资源简介

(共26张PPT)
《平移、旋转与轴对称的应用》专题讲座
汇报人：
时间：
目录
01
课标要求
02
中考分析
03
解决问题
04
试题展示
05
总结展望
课标要求
Part 1
理解轴对称、旋转、平移这三类基本的图形运动，知道三类运动的基本特征。同时掌握它们的基本性质。
知识理解方面：
能够在方格纸上进行简单图形的平移、旋转、轴对称操作，并能利用平移、旋转、轴对称进行添加辅助线把分散的条件集中在一起，从而解决一些数学问题。
技能掌握方面：
运用平移、旋转和轴对称的知识来认识、理解和表达现实世界中相应的现象，解决一些简单的实际问题。探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用这些变换的组合进行图案设计，培养学生的创新意识和审美能力。在解决几何问题时，能够根据需要合理地运用平移、旋转和轴对称的性质，进行图形的转化和分析，提高逻辑推理和解决问题的能力。
应用与综合方面
新课标对平移、旋转、轴对称要求：
数学思维方面
通过对平移、旋转、轴对称等图形变换的学习，发展学生的空间观念，让学生能够感知并描述图形的运动和变化规律，根据几何图形想象出所描述的实际物体。同时，培养学生的推理能力，学生要能够依据平移、旋转、轴对称的性质进行简单的推理和论证，理解命题的结构与联系，探索并表述论证过程，感悟数学的严谨性。。
中考分析
Part2
近五年成都市中考试题分析：
2020-2024年成都中考平移、旋转、轴对称考题占比分析 年份 A卷分值 B卷分值 合计 占比

平移 旋转 轴对称 平移 旋转 轴对称 2020 第4题3分 第27题10分 10 6.67%
2021 第4题3分 第27题10分 第24题4分 17 11.33%
2022 第23题4分 4 2.67%
2023 第12题4分 第22题4分 8 5.33%
2024 第18题第2小题3分 第14题4分，第18题第3小题4分 第26题12分 19 12.67%
平移、旋转、轴对称考查平均分为11.6分，占比约为总分的8%
解决问题
Part3
平移是指在平面内，将一个图形沿某一方向移动特定距离的几何变换。此过程不改变图形的形状与大小，仅改变其位置。理解平移的定义是掌握其应用及与其他变换（如旋转、轴对称）结合的基础。
平移的几何定义
平移的向量表示是通过向量的大小和方向来描述图形位置的变化。在平面直角坐标系中，利用向量可以精确地确定平移的距离与方向，为后续研究旋转和轴对称奠定基础，同时增强几何问题的代数化解决能力。
平移的向量表示
在平移变换中，图形的形状、大小及方向保持不变，这些即为平移的不变量。通过研究这些特性，我们可以更好地理解平移对空间结构的影响，并将其应用于实际问题解决中，如建筑设计和图像处理等领域。
平移的不变量
平移的定义与性质
利用平移的方法构造辅助线（等线段，有距离，辅助线想平移）
【例1】如图，在平行四边形ABCD中，取一点E使得∠1=∠2，求证：∠3=∠4
解：过点D作DF∥CE，使CE=DF，连接EF、AF.
∴四边形CEFD为平行四边形
∴CE∥DF，CD∥EF，CD=EF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，CD=AB，
∴∠1=∠ADE，∠4=∠DEF
∵CD∥EF，AB∥CD
∴AB∥EF，AB=EF
∴∠3=∠DAF，∠2=∠AEF
∴∠AEF=∠ADF
∴A、E、D、F四点共圆，
∴∠DAF=∠DEF
∴∠3=∠4
此题考查了平行四边形的性质与判定，四点共圆四边形的性质，通过平移巧妙地构造了四点共圆四边形，并进行了角度的转换。
【例2】如图，∠DAB=∠DCB=15°，∠ADC=105°，CD=AB=4，求AD的长。
证明：过点C作CE∥AB，使CE=AB，连接AE、DE。
∴四边形AECB为平行四边形
∴AE=BC，AB=CE
∵AB=DC
∴AB=CE
∵∠ADC+∠DAB=∠B+∠DCB
∴∠B=15+105-15=105°
∵∠B+∠BCE=180°
∴∠BCE=75°
∴∠DCE=60°
∴三角形DCE为等边三角形
∴DE=4
∵∠BAE=∠BCE=75°
∴∠DAE=∠BAE+∠DAB=90°
∵∠ADE=∠ADC-∠EDC=45°
∴三角形ADE为等腰直角三角形
∴AD=
练一练：
在RT△ABC中，∠C=90°，点M是BC上一点，如果BM=AC，CM=AN，连接AN交AM于点P，求证：∠BPM=45°。
旋转的中心与角度是理解几何变换的关键。旋转中心作为固定点，决定了图形绕其转动的位置，而旋转角度则定义了转动的具体程度。通过明确这两者，可以精准描述图形在平面内的旋转变化，为后续复杂图形分析奠定基础。
旋转的中心与角度
旋转的方向性是理解几何变换的关键之一。顺时针与逆时针方向的判断，直接影响图形最终的位置和形态。通过明确旋转中心和角度，可以精准描述物体在平面内的转动变化，为后续复杂问题的解决奠定基础。
旋转的方向性
在旋转变换中，距离、角度和面积等几何属性保持不变。这些不变量是研究旋转对称性和图形性质的关键。掌握旋转的不变量，有助于深入理解图形在空间中的变化规律及其实际应用。
旋转的不变量
旋转的定义与性质
利用旋转的方法构造辅助线（等线段，共端点，辅助线用旋转）
【例3】如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD=8，CD=3，则当线段 AD 的长度最小时，
①∠BDC= °:②AD 的最小值是 。

