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专题4.4 平行四边形的判定定理十大题型（一课一讲）
（内容：平行四边形的判定及应用）
【浙教版】
题型一：判断能否构成平行四边形
【经典例题1】下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．由，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B．由，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意；
C．由，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D．由，，能判定四边形是平行四边形，故D符合题意．
故选：D．
【变式训练1-1】根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识，掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意；
B．根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意；
C．根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，符合题意；
D．根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故不符合题意．
故选：C．
【变式训练1-2】下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形判定．根据题意根据平行四边形判定定理逐一对选项进行判定即可．
【详解】解：能判定四边形是平行四边形的是，，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
故选：A．
【变式训练1-3】下列命题中，正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】解：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故A选项不正确；
对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形；故B选项不正确；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项正确；
对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故D选项不正确；
故选：C．
【变式训练1-4】在四边形中，对角线与相交于O点，给出五组条件：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），；
（5），．
能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可．
【详解】解：（1）由“，”可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
（2）由“，”可知，四边形的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
（3）由“，”可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
（4）由“，”可知，四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
（5）由“，．”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
故选：B．
【变式训练1-5】下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理．平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【详解】解：．，，无法判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
．，，无法判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
．，，故该选项不符合题意；
．如下图：∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，故该选项符合题意．

故选：D．
【变式训练1-6】如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，A符合题意；添加条件后，证明，根据，进而可得结论，B不符合题意；添加条件，根据，从而证明结论，C不符合题意；添加条件，可证，根据根据进而证明结论，D不符合题意．
【详解】解：A、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意；
B、∵，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∵
∴，
∴四边形为平行四边形，故D不符合题意；
故选：A．
题型二：添一个条件使得为平行四边形
【经典例题2】如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用平行四边形的判定与性质．根据可得，利用平行四边形的判定可知，如，则四边形是平行四边形．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
A．如，
则，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴A选项不符合题意，
B．如添加，无法证明四边形是平行四边形，
∴B选项不符合题意，
C.如，
在△ADE和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴C选项不符合题意，
D．如，
则，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∴D选项不符合题意，
故选：B．
【变式训练2-1】如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中是的中点，添加一个条件： ，使四边形是平行四边形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．根据对角线相互平分的四边形是平行四边形进行解答．
【详解】解：添加，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式训练2-2】如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可．
【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故可添加，
根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，
故可添加，
故答案为：．（答案不唯一）
【变式训练2-3】如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）．
【答案】②（或③，或④）
【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质．
若添加添加①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证．
【详解】解：若添加添加①，无法证明四边形是平行四边形．
若添加条件②，可得四边形是平行四边形．
理由如下：
连接，交于点O
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
若添加条件③，可得四边形是平行四边形．
理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形．
若添加条件④，可得四边形是平行四边形．
理由如下：
连接，交于点O
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
综上所述，添加的条件可以是②或③或④．
故答案为：②（或③，或④）
【变式训练2-4】如图，四边形中，，，的平分线交于点．
(1)求的度数；
(2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件．
【答案】(1)(2)（答案不唯一）
【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，平行线的性质：
（1）利用平行线的性质，和角平分线的定义进行求解即可；
（2）根据平行四边形的判定方法，添加条件即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴；
（2）添加条件为：（答案不唯一），理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
题型三：数图形中平行四边形的个数
【经典例题3】如图所示，在△ABC中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
【详解】解：∵，，，
∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形，
∴图中平行四边形共有个．
故选：C．
【变式训练3-1】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形．
【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的，
∴是正六边形，
∴，，是正六边形的对角线，
可得，
∴四边形是平行四边形，
同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个，
故选C．
【变式训练3-2】如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．11个
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型．
根据平行四边形的判定定理，即可解决问题．
【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个，
故选：D．
【变式训练3-3】如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个．
【答案】5
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
根据网格的特点可得，
四边形，，，， 为平行四边形，
所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故答案为：5．
【变式训练3-4】根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可．
【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个，
第二个图中平行四边形的个数是，
第三个图中平行四边形的个数是，
∴第个图中平行四边形的个数是，
故答案为：．
【变式训练3-5】如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．

【答案】5，图见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题．
【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，如下图：

