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[专题集训15]专题十五 圆中的最值问题
一、选择题
1.[2024·太原]如图,P 是边长为1 的正方形ABCD内的一个动点,且满足∠PBC+∠PDC=45°，则CP长度的最小值是 ( )
B.
C. /
2.如图,⊙O 的半径为 4,将劣弧 AB 沿弦AB 翻折，恰好经过圆心O，点C 为优弧AB 上的一个动点，则△ABC面积的最大值是 ( )
C.4
3.如图,半径为13的⊙O内有一点A,OA=5,点 P在⊙O上,当∠OPA 最大时,S△OPA = ( )
A.40 B.45
C.30 D.65
4.同一平面内，一个点到圆的最小距离为6 cm，最大距离为8cm，则该圆的半径为 ( )
A.7 cm或14 cm B.12 cm或14 cm
C.1 cm或7 cm D.1 cm 或6 cm
5.[2024·苏州模拟]如图，一块边长为 的正方形铁板，在其内部切下一个圆，则这块铁板剩下面积的最小值与下列各数最接近的是 ( )
A.1 B.0.86
C.0.65 D.0.44
6.[2024·北京]如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,D是以点A 为圆心,3为半径的圆上一点，连结 BD，M是BD 的中点，则线段CM长度的最小值为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AC=2,以点 C 为圆心、1为半径作圆,点 P为圆C上一动点，连结 AP，并绕点 A 顺时针旋转90°得到 AP',连结CP',则CP'长度的最小值是( )
C.2 D.
二、填空题
8.如图，O为平面直角坐标系的原点，⊙O与x轴交于点 A,B,与y轴交于点 C,D,P 为⊙O上一动点,Q为弦AP 上一点,AQ=3PQ.若点 D 的坐标为(0,-4),则CQ长度的最小值为 .
9.[2024·徐州] 如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=3,点 D 在边 BC 上.将△ACD沿AD折叠,使点 C落在点C'处,连结 BC',则 BC'长度的最小值为 .
10.如图,在 Rt△ABC 中, AC=2,D为BC 边上一动点,过点 D 作AD 的垂线交AB 于点E.当点 D 由点 C 运动至点 B时，点E 的运动路径长为 .
11.[2024·绍兴模拟] 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,连结OA,OC,若∠D=60°,OA=2,则四边形 ABCO 面积的最大值为 .
12.如图,⊙O的半径为2,定点 P 在⊙O上,动点A,B也在⊙O上,且满足∠APB=30°,C为PB的中点，当点 A，B在圆上运动时，线段AC长度的最大值为 .
13.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,其中AB=4,∠AOC=120°,P 为⊙O上的动点,连结AP,取 AP 的中点Q,连结CQ,则线段CQ长度的最大值为 .
三、解答题
14.如图,⊙O是△ABC 的外接圆,AB 为⊙O的直径,AC=6 cm,BC=8cm.
(1)求⊙O的半径.
(2)请用尺规作图作出点 P，使得点 P 在优弧CAB上时，△PBC 的面积最大，请保留作图痕迹，并求出△PBC面积的最大值.
15.[2024·上海模拟] 如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点 E,以点O为圆心、OE 为半径作⊙O交AO 于点 F.
(1)求证:AC是⊙O的切线.
(2)若∠AOE=60°,OE=3,在 BC边上是否存在一点 P，使PF+PE有最小值 如果存在，请求出 PF+PE的最小值.
1. D 2. A 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 9.3 -3 10. 11.2 12. +1 13.1+
14.解:(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠C=90°.在 Rt△ABC中,∵AC=6 cm,BC=8cm,
∴⊙O的半径为5cm.
(2)如图，作BC 的垂直平分线交优弧CAB于点P,交 BC于点 D,
则
在 Rt△OBD 中, 3cm,
∴PD=3+5=8(cm),
此时
15.解:(1)证明:过点O作OD⊥AC于点D,如图1,∵AB=AC,AO⊥BC,∴AO平分∠BAC.∵OE⊥AB,OD⊥AC,∴OD=OE.
∵OE 是⊙O的半径,∴OD是⊙O的半径.这样，AC经过半径OD 的外端，且垂直于半径OD,∴AC是⊙O的切线.
(2)在 BC 边上存在一点 P,使 PF+PE有最小值.
如图2,延长AO交⊙O于点G,连结 EG交BC 于点 P,连结 PF,则此时 PF+PE最小.连结EF,过点 E作EH⊥AO于点 H,
∵∠AOE=60°,OE=OF,
∴△OEF 为等边三角形,
∴EF=OE=OF=3.
在 Rt△EHO中,
在 Rt△EHG中,
∵BC⊥FG,OG=OF,∴PG=PF.
∴PE+PF=PE+PG=EG=3 .∴在 BC边上存在一点P,使 PF+PE有最小值. PF+PE的最小值为3

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