练一练：
(经典习题)如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5求∠APB的度数.
轴对称是指图形沿某一直线折叠后两部分完全重合的特性，该直线称为对称轴。在几何中，掌握轴对称定义有助于分析图形性质及其变换规律，为后续研究平移与旋转奠定基础。
轴对称的几何定义
在轴对称图形中，对称轴是关键要素。它不仅是图形折叠后的重合线，还决定了图形的对称性质。通过确定对称轴的位置和数量，可以深入分析图形的几何特征及其应用，为后续研究奠定基础。
轴对称的对称轴
在轴对称变换中，距离、角度及面积等几何量保持不变。这些不变量是研究图形对称性的关键，它们帮助我们准确判断和描述轴对称关系，为解决实际问题提供理论依据。
轴对称的不变量
轴对称的定义与性质
利用轴对称作图进行转换，从而达到解决问题的方法：
如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点D，垂足为E，DF⊥AB于点F，且AB>AC，求证:BF=AC+AF
证明：连接BD、CD，作
DG⊥AC于G。
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD
∵AD平分∠BAG
∴∠DAF=∠DAG
∵DF⊥AB，DG⊥AC
∴∠DFA=∠DGA=90°
∵AD=AD
∴△ADG≌△ADF（AAS）
∴AG=AF
在RT△BDF与RT△CDG中
∴RT△BDF≌RT△CDG（HL）
∴BF=CG
∴BF=AC+AF
轴对称在图形变换中的应用
练一练：
如图，E、B、C三点在一条直线上，AD//EC，AD=BC，BD=EC:F为AE的中点，求/BFD的度数。
试题展示
Part 4
基本概念与应用
（1）（2020年第4题3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A．（3，0） B．（1，2） C．（5，2） D．（3，4）
（2）（2021年第4题3分）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，2）关于x轴对的点的坐标是（ ）
A．（﹣4，2） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（4，﹣2）
（3）（2023年第12题4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 ：　 　．
（4）（2024年第4题4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（1，﹣4）
A
C
（-5,1）
B
平移、旋转与轴对称的综合应用
（1）．（2020年27题10分）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
①如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
②如图2，当AB＝5，且AF FD＝10时，求BC的长；
③如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求
的值．
解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴∠AFB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°，
∴∠CBE＝∠FBC＝15°
②∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴
∴AF DF＝AB DE，
∵AF DF＝10，AB＝5，
∴DE＝2，
∴EF＝3，
∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，
∴DF＝ =
∴AF＝＝2
∴BC＝AD＝AF+DF＝3
③过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF＝AN+FD，
∴NF＝ AD＝ BC，
∵BC＝BF，
∴NF＝ BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，
设FG＝y，则AF＝2y，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，
解得y＝ x．
∴BF＝BG+GF＝ ．
壹
分析问题的关键点
分析问题时，需抓住图形变换的本质特征，如平移的向量、旋转中心与角度、对称轴位置等关键要素，结合具体条件进行推理，为后续解题奠定基础。这种方法能有效提升几何问题的解决效率。
贰
确定变换的顺序与方式
在解决几何变换问题时，明确平移、旋转与轴对称的顺序和方式至关重要。不同的变换顺序可能导致不同结果，需根据图形特征和目标位置精心设计变换步骤，确保准确还原或构造所需图形。
叁
验证结果的正确性
在验证结果的正确性时，需将变换后的图形与原图形进行对比，检查是否符合平移、旋转或轴对称的定义。通过反复推演和测量，确保每一步操作精准无误，从而提升解题的可靠性。
解题技巧与方法总结
总结与展望
Part 5
壹
几何变换的基本原理
几何变换是研究图形位置与形状变化的数学工具。平移改变图形位置而不影响其大小和形状，旋转围绕固定点改变方向，轴对称则生成镜像图形。这些基本原理为后续应用奠定了理论基础，帮助理解图形的运动规律及其特性。
贰
几何变换的实际意义
几何变换不仅是数学理论的基础，也在现实生活中有广泛的应用。平移、旋转与轴对称能够帮助我们理解物体的运动规律和空间结构，为解决实际问题提供有效方法，如建筑设计和图像处理等领域。
叁
几何变换的未来发展方向
几何变换在未来将深度融合人工智能与大数据，拓展在图像处理、虚拟现实等领域的应用，通过更高效的算法实现复杂变换，推动科技与艺术创新，为平移、旋转和轴对称带来全新可能性。
平移、旋转与轴对称的核心思想
壹
如何提高几何变换的理解能力
要提高几何变换的理解能力，需从直观感知入手，结合实例分析平移、旋转与轴对称的特性。通过动手操作和图形绘制，加深对变换规律的认识，并灵活运用到解题中，培养空间想象力和逻辑思维能力。
贰
如何培养几何变换的应用能力
培养几何变换的应用能力，需从实践出发，结合平移、旋转与轴对称解决实际问题。通过动手操作、图形分析和案例演练，学生可逐步掌握变换规律，提升空间想象与解决问题的能力。
叁
如何拓展几何变换的知识面
在拓展几何变换知识面时，可结合实际问题，如建筑设计中的对称美或导航系统中的旋转原理。通过跨学科应用，深化对平移、旋转与轴对称的理解，提升解决复杂几何问题的能力。这种方法有助于学生将理论与实践相结合，开阔思维。
学习方法与建议
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