，且这两个数之和为奇数，
则取一个奇数和一个偶数，即种，所以；
若从中任取一个奇数和0时，则从中任取3个数之和为偶数，且与前面取的数不重复，则共有；
若从中任取一个奇数和非0偶数时，则从中任取3个数之和为偶数，且与前面取的数不重复，则共有；
所以这两种取法数字完全不同的概率为
故答案为：.
26．（2025·广东汕头·一模）在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析：
（1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示；
（2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625；
（3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为；
经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是 ．（填“甲”或“乙”或“丙”）
【答案】丙
【解析】甲的残差图中，模型①的残差点更均匀地分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，且水平带状区域更窄，说明模型①拟合效果更好；
残差平方和越大，即决定系数越小，说明数据点越离散，
所以乙的计算结果显示模型①的拟合效果更好，而丙的计算结果显示模型②的拟合效果更好．
故答案为：丙.
27（2025·陕西西安·一模）近年来，西安因为影视剧而变为网红城市，长安十二时辰主题街区成为西安一张靓丽的名片，根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息，望楼传递信息的方式如下：如图所示，信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有 种不同的颜色组合来传递不同的信息.若要求最多出现3个黑色格子，那么一共可以传递 种不同的信息.
【答案】 512 130
【解析】信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有种不同颜色组合来传递不同的信息；
若一个黑色格子也没出现，可以传递1种信息；
若出现1个黑色格子，可以传递9种不同信息；
若出现2个黑色格子，可以传递种不同信息；
若出现3个黑色格子，可以传递种不同信息；
所以若最多出现3个黑色格子，可以传递种不同信息.
故答案为：512；130.
28．（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 .
【答案】
【解析】
的展开式的通项公式为，，
令可得（舍去），所以的展开式中不存在常数项，
的展开式的通项公式为，，
令可得，所以的展开式中常数项为，
的展开式的通项公式为，，
令可得，所以的展开式中不存在常数项，
的展开式的通项公式为，，
令可得，所以的展开式中的常数项为，
又的展开式中没有常数项，
所以的展开式的常数项为
故答案为:
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考点八 统计概率（选填题11种考向）
考向一 特征数
【例1-1】（2025·甘肃兰州·一模）（多选）在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成缆作为样本，这7名同学的成领分别为78，80，81，84，87，88，90，则（ ）
A．估计这次考试全班成绩的平均分为84
B．从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是
C．样本的分位数是87
D．当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差
【例1-2】（2025·福建泉州·一模）（多选）有一组样本数据1，2，3，4，5，现加入两个正整数，构成新样本数据，与原样本数据比较，下列说法正确的是（ ）
A．若平均数不变，则 B．若极差不变，则
C．若，则中位数不变 D．若，则方差不变
【例1-3】（2024·湖北荆州·模拟预测）（多选）随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，86，88，90，95，98，则下列说法正确的有（ ）
A．这组数据的极差为48
B．将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70
C．将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70
D．这组数据的第75百分位数是85
【例1-4】（2025·安徽黄山·一模）（多选）某校对参加校庆活动的志愿者开展培训活动，培训活动结束后进行考核．为了解培训效果，从中抽取了80名志愿者的考核成绩，规定考核成绩在内的考核等级为优秀，这80名志愿者的考核成绩统计图表如下所示，则下列选项中正确的有（ ）
分组 频数 频率
2 0.050
13 0.325
18 0.450
a m
b 0.075
女志愿者考核成绩频率分布表
A．被抽取的男女志愿者人数均为40
B．，，
C．样本中考核等级为优秀的男女志愿者人数分别为6和7
D．样本中男志愿者考核成绩的第92百分位数为93
【例1-5】（2025·广东佛山·二模）（多选）某次跳水比赛的计分规则如下：共有7个裁判打分，去掉一个最高分与一个最低分后，取剩余5个分数的平均值，比较前、后两组数据的数字特征，则（ ）
A．中位数不变 B．极差不变
C．平均数大小关系不确定 D．方差变小
考向二 图表信息读取
【例2-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）（多选）2024年4月30日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）（）（与上月比较无变化），如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．从2023年4月到2024年4月制造业采购经理指数（PMI）呈下降趋势
B．从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为
C．从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数为
D．从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的分位数为
【例2-2】（2024·浙江杭州·三模）（多选）南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ）
A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵
B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加
C．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降
D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡
【例2-3】（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）有关数据显示，年轻一代的父母更加重视亲子陪伴，以往“以孩子为中心”的观念正逐步向与孩子玩在一起、学在一起的方向转变．如图为2023年中国父母参与过的各类亲子活动人数在参与调查总人数中的占比，根据该图，下列说法正确的是（ ）
A．在参与调查的总人数中父母参与过的亲子活动最多的是亲子阅读
B．在参与调查的总人数中同时参与过亲子阅读与亲子运动会的父母不少于
C．图中各类亲子活动占比的中位数为
D．图中10类亲子活动占比的极差为
【例2-4】（2024·全国·模拟预测）（多选）如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1～9月份的营业额（单位：亿元）、净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业额的增长率的统计图．已知2023年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长，则下列结论正确的是（ ）
A．年营业额逐年增加
B．2022年的净利润超过年净利润的总和
C．年营业额的增长率最大的是2022年
D．2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元
考向三 统计案例
【例3-1】（2024·四川）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
【例3-2】（23-24河南信阳·期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（ ）
A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关”
B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌
C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌
D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”
【例3-3】（2025·广东·一模）（多选）一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为、，分布如图所示，且，则（ ）
