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实数及其简单运算（第3课时）
数学人教版(2024)七年级下册
实数
有理数
无理数
实数的相关概念
实数与数轴
实数的运算
1．实数的分类
（1）实数在分类时应将原数化简，然后进行分类；
（2）有理数包括整数和分数；
（3）无限不循环小数是无理数．
2．实数的性质
相反数、绝对值、倒数的运算及运算律同有理数一样．
例1　 下列说法正确的是（　　）．
A． 是有理数 B． 是有理数
C． 是无理数 D． 是分数
　　解析： ， 虽然都含有分母，但分子 π， 是无理数，
所以 与 也是无理数，所以选项 A，B 错误； ＝10，10 是有理数，所以选项 C 错误； ＝ ， 是分数，所以选项 D 正确．
D
　　掌握无理数的概念是进行判断的关键，要注意带根号的数不一定都是无理数，含分母的数也不一定都是有理数．
归纳
常见的三种无理数
（1）经过化简后，仍然含有 π 的数；
（2）含有根号，且开方开不尽的数；
（3）无限不循环小数．
　　分析：根据无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数以及小于零的数是负数得到答案．
　　例2　在实数 0， ，－3.14， （每两个 9
之间的 0 的个数依次增加 1）， ， 中，无理数有 个，有理数有 个，负数有 个．
　　例2　在实数 0， ，－3.14， （每两个 9
之间的 0 的个数依次增加 1）， ， 中，无理数有 个，有理数有 个，负数有 个．
　　解析： ，－0.909 009 000 9…， 是无理数，共 3 个；
　　0，－3.14， 是有理数，共 3 个；
　　－3.14，－0.909 009 000 9…， 是负数，共 3 个．
3
3
3
　　掌握好实数的分类以及无理数、有理数包括的几种类型，是解决此类题的关键．在分类时要明确分类标准，保证不重不漏．
归纳
　　分析：遇到两数互为相反数，就要想到两数之和为0；遇到两数互为倒数，就要想到两数之积为 1；遇到绝对值是一个正数，就要想到原数可能有两个．根据互为相反数、互为倒数和绝对值的意义，求出 a＋b，cd 及 m 的取值．
　　例3　若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值为2，求 的值．
　　解：由 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值是 2，得
a＋b＝0，cd＝1，m＝±2．
　　所以
　　＝0＋4－|1－ |＝4－ ＋1＝5－ ．
　　例3　若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值为2，求 的值．
　　（1）此类问题中 a，b，c，d 的值不确定，需要运用整体思想求 a＋b，cd 的值．
　　（2）在化简|m|时，需要注意 m 的符号．
　　3．实数与数轴——数轴的三大作用
　　（1）根据点在数轴上的位置判断其所表示的实数的符号，在原点的左侧为负数，在原点的右侧为正数；
　　（2）根据点在数轴上的位置判断其所表示的实数的绝对值的大小，离原点远的绝对值大，离原点近的绝对值小；
　　（3）根据点在数轴上的位置比较其所表示的实数的大小，数轴上右边的点表示的实数总大于左边的点表示的实数．
　　例4　如图，M，N 两点在数轴上表示的数分别是 m，n，则化简式子|m＋n|－m 的结果是________．
　　解析：由数轴可知，m＜0，n＞0，|m|＜|n|，所以 m＋n＞0，所以|m＋n|－m＝m＋n－m＝n．
n
　　实数与数轴上的点是一一对应的，它体现了数形结合的思想．利用实数在数轴上所对应的点的位置可以判断出实数或相关式子的值的正负，进而去掉绝对值符号或二次根号，使实数大小的比较更具有直观性．
归纳
　例5　若将三个数 表示在数轴上，则其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．
　　解析：可以看到覆盖的数大致范围在 1 和 3 之间，很明显 不在此范围内，而 　　　　 即　　　　　
所以能被墨迹覆盖的数是　 ．
利用数轴比较实数大小的方法
　　先由表示实数 a 的点在数轴上的位置判断出 a 的取值范围，再根据各数的特征或采用特殊值法比较出几个数的大小．
归纳
　　例6　如图，在正方形 ODBC 中，OB＝ ，OA＝OB，
则数轴上点 A 表示的数是__________．
　　解析：因为OA＝OB，所以OA＝OB＝ ．因为点 A 在数轴上原点的左边，所以点 A 表示的数是－　 ．
　　4．实数的运算
　　有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序．实数有加、减、乘、除、乘方、开方等运算，混合运算的顺序是先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号要先算括号内的．
　　例7　已知表示实数 a，b，c 的点在数轴上的位置如图．化简：|a＋b|－|b＋c|＋|b－c|－|b|．
　　分析：解决此类问题的首要任务是根据数轴判断实数 a，b，c 的取值范围及其绝对值的大小关系，然后据此判断绝对值中的多项式的符号．由表示实数 a，b，c 的点在数轴上的位置可知，a＋b＜0，b＋c＞0，b－c＜0，b＜0，据此化简即可．
　　解：根据表示实数 a，b，c 的点在数轴上的位置，得
a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|＞|b|，所以 a＋b＜0，b＋c＞0，b－c＜0．
　　所以|a＋b|－|b＋c|＋|b－c|－|b|
　　＝－(a＋b)－(b＋c)－(b－c)＋b
　　＝－a－b－b－c－b＋c＋b＝－a－2b．
　　例7　已知表示实数 a，b，c 的点在数轴上的位置如图．化简：|a＋b|－|b＋c|＋|b－c|－|b|．
　　
　　如果绝对值符号里面是个多项式，那么去绝对值符号后一般要加上括号，否则在变号时容易出错．
　　例8　现有一面积为 150 m2 的正方形鱼池，为了增加养鱼量，如果把鱼池的边长增加 6 m，那么扩建后鱼池的面积为多少平方米（精确到 0.1 m2）？
　　解：因为原正方形鱼池的面积为150 m2，根据面积公式，它的边长为 ≈12.25(m)．
　　由题意可得，扩建后的正方形鱼池的边长约为
12.25＋6＝18.25(m)，
　　所以扩建后鱼池的面积约为18.252≈333.1(m2)．
　　答：扩建后鱼池的面积约为 333.1 m2．
　　
　　实际问题中的实数运算，可以利用计算器进行，当问题中要求近似值时，在计算过程中要注意对结果精确度的要求．
例9　计算下列各式的值(精确到 0.01)：
（1） ；
解：（1）原式
例9　计算下列各式的值(精确到 0.01)：
（2） ；
解：（2）原式
例9　计算下列各式的值(精确到 0.01)：
（3） ．
解：（3）原式
　　在进行实数的混合运算时，首先要观察算式的特点，选择合适的方法进行计算．注意运算顺序和运算符号．
实数
实数的相关概念
实数与数轴
实数的运算
有理数、无理数
相反数、绝对值
实数的大小比较

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