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[专题集训16]专题十六 几何图形中方程思想的运用
一、选择题
1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=4，斜边 AC 的垂直平分线分别交AB，AC 于点E,O,连结CE,则CE的长为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.4.5
2.如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为42，那么大长方形的面积是 ( )
A.99 B.102
C.108 D.136
3.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm .则投影三角板的对应边长为 ( )
A.20cm B.10 cm
C.8cm D.3.2cm
4.如图，将半径为4的⊙O沿弦AB 折叠，AB恰好经过与弦AB 垂直的半径OC 的中点 D，那么点A到点D 的距离为 ( )
A.5 B.2
D.10
5.[2024·南京模拟] 如图,在△ABC 中,∠B=∠C,D在 BC边上,∠BAD=40°,在 AC上取一点E,使∠ADE=∠AED,则∠EDC的度数是 ( )
A.15° B.20°
C.25° D.30°
6.如图,在矩形 ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC,BD 相交于点O,过点 O作OE⊥AC交AD于点E，则 DE的长是 ( )
A.3 B.5
C.2.4 D.2.5
二、填空题
7.如图,在△ABC中,AC=AB,底边 BC=10,D是AB 上的一点,且CD=8,BD=6,则△ABC的周长为 .
8.如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,垂足为点 C,将劣弧AB沿弦AB 折叠，AB恰好经过OC 的中点D,若. ，则⊙O的半径为 .
9.[2024·长沙] 如图1,已知四边形 ABCD 是正方形,将△DAE,△DCF 分别沿 DE,DF 向内折叠得到图2,此时 DA与DC 重合,A,C都落在G点,若GF=4,EG=6,则 DG的长为 .
10.如图，C为半圆O的中点，AB是直径，D是半圆上一点,AC,BD交于点 E,若AD=1,BD=7,则CE的长为 .
11.如图,在矩形 ABCD 中,BD 为对角线,将矩形ABCD沿BE,BF 所在直线折叠,使点 A 落在BD 上的点M 处,点C落在BD 上的点N 处,连结 EF.已知 AB=3,BC=4,则 EF 的长为
三、解答题
12.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分∠BAC交BC 于点 D,O是AB 边上的一点,以O为圆心作⊙O且经过A,D 两点,交 AB 于点E.
(1)求证:BC是⊙O的切线.
(2)若AC=2,AB=6,求 BE的长.
13.如图,在⊙O中,AB 是直径,弦CD⊥AB,垂足为 H，E为弧BC 上的一点，F为弦DC 延长线上一点，连结 FE并延长交直径AB 的延长线于点G,连结AE交CD 于点 P,若FE=FP.
(1)求证:FE是⊙O的切线.
(2)若⊙O的半径为12, 求 BG的长.
14.如图,在矩形 ABCD 中,E 为 DC 边上的一点,把△ADE沿AE 翻折,使点 D 恰好落在 BC 边上的点F 处.
(1)求证:△ABF∽△FCE.
(2)若 ,求 EC 的长.
(3)若AE-DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β,求 tanα+tanβ的值.
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1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A 7. 8.3 9.1210.
12.解:(1)证明:连结OD(图略),
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠OAD,
∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∴∠ACB=∠ODB.
∵∠ACB=90°,∴∠ODB=90°.
∵OD 是半径,∴BC是⊙O的切线.
(2)∵OD∥AC,∴△BDO∽△BCA,∴BD=BOBA.
∵AC=2,AB=6,∴设OD=r,则BO=6-r.
解得 ∴AE=3,∴BE=3.
13.解:(1)证明:如图,连结OE,
∵OA=OE,∴∠A=∠AEO.
∵CD⊥AB,∴∠AHP=90°.
∵FE=FP,∴∠FPE=∠FEP.
∵∠A+∠APH=∠A+∠FPE=90°,
∴∠FEP+∠AEO=90°=∠FEO,
∴OE⊥EF,
∵OE是⊙O的半径,
∴FE是⊙O的切线.
(2)∵∠FHG=∠OEG=90°,
设EG=3x,OG=5x,∴(5x) -(3x) =12 ,
解得x=3(负值舍去),∴OG=15,∴BG=15-12=3.
14.解:(1)证明:∵四边形 ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=∠D=90°.由翻折可知,∠D=∠AFE=90°,
∴∠AFB+∠EFC=90°,又∠EFC+∠CEF=90°,
∴∠AFB=∠FEC,∴△ABF∽△FCE.
(2)设EC=x,由翻折可知,AD=AF=4,
∴CF=BC-BF=2.∵△ABF∽△FCE,
(3)∵△ABF∽△FCE,∴△E=AF,
设AB=CD=a,BC=AD=b,DE=y,
∴AE=DE+2CE=y+2(a-y)=2a-y,
∵AD=AF=b,DE=EF=y,∠B=∠C=∠D=90°,
∵△ABF∽△FCE,
整理得，

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