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专题提升卷(六) 三角形与特殊三角形综合
[建议时间:40分钟 满分:100分]
IA命 题与探究
命题角度■ 三角形及特殊三角形性质及判定热门命题点
1.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，D的面积依次为5，13，30，则正方形C的面积为 ( )
A.12 B.18 C.10 D.20
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,E是AC的中点,若 BD=4 cm,DE=5cm,则△ABC的周长为 ( )
A.28 cm B.18 cm C.24 cm D.29.5cm
3.如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AB 和AC,垂足为M,N,且分别交 BC于点D,E.若∠DAE=20°,则∠BAC的度数为 ( )
A.100° B.105° C.110° D.120°
4.[2024·安徽] 如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,BC=6,P为AC边上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点 F,连结EF,则 EF 的最小值为 ( )
D.
命题角度目 特殊直角三角形与等腰三角形热门命题点
5.一副三角板摆放成如下左图所示,点C在EF 上,AC经过点D,已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=39°,则∠CDF 的度数为 ( )
A.34° B.29° C.24° D.19°
6.[2024·福建] 如图,△ABC的三条高线相交于点G,CH是角平分线,已知∠ABC=45°,∠ACD=60°,则图中的等腰三角形的个数为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为 如图,若△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角形,已知AB=4,则DE= .
8.[2024·湖北] 如图,由三个全等的三角形(△ABE,△BCF,△CAD)与中间的小等边三角形 DEF 拼成一个大等边三角形ABC.连结BD并延长交AC 于点G.若AE=ED=2.则(1)∠FDB 的度数是 ;(2)DG 的长是 .
命题角度目 三角形综合相关热门命题点
9.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 ( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
10.把△ABC和△ADE如图放置,B,D,E正好在一条直线上,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.则下列结论:①△BAD≌△CAE;②BE=CE+DE;③∠BEC=∠BAC;④若∠ACE+∠CAE+∠ADE=90°,则∠AEC=135°.其中正确的是 ( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
11.如图,在△ABC和△ABD中,∠ACB=∠ADB=90°,E,F,G分别为AB,AC,BC的中点,若 则FG= .
12.如图，这是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的一个图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中，AF=a,DF=b,连结AE,BE,若△ADE与△BEH 的面积相等，则
:
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13.如图,在△ABC中,∠A=36°,∠B=72°,CD平分∠ACB,DE∥AC,则图中共有等腰三角形 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC 的中点,连结AD,分别以点 A,C为圆心,AD的长为半径在△ABC外画弧,两弧交于点E,连结AE,CE,过点 D作DF⊥CE于点F.若AB=6,AC=8,则DF的长为( )
A. B.4 C. D.5
15.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AB=10,∠B=60°,∠C=45°,则AC的长为 .
16.如图，正五边形ABCDE的对角线恰好围成“正五角星”(即阴影部分)，AC，AD分别与BE 交于点F，G，其中△AFG是黄金三角形(底边与腰的比为 的等腰三角形).若AB=2,则 FG的长为 .
17.如图,△AOB的外角∠CAB,∠DBA的平分线AP,BP相交于点 P,PE⊥OC于点E,PF⊥OD于点F,下列结论:①PE=PF;②点 P 在∠COD的平分线上;③∠APB=90°-∠O,其中正确的有 .(填所给正确结论的序号)
18.(15分)[2024·苏州模拟] 如图,在△ABC中,点 D在BC 边上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点 E 作EF⊥AB,垂足为 F,且∠AEF=50°,连结 DE.
(1)求证:DE平分∠ADC.
(2)若AB=7,AD=4,CD=8,且 ,求△ABE的面积.
19.(16分)如图1,在平面直角坐标系中,A(0,a),B(b+1,0),且a,b满足
(1)求 A,B两点的坐标.
(2)如图2，点C在线段BO上(C不与端点B，O重合)，点D在线段AO上(D不与端点A，O重合)，连结CD,过D作CD的垂线交AB 于P,若BC=2DO,设点C的横坐标为t,求点 P 的横坐标.(用含 t的代数式表示)
(3)如图3,在(2)的条件下,连结BD,N 是BO 的中点, 交 BD 于点M,连结AM,若 求AM的长.
20.(18分)如图1,将 纸片按照下列图示方式折叠：①将 沿BD 折叠，使得点 A落在BC 边上的点M 处，折痕为 BD；②将 沿EF 折叠,使得点 B 与点 D 重合,折痕为 EF;③将 沿DF 折叠,点 E 落在点. 处，展开后如图2，BD，PF，DF，DP为图1折叠过程中产生的折痕.
(1)求证:
(2)若 落在DM 的右侧，求 的范围.
(3)是否存在. 使得 与 的平分线重合，若存在，请求出. 的大小；若不存在，请说明理由.
1. A 2. A 3. A 4. C 5. C 6. D
8.(1)30°(2) 9. A 10. D 11.2
12.3 13. D 14. C 15.5 16.3- 17.①②
18.(1)证明:过点 E作EG⊥AD于G,EH⊥BC于H,如图.
∵EF⊥AB,∠AEF=50°,∴∠FAE=90°-50°=40°.
∵∠BAD=100°,∴∠CAD=180°-100°-40°=40°,
∴∠FAE=∠CAD=40°,即AC为∠DAF的平分线.又EF⊥AB,EG⊥AD,∴EF=EG.
∵BE是∠ABC的平分线,∴EF=EH,∴EG=EH,
∴点 E在∠ADC的平分线上,∴DE平分∠ADC.
(2)
19.解:( 即 ∴a=6,b=5,∴A(0,6),B(6,0).
(2)如图,过点 P 作PE⊥OA于点 E,
∵点C的横坐标为t,BC=2DO,
∵PD⊥DC,∴∠PDC=90°,
∴∠PED=∠PDC=∠DOC=90°,
∴∠PDE=∠DCO,
设 PE=x,则
即点 P 的横坐标为
(3)∵A(0,6),B(6,0),∴设直线AB的解析式为y= kx+m, 解得
∴直线 AB的解析式为y=-x+6.
由(2)可得 B(6,0),
解得 (负值舍去).
∵N是BO 的中点,NM⊥BO,∴M是BD 的中点.
∵D(0,12-6 ),B(6,0),.
20.解：(1)证明：由第二次翻折可得 EF 垂直平分BD，由第一次翻折可得EF=EP,∴PF与BD 垂直且互相平分,
∴四边形 PBFD是菱形,∴DP∥BC.
(2)设∠ABD=α,∵四边形 PBFD是菱形,∴PB∥DF,
∴∠BDF=α,∠ADP=∠FDM=∠C=90°-2α,
当 DE'落在DM的右侧时，
(3)不存在.理由如下：
若存在∠C，使得 DE'与∠MDC的平分线重合，设∠ABD=α,∠ADP=∠FDM=∠C=90°-2α,∠MDC=2α,∴90°-2α+α=α,∴α=45°,∴∠C=0°,
∴不存在∠C使得DE'与∠MDC 的平分线重合.

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