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第32 讲 图形的对称、平移与旋转
A熟知教材与迁移
1.点P(2，-3)关于原点对称的点 P'的坐标是( )
A.(2,3) B.(-2,-3)
C.(-3,2) D.(-2,3)
2.[2024·宁夏]下面是由七巧板拼成的图形(只考虑外形，忽略内部轮廓)，其中轴对称图形是( )
3.在平面直角坐标系中，将点(m，n)先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是 ( )
A.(m--2,n-1) B.(m-2,n+1)
C.(m+2,n-1) D.(m+2,n+1)
4.如图,将△ABC 绕点 B(1,0)旋转 180°得到△A'BC',点 A 的坐标为(m,n),则点 A'的坐标为 ( )
A.(-m-4,-n) B.(-m+2,-n)
C.(-m--2,-n) D.(-m+4,-n)
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=α,将△ABC绕点C 顺时针旋转 90°得到△A'B'C,点B的对应点B'在边AC 上(不与点A，C重合)，则∠AA'B'的度数为 ( )
A.α B.α-45°
6.如图，将周长为8的△ABC沿 BC方向平移1个单位得到△DEF,则四边形 ABFD的周长为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
7.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 的坐标为 把正方形OABC沿x轴向右平移得到正方形O'A'B'C'，点 A'恰好落在y 轴上，则点 B'的坐标是 ( )
8.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC，点 A，B 的对应点分别为D,E,连结AD.当点 A,D,E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是 ( )
A.∠ABC=∠ADC B. CB=CD
C. DE+DC=BC D. AB∥CD
9.[2024·苏州模拟] 如图,点A,B,C,O在网格中小正方形的顶点处，直线 l 经过点 C，O，将△ABC沿l平移得到△MNO,M是点 A 的对应点，再将这两个三角形沿l 翻折，P，Q分别是点A，M的对应点.已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为 .
10.图1、图2、图3的3×3 网格图都是由9个相同的小正方形组成的，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影.
(1)在图1中选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形.
(2)在图2中选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形.
(3)在图3中选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.
(请将3个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形)
B掌握通性与通法
11.如图,菱形ABCD的边长为2,P 是对角线AC上的一个动点，E，F分别为边AD，DC的中点，则 PE+PF的最小值是 ( )
A.2 B. C.1.5 D.
12.[2024·杭州模拟]如图，在平面直角坐标系中,已知点 P(0,2),点 A(4,2).以点 P 为旋转中心，把点 A 按逆时针方向旋转60°，得点 B.在 M (2, 四个点中，直线 PB经过的点是( )
A. M B. M C. M D. M
13.如图,在6×6的方格纸中,点 A,B,C均在格点上，试按要求画出相应格点图形.
(1)如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形.
(2)如图2，作一个轴对称图形，使 AB 和AC 是它的两条边.
(3)如图3，作一个与△ABC 相似的三角形，相似比不等于1.
14.[2024·北京] 在△ABC 中,∠B=∠C=α(0°<α<45°),AM⊥BC 于点 M,D 是线段MC上的动点(不与点 M，C重合)，将线段 DM绕点D 顺时针旋转 2α得到线段DE.
(1)如图1,当点 E在线段AC 上时,求证:D 是MC 的中点.
(2)如图2，若在线段 BM上存在点 F(不与点B,M重合)满足 DF=DC,连结AE,EF,写出∠AEF的大小并证明.
C感悟思维与素养
15.如图,E为正方形ABCD 外一点,∠AEB=90°,将 Rt△ABE 绕点 A 逆时针方向旋转 90°得到△ADF,DF 的延长线交 BE 于点 H.
(1)试判定四边形 AFHE的形状，并说明理由.
(2)若 BH=7,BC=13,求 DH 的长.
1. D 2. C 3. D 4. B 5. C 6. C 7. A 8. D 9.
10.解:(1)如图1所示.(2)如图2所示.(3)如图3所示.((1)(2)
(3)答案均不唯一)
11. A 12. B
13.解:(1)如图1,线段 EF 即为所求.
(2)如图2，四边形ABDC即为所作图形.
(3)如图3,△A'B'C'即为所求.
14.解:(1)证明:由旋转的性质得,DM=DE,∠MDE=2α.
∵∠C=α,∴∠DEC=∠MDE-∠C=α,
∴∠C=∠DEC,∴DE=DC,
∴DM=DC,即 D是 MC的中点.
(2)∠AEF=90°.
证明:如图,延长FE到H 使FE=EH,连结CH,AH.
∵DF=DC,∴DE 是△FCH的中位线,
∴DE∥CH,CH=2DE.
由旋转的性质得,DM=DE,∠MDE=2α,∴∠FCH=2α.
∵∠B=∠ACB=α,∴∠ACH=α,△ABC是等腰三角形,
∴∠B=∠ACH,AB=AC.设DM=DE=m,CD=n,则CH=2m,CM=m+n,DF=CD=n,
∴FM=DF-DM=n-m.
∵AM⊥BC,∴BM=CM=m+n,
∴BF=BM--FM=m+n-(n-m)=2m,∴CH=BF.
在△ABF和△ACH中
∴△ABF≌△ACH(SAS),∴AF=AH.
∵FE=EH,∴AE⊥FH,即∠AEF=90°.
15.解:(1)四边形 AFHE是正方形,理由如下:
∵Rt△ABE 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△ADF,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF,
∴∠AEB=∠AFD=90°,∴∠AFH=90°.
∵Rt△ABE≌Rt△ADF,∴∠DAF=∠BAE.
又∵∠DAF+∠FAB=90°,∴∠BAE+∠FAB=90°,
∴∠FAE=90°.在四边形 AFHE中,
∠FAE=90°,∠AEB=90°,∠AFH=90°,
∴四边形 AFHE是矩形.
又∵AE=AF,∴矩形AFHE是正方形.
(2)设AE=x,则由(1)以及题意可知AE=EH=FH=AF=x,BH=7,BC=AB=13.在Rt△AEB中, 即 ，解得x=5(负值已舍去)，
∴BE=BH+EH=5+7=12,∴DF=BE=12.
又∵DH=DF+FH,∴DH=12+5=17.

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