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[专题集训13]专题十三 与圆的切线有关的问题
一、选择题
1.如图,PA 是⊙O 的切线,切点为 A,OP =4,∠APO=30°,则⊙O的半径长为 ( )
A.1 B. C.2 D.3
2.如图，边长为2 的等边三角形 ABC 的内切圆的半径为 ( )
A.1 B.
C.2 D.2
3.如图,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,D 是 BC 边上一点，以BD为直径的半圆与边AC 相切于点E.若AB=3,BC=4,则 BD的长度是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在等腰三角形ABC中,AC=BC=2,D是AB 边上一点，以AD为直径的⊙O恰好与BC 相切于点C，则 BD的长为 ( )
A.1
C.2
5.如图,在圆O中过O 作OC⊥AB于C,连结AO并延长，交过 B 点的圆O 的切线于点 D.若AB=8,BD=12,OC=3,则AD= ( )
A.15 B.18
C.20 D.22
6.[2024·嘉兴模拟] 如图,以矩形 ABCD的对角线BD上的一点O 为圆心作⊙O，⊙O过A 点并与CD 相切于点 E,若CD=3,BC=5,则⊙O的半径为 ( )
A. B.3 D.
7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以点C为圆心作⊙C与直线BD 相切，点 P 是⊙C 上的一个动点，连结AP交BD 于点T，则 的最大值是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.2
8.如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限内，⊙P 与x 轴、y轴都相切,且经过矩形 AOBC 的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P 的半径为5，点A的坐标是(0，8)，则点 D 的坐标是 ( )
A.(9,2) B.(9,3)
C.(10,2) D.(10,3)
二、填空题
9.如图,已知∠AOB=30°,M 为OB 边上任意一点,以 M为圆心、3c m 为半径作⊙M.当OM= cm时,OA 与⊙M 相切.
10.如图,在△ABC中,BA,BC分别为⊙O的切线,点 E 和点C 为切点，线段 AC经过圆心O且与⊙O相交于D，C两点，若 则BO 的长为 .
11.木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠圆O于点A，并使较长边与圆O相切于点C，记角尺的直角顶点为B,量得AB=18cm,BC=24 cm,则圆O的半径是 cm.
12.如图,以△ABC的边AB 为直径的⊙O 恰好过BC 的中点 D,过点 D 作 DE⊥AC 于 E,连结OD,DA,给出以下结论:①OD∥AC;②∠B=∠C;③2OA = AC;④ DE 是 ⊙O 的切线;⑤∠EDA=∠B.其中,正确结论的序号是
13.[2024·南昌模拟] 如图,已知在△ABC中,∠C=60°,⊙O 是△ABC 的外接圆,过点 A,B分别作⊙O 的切线，两切线交于点 P，若⊙O的半径为1，则△PAB的周长为 .
三、解答题
14.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC为⊙O的直径，D为 的中点,过点 D 作DE∥AC,交BC的延长线于点E.
(1)判断 DE与⊙O的位置关系，并说明理由.
(2)若⊙O的半径为7,AB=10,求CE的长.
15.如图，O为线段PB 上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交 PB 于点A,点 C在⊙O上,连结 PC,满足
(1)求证:PC是⊙O的切线.
(2)若AB=3PA,求 的值.
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1. C 2. A 3. C 4. B 5. B 6. A 7. B 8. A 9.6 10.3 11.25 12.①②③④⑤ 13.3
14.解:(1)DE与⊙O相切,理由:如图,连结OD,∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=90°.
∵D为AC的中点,
∴AD=CD,∴∠ACD=45°.
∵O是AC 的中点,∴∠ODC=45°.
∵DE∥AC,∴∠CDE=∠DCA=45°,
∴∠ODE=90°,∴DE与⊙O相切.
(2)∵⊙O的半径为7,∴AC=14,∴AD=CD=7
∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠BAD=∠DCE.∵∠ABD=∠CDE=45°,
15.解:(1)证明:如图,连结OC,
∵∠P=∠P,∴△PAC∽△PCB,
∴∠PCA=∠B.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠B=90°.
∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA,
∴∠PCA+∠OCA=∠B+∠CAB=90°,∴OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切线.
(2)∵AB=3PA,∴PB=4PA,OA=OC= AB=1.5PA,PO=OA+PA=2.5PA,∵OC⊥PC,

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