A． 样本负相关 B．
C． D．处理后的决定系数变大
【例3-4】（2024·四川绵阳·模拟预测）（多选）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用（万元） 2 3 4 5 6
销售额（万元） 19 25 34 38 44
根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是 （ ）
A．回归直线必经过样本点
B．这组数据的样本中心点未必在回归直线上
C．回归系数的含义是广告费用每增加万元，销售额估计约增加万元
D．据此模型预报广告费用为万元时销售额为万元
【例3-5】（2025·山东青岛·一模）（多选）为了研究与的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表），假设经验回归方程为，则（ ）
1 2 3 4 5
0.5 0.8 1 1.2 1.5
A．
B．当时的残差为
C．样本数据的％分位数为0.8
D．去掉样本点后，与的样本相关系数不变
考向四 排列组合
【例4-1】（2025·湖北·一模）（多选）有形状、质量完全相同的个不同白色小球，另有一个红色小球与每一个白色小球仅有颜色差异，将这个红色小球命名为“2025幸运星球”，将这个小球装在一个盒子里，并随机摇动放匀，则下列说法正确的是（ ）
A．从盒子里任取3个小球，“2025幸运星球”被选中的概率为；
B．从盒子里任取3个小球，记事件“2025幸运星球’被选中”；事件“取得的3个小球都是白色球”，则事件为对立事件；
C．当时，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，甲、乙、丙三个盒子里装有小球的个数分别记为x，y，z，则有序数组的个数为171；
D．当时，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，甲、乙、丙三个盒子里装有小球的个数分别记为x，y，z，则有序数组的个数为231；
【例4-2】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）（多选）带有编号、、、、的五个球，则（ ）
A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
【例4-3】（23-2 4黑龙江哈尔滨·期末）（多选）在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有种
B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种
【例4-4】（23-24山东济宁·期中）（多选）已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A．若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法
B．若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法
C．若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法
D．若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法
考向五 二项式定理
【例5-1】（2025·福建泉州·一模）已知的展开式中的系数为0，则的值为（ ）
A． B． C．640 D．1280
【例5-2】（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．20
【例5-3】（2025·广东江门·一模）（多选）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ）
A．
B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C．展开式中的系数为
D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大
【例5-4】（2025·江西赣州·一模）（多选）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例5-5】（24-25江苏无锡·期末）（多选）已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．除以8所得的余数为1 D．
考向六 正态分布
【例6-1】（2025·新疆·二模）（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ）
A．
B．
C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车
D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车
【例6-2】（2025·黑龙江·一模）（多选）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【例6-3】（2025·江西·一模）（多选）比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数．某地区进行调研考试，共名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为，离散系数为，则下列说法正确是（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，，）
A．学生考试成绩标准差为
B．学生考试成绩近似服从正态分布
C．约有名学生的成绩低于分
D．全体学生成绩的第百分位数约为
考向七 独立事件与互斥事件
【例7-1】（2025·辽宁·模拟预测）（多选）甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（ ）
A．事件相互独立 B．事件相互独立
C．事件相互独立 D．事件相互独立
【例7-2】（2025·江西·模拟预测）（多选）已知事件发生的概率分别为，则（ ）
A．若与互斥，则
B．若与相互独立，则
C．若与相互独立，则
D．若与相互独立，则
【例7-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）（多选）已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则
C．若与互斥，则 D．若，则
考向八 条件概率与全概率
【例8-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】（2024·四川德阳·模拟预测）公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（ ）
A． B． C． D．
【例8-3】（2025·安徽马鞍山·一模）（多选）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（ ）
A． B．
C． D．
【例8-4】（2025·福建厦门·二模）（多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ）
A． B． C． D．
【例8-5】（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（ ）
A．与B相互独立 B． C． D．
【例8-6】（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ．
考向九 概率的性质
【例9-1】（2025·江苏苏州·一模）（多选）表示三个随机事件，判断下列选项正确的是（ ）
A．已知是事件与事件相互独立的充要条件
B．已知，则
C．已知是事件与事件互斥的充要条件
D．已知，则
【例9-2】（2025·陕西宝鸡·二模）（多选）已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（ ）
A．若、相互独立，则
B．恒成立
C．若，则
D．若，则、相互独立
【例9-3】（2025·福建漳州·一模）设A，B是两个随机事件，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若A与B互斥，则 D．若，则A与B相互独立
考向十 概率与其他知识综合
【例10-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【例10-2】（2025·广东江门·一模）在某平台开展闯关赢奖品活动中，用户每次进入新的一关都有一次抽奖机会．已知用户在第一关抽到奖品的概率为．从第二关开始，若前一关没抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为；若前一关抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为．记用户第关抽到奖品的概率为，则的最大值为 ．
【例10-3】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知正项等比数列的公比不为1，若在的前20项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为 .（用最简分数作答）
【例10-4】（2025·山东青岛·一模）有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到红球的概率是 ，从第个盒子中取到红球的概率是 .
