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第九章 平面直角坐标系
9.2.2 用坐标表示平移
第二节 坐标方法的简单应用
数学人教版(2024)七年级下册
1. 掌握点的平移规律，图形平移与坐标变化的关系.
2. 能利用点的平移规律将平面图形进行平移.
3. 经历点的坐标变化与图形变化之间关系的探索过程，感受并了解图形的平移变化与点的坐标变化之间的关系.
4. 学会主动寻求解决问题的途径，从成功中体会研究数学问题的乐趣，从而增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.
你还记得什么叫平移吗？
在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移.
图形平移的性质是什么？
(1)新图形与原图形形状和大小不变，但位置改变；
(2)对应点的连线平行（或共线）且相等；
(3)对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等.
A
.
如下图，将点A向右平移5个单位长度，得到A1，请你在图上标出这个点.
A
.
如果点A的坐标是(–2，–1)，那平移后点A1的坐标是什么呢？
1
O
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
–2
–3
4
3
2
1
5
y
探究：如下图，将点A(–2，–1)向右平移5个单位长度，得到点A1，在图上标出这个点，并写出它的坐标.
A (–2, –1)
.
O
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
–2
–3
4
3
2
1
5
y
A1
.
向右平移5个单位长度
A(–2，–1) 　　　　　　　　　　
A1(–2+5，–1)
右移5个单位长度
(x+5，y)
(3，–1)
观察坐标的变化，你能从中发现什么规律吗？
–2+5
A (–2, –1)
.
O
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
–2
–3
4
3
2
1
5
y
A1
.
(3，–1)
把点A1向上平移
4个单位长度呢？
.
A2
(3，3)
向上平移4个单位长度
A1(3，–1) 　　　　　　　　　　
A2(3，–1+4)
上移4个单位长度
(x，y+4)
探究：如下图，将点A(–2，–1)向右平移5个单位长度，得到点A1，在图上标出这个点，并写出它的坐标.
A (–2, –1)
.
O
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
–2
–3
4
3
2
1
5
y
A1
.
(3，–3)
把点A2向左平移
6个单位长度呢？
向左平移6个单位长度
A2(3，3) 　　　　　　　　　　
A3(3–6，3)
左移6个单位长度
(x–6，y)
A2
(3，3)
.
.
A3
(–3，3)
探究：如下图，将点A(–2，–1)向右平移5个单位长度，得到点A1，在图上标出这个点，并写出它的坐标.
A (–2, –1)
.
O
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
–2
–3
4
3
2
1
5
y
A1
.
(3，–1)
把点A3向下平移
3个单位长度呢？
向下平移3个单位长度
A3(–3，3) 　　　　　　　　　　
A4(–3，3–3)
下移3个单位长度
(x，y–3)
A2
(3，1)
.
.
A3
(–3，3)
A4
(–3，0)
.
探究：如下图，将点A(–2，–1)向右平移5个单位长度，得到点A1，在图上标出这个点，并写出它的坐标.
归纳
右移5个单位长度，(x+5，y)
上移4个单位长度，(x，y+4)
下移3个单位长度，(x，y–3)
左移6个单位长度，(x–6，y)
与横坐标x有关
右加左减
与纵坐标y有关
上加下减
一般地，在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或向左)平移 a 个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x–a，y))；
将点(x，y)向上(或向下)平移 b 个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y–b)).
探究：如下图，正方形ABCD四个顶点分别是 A(–2，4)，B(–2，3)，C(–1，3)，D(–1，4)，将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点E，F，G，H．它们的坐标分别是什么？
A(–2，4)
B(–2，3)
C(–1，3)
D(–1，4)
–7
+8
E(6，–3)
F(6，–4)
G(7，–4)
H(7，–3)
O
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
–2
–3
4
3
2
1
5
y
–4
8个单位长度
7个单位长度
6
7
如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形位置相同吗？
A
B
C
D
E
F
G
H
一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以将原来的图形做一次平移得到.
图形的平移变换与坐标间的规律
对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
归纳
例（1）如图，长方形A'B'C'D'可以由长方形ABCD经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？
例（2）点P（-3，1）是长方形ABCD上一点，写出点P的对应点P'的坐标.
由于点P是长方形ABCD上一点，将点P的横坐标加3 ，纵坐标加2 ，就得到对应点P'的坐标（0，3）.
图形平移过程中，原图形中的每一个点都做相应的变换.
1. 如图，在平面直角坐标系中，A(–3，2)，B(–1，0)，C(–1，3)，将△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别A1，B1，C1，则点A1的坐标为( )
A.(3，–3) B.(1，–1)
C.(3，0) D.(2，–1)
B
A1(1，–1)
A
C
B
x
y
O
1
2
3
–3
–2
–1
1
2
3
–3
–2
–1
2. 如图，将平行四边形ABCD向左平移2个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到平行四边形 ，画出平移后的图形，并指出其各个顶点的坐标.
x
y
1
2
3
–3
–2
–1
1
2
–3
–2
–1
3
4
O
A
B
C
D
点 的坐标 .
