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第30 讲 尺规作图
A熟知教材与迁移
1.右图是求作线段AB 中点的作图痕迹，则下列结论中不一定成立的是 ( )
A.∠B=45°
B. AE=EB
C. AC=BC
D. AB⊥CD
2.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出 的依据是 ( )
A. SAS B. SSS
C. ASA D. AAS
3.如图,已知△ABC,AB4.如图,直线 l ∥l ,点 C,A 分别在l ,l 上,以点C为圆心,CA 长为半径画弧,交l 于点 B,连结AB.若∠BCA=150°,则∠1的度数为 ( )
A.10° B.15° C.20° D.30°
5.下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°.
求作:Rt△ABC的外接圆.
作法：
(1)分别以点A 和点B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 P，Q两点；
(2)作直线 PQ,交 AB 于点O;
(3)以O为圆心,OA 为半径作⊙O.
如图2，⊙O 即为所求作的圆.
下列不属于该尺规作图依据的是 ( )
A.两点确定一条直线
B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
6.[2024·贵州]如图,在四边形 ABCD中,AD∥BC,BC=5,CD=3.按下列步骤作图:①以点 D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 DA，DC于E，F两点；②分别以点 E，F为圆心，以大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点 P；③连结DP 并延长交BC 于点G.则 BG的长是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.[2024·南通模拟] 如图,已知在△ABC 中,∠ABC<90°,AB≠BC,BE是AC 边上的中线.按下列步骤作图：①分别以点 B，C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M,N 作直线MN,分别交 BC,BE 于点 D,O;③连结CO，DE.则下列结论中错误的是 ( )
A. OB=OC B.∠BOD=∠COD
C. DE∥AB D. DB=DE
8. 如 图,在 △ABC 中,∠ACB=90°,以点 C为圆心，BC长为半径画弧,交 AB 于点 D,再分别以点 B，D为圆心，以大于 BD的长为半径画弧，交于一点 E，CE 交 AB 于点 F,若∠A= 30°,BC=4,则△ACF的面积为 .
9. 如图,在□ABCD中,按以下步骤作图：①以点 B为圆心，任意长为半径作弧，分别交 BC，BD于点M，N；②以点C为圆心，BM长为半径作弧,交CB 于点P,交CD 于点Q;③以点 P 为圆心，MN长为半径作弧，交. 于点 E，作射线CE交对角线 BD 于点 F.若∠CBD=45°,BC=4,DF=1,则□ABCD的周长为 .
10.如图,已知△ABC,求作:点 P,使 PC=PB,且点 P 到直线AC 和AB 的距离相等.(保留作图痕迹，不必写出作法)
11.[2024·宿迁]如图,在□ABCD中,AB=5,AD=3 ,∠A=45°.
(1)求对角线 BD的长.
(2)尺规作图：将四边形 ABCD沿着经过点 A 的某条直线翻折，使点 B落在 CD 边上的点 E 处，请作出折痕.(不必写出作法，保留作图痕迹)
B掌握通性与通法
12.如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：
(1)分别以弦AB的端点A，B为圆心，适当长为半径画弧，使两弧相交于点 M.
(2)作直线OM交AB 于点 N.若OB=10,AB=16,则 tanB等于
A. B. C. D.
13.[2024·北京] 如图,在 ABCD中,BD 为对角线，分别以点 A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线MN 交AD 于点E,交AB 于点F.若AD⊥BD,BD=4,BC=8,则AE的长为 .
14.(1)已知线段m,n,求作 Rt△ABC,使得∠C=90°,CA=m,CB=n.(请用尺规作图,保留作图痕迹，不必写出作法)
(2)求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明)
C感悟思维与素养
15.如图,在△ABC中,
尺规作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：
(1)作∠EAC的平分线AD.
(2)在 AD上作点 P,使△ACP 是以AC 为底边的等腰三角形，并求出∠APC的度数(用含α的式子表示).
1. A 2. B 3. D 4. B 5. D 6. A 7. D8.6 9.1410.解：如图，P为所求作的点.
11.解:(1)如图1,连结BD,过点 D作DH⊥AB于点H,
∵∠A=45°,∠AHD=90°,∴∠ADH=45°=∠A,
∴△ADH 是等腰直角三角形.又∵
∴AH=DH=3,∴BH=AB-AH=5-3=2,
∴在 Rt△BDH 中,.
(2)如图2所示，AG即为所求作的折痕.
12. B 13.5
14.解:(1)如图,Rt△ABC 即为所求.
(2)已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE是AB边上的中线.求证：
证明:延长CE到D,使得 DE=CE.连结BD,AD.
∵CE是AB 边上的中线,∴BE=AE,
∴四边形 ACBD 是平行四边形.
∵∠BCA=90°,∴四边形 ACBD 是矩形,
15.解:(1)如图,射线 AD 即为所求.
(2)作线段 AC的垂直平分线,交 AD 于点 P,连结 PC,则△APC即为所求.∵
∴∠EAC=∠B+∠ACB=3α.
又∵PA=PC,AD平分∠EAC,

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