考向十一 新定义
【例11-1】（2025·四川南充·二模）（多选）数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系.根据波利亚的思想，由恒等式（m，）左右两边展开式（其中，，）系数相同，可得恒等式，我们称之为范德蒙德恒等式，下列关于范德蒙德恒等式说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例11-2】（2025·贵州六盘水·一模）定义集合，比如：若，则．把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即已知集合，则（1）集合中的元素个数为 ；（2）若中的元素个数为56，则p的值为 ．
单选题
1．（2025·广东湛江·一模）一组数据1，3，7，9，的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·安徽六安·模拟预测）用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ）
A．48个 B．60个 C．72个 D．120个
3．（2025·广东·模拟预测）2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江西赣州·一模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江西·一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·福建福州·模拟预测）春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·宁夏银川·一模）下列说法正确的是（ ）
A．已知一组各不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的28个数据的分位数等于原来数据的分位数
B．已知具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点中心为，则
C．若随机变量服从正态分布，且，则
D．若事件满足，且，则事件独立
多选题
8．（2025·江苏苏州·一模）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．经验回归方程相对于样本点的残差为0.5
C．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
D．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4
9．（2025·安徽滁州·一模）下列说法中正确的是（ ）
A．一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小
B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第m百分位数为79
D．依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y之间是否有关联，经计算得，则可以认为“X与Y没有关联”
10．（2025·湖南·模拟预测）若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．数据的30%分位数为5
C．数据的标准差为3
D．若，随机变量，则
11．（2024·全国·模拟预测）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2
若离散型随机变量满足，则（ ）
A． B．
C．， D．，
12．（2025·陕西·模拟预测）下列结论中正确的有（ ）
A．若两个具有线性相关关系的变量，其相关性越强，则样本相关系数的值越接近1；
B．依据小概率的独立性检验推断两个分类变量与之间是否有有关联，经计算，可以推断两变量有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05
C．随机变量，若，，则
D．用拟合一组数据时，经代换后得到的回归直线方程为，则，
13．（2025·湖北·二模）若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则
D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
14．（2025·河北秦皇岛·一模）的展开式中（ ）
A．前三项系数之和为112
B．二项式系数最大的项是第3项
C．常数项为240
D．所有项的系数之和为1
15．（2025·贵州毕节·二模）甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件“从甲盒子中取出的球是红球”，事件“从甲盒子中取出的球是白球”，事件“从乙盒子中取出的球是红球”.则（ ）
A． B．
C． D．
16．（2025·山东淄博·一模）随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．是增函数
C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称
17．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）下列命题中正确的为（ ）
A．若随机变量服从二项分布，且，则
B．若，且，则的最大值为
C．若随机变量服从正态分布，且，则
D．若命题“”是假命题，则的取值范围为
18．（2025·福建福州·模拟预测）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制，5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ）
A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为
B．若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为
C．若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大
D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大
19．（2025·安徽·一模）已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数据的方差为4
B．数据的平均数为17
C．数据的平均数为10，方差大于1
D．若数据的中位数为分位数为，则
20．（2025·山东·一模）设是一次随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B．相互独立
C． D．
填空题
21．（2025·宁夏石嘴山·一模）随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为 ．
22．（2025·广东深圳·一模）学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为 ．
23．（2025·四川成都·二模）成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 种.
24（2025·江西萍乡·一模）现有两个抽奖箱M，N，其中M中装有3个红球和2个白球，N中装有4个红球和3个白球.每次抽奖时，先从两个箱子中随机选取一个，然后再从选中的箱子中随机抽取一个球，则抽到红球的概率为 .
25．（24-25高三上·江苏·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之和为偶数，记满足条件的取法种数为；从0，1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之和为奇数，记满足条件的取法种数为.若从个取法和个取法各随机选一种，这两种取法的数字完全不同的概率是 .
26．（2025·广东汕头·一模）在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析：
（1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示；
（2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625；
（3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为；
经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是 ．（填“甲”或“乙”或“丙”）
27（2025·陕西西安·一模）近年来，西安因为影视剧而变为网红城市，长安十二时辰主题街区成为西安一张靓丽的名片，根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息，望楼传递信息的方式如下：如图所示，信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有 种不同的颜色组合来传递不同的信息.若要求最多出现3个黑色格子，那么一共可以传递 种不同的信息.
28．（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 .
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