点 的坐标 .
点 的坐标 .
点 的坐标 .
(–3，1)
(1，1)
(2，4)
(–2，4)
解：
4
3. 如图，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A1(1，1)，B1(4，2)，C1(3，4).
(1)画出△ABC，并写出点A，B，C的坐标；
(2)求出△AOA1的面积.
点A的坐标 .
点B的坐标 .
点C的坐标 .
(–3，1)
(0，2)
(–1，4)
x
y
1
2
3
–3
–2
–1
1
2
–3
–2
–1
3
4
O
4
–4
–4
解：(1)
A1
B1
C1
A
B
C
(2)
S△AOA1=
·AA1·h = 2.
用坐标表示平移
一般地，在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或向左)平移 a 个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x–a，y)；将点(x，y)向上(或向下)平移 b 个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y–b)).
一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以将原来的图形做一次平移得到.
第九章 平面直角坐标系
用坐标表示平移(二)
第二节 坐标方法的简单应用
1. 掌握图形平移与坐标变化的关系.
2. 能根据图形上的点的坐标的变化看出这个图形进行了怎样的平移.
3. 经历点的坐标变化与图形变化之间关系的探索过程，感受并了解图形的平移变化与点的坐标变化之间的关系.
4. 学会主动寻求解决问题的途径，从成功中体会研究数学问题的乐趣，从而增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.
用点的平移规律将平面图形进行平移有什么特点
用坐标表示平移有什么规律？
一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以将原来的图形做一次平移得到.
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x ＋a，y)或(x a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x ，y＋ b)或(x ，y b).
探究：如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为 A(4，3)，B(3，1)，C(1，2).
(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，依次连接A1，B1，C1各点，所得的三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
3
2
1
4
y
A
B
C
A1
B1
C1
(1，2)
(3，1)
(-2，3)
(-3，1)
(-5，2)
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
–3
–2
–1
–4
(4，3)
–5
O
A1 ，
B1 ，
C1 .
(–2，3)
(–3，1)
(–5，2)
三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到.
x
探究：如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为 A(4，3)，B(3，1)，C(1，2).
(2)将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2，B2，C2，依次连接A2，B2，C2各点，所得的三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
3
2
1
4
y
A
B
C
A1
B1
C1
(1，2)
(3，1)
(-2，3)
(-3，1)
(-5，2)
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
–3
–2
–1
–4
(4，3)
–5
O
A2 ，
B2 ，
C2 .
(4，–2)
(3，–4)
(1，–3)
A2
B2
C2
(4，-2)
(3，-4)
(1，-3)
三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到.
x
探究：如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为 A(4，3)，B(3，1)，C(1，2).
(3)①将三角形ABC三个顶点的横坐标都加3，纵坐标不变，分别得到点A3，B3，C3，依次连接A3，B3，C3各点，所得的三角形A3B3C3与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
3
2
1
4
y
A
B
C
A3
B3
C3
(1，2)
(3，1)
3
2
1
4
–2
6
5
–1
–3
–2
–1
6
(4，3)
5
O
A3 ，
B3 ，
C3 .
(7，3)
(6，1)
(4，2)
三角形A3B3C3与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向右平移3个单位长度得到.
x
探究：如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为 A(4，3)，B(3，1)，C(1，2).
(3)②将三角形ABC三个顶点的纵坐标都加2，横坐标不变，分别得到点A4，B4，C4，依次连接A4，B4，C4各点，所得的三角形A4B4C4与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
3
2
1
4
y
A
B
C
A3
B3
C3
(1，2)
(3，1)
3
2
1
4
–2
6
5
–1
–3
–2
–1
6
(4，3)
5
O
A4
B4
C4
A4 ，
B4 ，
C4 .
(4，5)
(3，3)
(1，4)
三角形A4B4C4与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向上平移2个单位长度得到.
x
探究：如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为 A(4，3)，B(3，1)，C(1，2).
(4)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，同时纵坐标都减去5，得到什么结论？画出得到的图形.
3
2
1
4
y
A
B
C
(1，2)
(3，1)
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
–3
–2
–1
–4
(4，3)
–5
O
A5
B5
C5
(-2，-2)
(-3，-4)
(-5，-3)
A5 ，
B5 ，
C5 .
(–2，–2)
(–3，–4)
(–5，–3)
角形ABC向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到.
x
三角形A5B5C5与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三
角形ABC向下平移5个单位长度，再向左平移6个单位长度得到.
归纳
一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把一个图形各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.
坐标的变化引起图形平移的规律
例1如图，将三角形ABC平移，得到三角形A1B1C1，其中任意一点P（xo，y0）平移后的对应点为P1（x0+5，yo+3）.写出三角形ABC的一种沿坐标轴方向的平移方式，以及点A1，B1，C1的坐标.
解：由平移前后的对应点P和P1的坐标关系可知，将三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形A1B1C1.同时，还可以得到点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标分别为（3，6），（1，2），（7，3）.
用坐标表示平移
一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把一个图形各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.

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