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10.4 三元一次方程组的解法
1.掌握三元一次方程组的解法及“消元”思想.
2.能够根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元．
3.能够由问题情境构建三元一次方程组．
问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛.积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场?
思考（1）题目中有几个未知量?
（2）题目中有哪些等量关系?
（3）如何用方程表示这些等量关系?
设这支球队胜、平、负的场数分别为x，y，z.根据题意，可以得到下面三个方程
x+y+z=22
3x+y=47
x=4z+2
等量关系：①胜的场数+平的场数+负的场数=22；
②胜场积分+平场积分+负场积分=47；
③胜的场数=负的场数×4+2.
问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛.积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场?
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
x+y+z=22
3x+y=47
x=4z+2
这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数 的项的次数都是1,一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
三元一次方程组必须满足的三个条件：
方程组中一共含有三个未知数.
含有未知数的项的次数都是1.
含有三个整式方程.
(不一定每个方程都含有三个未知数)
1.下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
A.
B.
C.
D.
D
怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能按照同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数 ，把它化成二元一次方程组呢？
x+y+z=22， ①
3x+y=47， ②
x=4z+2. ③
仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②并化简，得到两个只含y,z的方程y+5z=20和y+12z=41, 它们组成方程组
y+5z=20,
y+12z=41.
解这个二元一次方程组，可以求出y和z，进而可以求出x.
x+y+z=22， ①
3x+y=47， ②
x=4z+2. ③
从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是?：通过?“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一样的.
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
解:②×3+③,得11x+10z=35.④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
例1 解三元一次方程组
3x+4z=7， ①
2x+3y+z=9， ②
5x-9y+7z=8. ③
3x+4z=7，
11x+10z=35.
x=5，
z=-2.
把x=5,z=-2代入②, 得 2×5+3y-2=9,
y=13.
三元一次方程组的解为
?
x=5，
y=13，
z=-2.
?
例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60. 求a，b，c的值.
分析：把 a，b，c 看作未知数
把已知 x、y 值代入原式
a-b+c=0
4a+2b+c=3
25a+5b+c=60
怎样消元解方程组最简单?
解：根据题意，列得三元一次方程组
②-①，得
③-①，得
④与⑤组成二元一次方程组
a+b=1，
4a+b=10.
④
⑤
解这个方程组，得
a=3，
b=-2.
把a=2，b=-2代入①，得
因此a，b，c的值分别为3，-2，-5.
a+b=1. ④
4a+b=10. ⑤
c=-5.
a-b+c=0
4a+2b+c=3
25a+5b+c=60
①
②
③
例3 一个三位数，各数位上的数的和为14,百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的13.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.
?
分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组.
解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.根据题意，列得三元一次方程组
解这个方程组，得
因此这个三位数是 473.
x+y+z=14， ①
2x-y=13z， ②
100z+10y+x+99=100x+10y+z. ③
?
x=4，
y=7，
z=3.
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解
含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组
三元一次方程组的应用
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解
1.解方程组:2????+????+????=36,?????????=1,2?????????+????=18.
?
解:2????+????+????=36, ①?????????=1, ②2?????????+????=18. ③
③-①,得-2y=-18,解得y=9.
把y=9代入②,得x=10.
把x=10,y=9代入①,得z=7.
故这个方程组的解为????=10,????=9,????=7.
?
2.在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=-2；当x=-1时，y=20；当x= 32 与x= 13 时，y的值相等.求a，b，c的值.
?
解：根据题意，得三元一次方程组
解得
因此a的值为6，b的值为-11，c的值为3.
3.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b， c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组 ??????????????1=0
??????2????+????=0
?2?????????=0
解得 ????=?3
????=?4
????=?2
?
4.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可通过两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
D
5.一个三位数,十位数字比个位数字大2,百位数字是十位数字的2倍,如果把百位数字与个位数字对调,那么得到的三位数比原来的三位数小495.求原来的三位数.
解:设原来的三位数的个位数字为x,十位数字为y,百位数字为z.
根据题意,得????=????+2, ????=2????, ????+10????+100????=????+10????+100????+495.
解得????=1????=3????=6，故原来的三位数为631.
?
6.甲地到乙地全程是 3.3 km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成.如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4km，下坡每小时走5 km，那从甲地到乙地需 51 min，从乙地到甲地需 53.4 min. 从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少?
解:设从甲地到乙地时，上坡的路程是x km，平路的路程是y km，下坡的路程是 z km.
根据题意，列得三元一次方程组
解得
答:从甲地到乙地时，上坡的路程是1.2 km，平路的路程是0.6 km，下坡的路程是1.5 km.

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