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[专题集训14]专题十四 几何图形中的折叠问题
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一、选择题
1.如图，把等边三角形 ABC沿着DE 折叠，使点 A恰好落在BC 边上的点 P 处,且 DP⊥BC,若 BP=2cm ,则 PC= ( )
C.4 cm D.6 cm
2.如图,在长方形纸片ABCD中,AB=3,AD=5,折叠纸片，使点 A 落在BC 边上的A′处，折痕为PQ,当点 A'在BC 边上移动时,折痕的端点 P,Q也随之移动，若限定 P，Q分别在AB，AD边上移动，则A'B的最小值和最大值分别为 ( )
A.1 和 3 B.1 和 4C.2 和 3 D.2 和4
3.如图，有一张直角三角形纸片 ABC，两直角边AC=4cm,BC=8cm,将△ABC折叠,点 B 与点A 重合,折痕为 DE,则 DE的长为 ( )
B. C. D.5
4.如图所示,在长方形ABCD中,AD=6,AB=10,若将长方形 ABCD 沿DE 折叠,使点 C落在AB边上的点 F 处，则线段CE 的长为 ( )
A. B. 30 C. D.
5.如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC=45°,把△ABC沿直线 AD 折叠,使点 C 落在点 C 处,连结 BC ,若. ,则 BC 的长为 ( )
A.16
D.6
6.如图，将半径为4 cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则 的长为 ( )
D.2πcm
7.[2024·舟山模拟] 如图,将矩形ABCD沿直线DE 折叠,顶点 A 落在BC 边上的点 F 处,若 BE=3,CD=8,则 BF的长为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
8.如图，将三角形纸片ABC沿AD 折叠，使点 C落在BD 边上的点 E 处.若∠C=45°,∠B=30°,AD=2,则 的值是 ( )
A.8 B.12 C.16 D.24
9.如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点 A 的直线将纸片折叠，使点 B落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点 C 与点 D 重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
10.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,点 D 在 AB 上,连结 CD,将△ADC 沿CD 折叠,点 A 的对称点为E,CE 交AB 于点F,△DEF 为直角三角形,则CF= .
11.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边CO,OA 分别在x 轴、y轴上,点 E 在边 BC 上,将该长方形沿AE折叠，点B 恰好落在边OC 上的点 F处.若A(0,8),CF=4,则点 E 的坐标是
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12.如图,在△ABC 中,AB=10 cm,AC=6 cm,BC=8cm,E是BC边上的一点,连结AE,若将△ABC沿AE 折叠,使得点 C 与AB 上的点 D重合,则△AEB的面积为 cm .
13.[2024·徐州模拟] 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=4,BC=2,E,F分别是AB,BC上的动点，沿 EF 所在直线折叠△ABC，使点 B 落在AC 上的点 B'处,当△AEB'是直角三角形时，AB'的长为 .
三、解答题
14.如图，把矩形纸片 ABCD 折叠，使顶点 B 和点D 重合,折痕为EF,AB=3cm,BC=5cm.
(1)求证:DE=DF.
(2)求△DEF 的面积.
15.[2024·杭州模拟] 如图,⊙O的半径为6cm,将圆折叠，使点 C 与圆心O 重合，折痕为 AB，E,F是AB 上两点(点 E,F不与点A,B重合且点E 在点F 的右边),且AF=BE.
(1)判定四边形OECF 的形状.
(2)当AF为多少时，△CFB为直角三角形
1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. B 7. B 8. A 9. A
10.2或 11.(-10,3) 12.15 或
14.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB.∵EF为折痕,
∴∠EFB=∠EFD,∴∠DEF=∠EFD,∴DE=DF.
(2)设 DF=x,则BF=x,∴FC=5-x.在△DFC中,∠C=90°,由勾股定理得, 解得
如图所示,过点 F 作 FG⊥AB',则 FG= 3cm,
15.解:(1)连结OB,AC,CO,CO交AB 于D,如图,由对称性可以得到CD=DO=3cm,AD=BD,AB=6 cm,
又∵OA=OB=6cm,
∴四边形 OACB是菱形.
∵AF=BE,∴DE=DF,又CD=DO,
∴四边形OECF 为平行四边形.
又AB⊥CO,∴四边形OECF 是菱形.
(2)∵∠CBA=∠BAO,CB=6cm,DC= CB=3cm,∴∠CBD=30°,∴BF=4 cm,

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