故答案为：5．
题型四：求与已知三点组成平行四边形的个数
【经典例题4】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（ ）个
A． B． C． D．无数
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形．
【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个，
故选：B．
【变式训练4-1】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ．
【答案】或
【分析】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，先建立平面直角坐标第，再分和两种情况求解即可．
【详解】解：①当，时，如图：
∵点C的坐标是，点A的坐标是，
∴，
∵点B不在第一象限，
∴点B坐标为，即
①当，时，如图：
由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点O，
∴由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点B，
故点B坐标为：即，
综上所述：点B的坐标是或，
【变式训练4-2】如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)在网格中画出；
【答案】(1)△ABC是直角三角形，理由见解析 (2)见解析
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定及作图能力，解题的关键是数形结合．
（1）由勾股定理的逆定理进行证明；
（2）根据由平行四边形的判定画图即可．
【详解】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
，，，
，
△ABC是直角三角形；
（2）如图所示，即为所求．
【变式训练4-3】如图，在方格网中已知格点△ABC和点．
(1)画和△ABC关于点成中心对称；
(2)请在方格网中画出以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点．（画出一个即可）
【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析
【分析】本题考查复杂作图，涉及中心对称图形性质、平行四边形性质等知识，熟记相关性质作图是解决问题的关键．
（1）根据中心对称性质，作出三个顶点关于点成中心对称的点，连线即可得到答案；
（2）连接、、构成三角形，分别过的三个顶点作相应对边的平行线，三条平行线的交点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
即即为所求（一个即可）．
【变式训练4-4】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)画出△ABC关于点的中心对称图形，并写出点的坐标；
(2)若四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)点的坐标为或或
【分析】本题主要考查了图形的中心对称和旋转变换，平行四边形；
（1）使，则点和点关于原点成中心对称，同理可作出点，，进而可作出，然后根据点的位置可确定其坐标；
（2）根据平行四边形的判定定理确定出点的位置及坐标．
【详解】（1）解：作图如下：
；
（2）解：四边形是平行四边形，则有如下三种情况，如下图：
点的坐标为或或．
【变式训练4-5】如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，△ABC的三个顶点都在网格中的格点上．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置．
【答案】(1)结论：△ABC是直角三角形．见解析(2)见解析
【分析】本题考查作图一应用于设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据平行四边形的判定作出图形即可．
【详解】（1）解：结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：如图点即为所求．
题型五：利用平行四边形的性质与判定求线段长度
【经典例题5】如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】如图，设交于点，取的中点，连接，证明，推出，再证明即可．
【详解】解：如图，设交于点，取的中点，连接，
，，
，，
是的中点，是的中点，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【变式训练5-1】如图，在中，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长是（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
由可得，由平行四边形的性质可得，，，由邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由可得，再结合，可证得四边形是平行四边形，于是可得，则，由此即可求出的长．
【详解】解：，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
【变式训练5-2】如图，在中，，，为等边三角形，△ABC的边与的边均在直线上，且点与点到直线的距离相等，若，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．3 D．4
【答案】D
【分析】连接，利用直角三角形性质得到，再结合等边三角形性质证明四边形为平行四边形，最后利用平行四边形性质求解，即可解题．
【详解】解：连接，
点与点到直线的距离相等，
，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
故选：D．
【变式训练5-3】如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F，则可证明，继而，可证明四边形是平行四边形，故四边形的面积与平行四边形的面积相等，即可求解．
【详解】解：过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F，
∴
∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积与平行四边形的面积相等，
∴，
∵，
【变式训练5-4】如图，点 E 为的对角线AC 上一点， ，连接并延长至点 F，使得，连接，则为
【答案】3
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到．
【详解】解：作交于点H
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故答案为：3．
【变式训练5-5】如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性质结合等腰三角形的判定，可得，再由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∵的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，
∴，
∴
∴，
∵点F为边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练5-6】如图，梯形中，，，平分，，，则 ，梯形的周长为 ．
【答案】 90 15
【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形中所对直角边与斜边的关系等知识，根据题意得出的长是解决问题的关键．根据，以及得出，从而得出，进而得出，，即可得出答案．
【详解】解：平分，
，
∵，
∴，，，
∴，，
，
∴，
过点C作，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
，
∴，
梯形的周长为：．
故答案为：90；．
故选：B．
题型六：平行四边形的性质与判定综合之最值问题
【经典例题6】如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题．在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，作点关于直线的对称点，则，即、、三点共线时，最小值为的长．
【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，
∵点，，
，，
，
作点关于直线的对称点，
，，
，即、、三点共线时，最小值为的长，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，
故选：A．
【变式训练6-1】如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是边上的点，且满足，M是边上的一动点，以M，D，E为顶点，为对角线构造．若，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．作交于点，证明四边形是平行四边形，推出，得到，点在直线上，当时，即有最小值，据此计算即可求解．
【详解】解：作交于点，连接，
∵为等边三角形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上，
当时，即有最小值，根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边三角形的高，
作于点，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
【变式训练6-2】如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点，分别在轴，轴上，，两点坐标分别为，，线段在边上移动，保持，则的最小值 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质．在上截取，可证四边形是平行四边形，可得，由对称性可得，则，即当点，点，点共线时，有最小值，最小值为的长，据此计算即可求解．
【详解】解：在上截取，作点关于轴的对称点，连接交于点，
， ，
四边形是平行四边形，
，
点与点关于轴对称，
，点坐标为，
，
当点，点，点共线时，有最小值，最小值为的长，
点，
，
故答案为：．
【变式训练6-3】如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ．
【答案】/7.2
【分析】作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，则，根据轴对称得和，那么，周长为，当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为，利用勾股定理求得，等面积法求得，则有，在中求得即可．
【详解】解：作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，如图，
则四边形为平行四边形，
∴，
∵点C关于线段AB的对称点，
∴，，
∴，
则周长为，
当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在中，，
则，周长最小为，
故答案为：．
【变式训练6-4】如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ．
【答案】10
【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时E，F位置是解题关键．作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小，利用轴对称和勾股定理，求出即可得出答案．
【详解】解：如图，作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，
根据轴对称可知：，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，
∴最小，即最小，
∴最小值为的长，
∵，G为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
即的最小值为10．
故答案为：10．
【变式训练6-5】如图，E为平行四边形外一点，且满足，，，．若点M，N分别在线段，上，连接，当时，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，轴对称与最短路径，的直角三角形的性质，勾股定理，利用轴对称作辅助线是解题的关键．
作点E关于的对称点，连接，构造平行四边形，连接，作于点H，确定的最小值为EG的长，再利用的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，构造平行四边形，连接，
则，且点G为定点，
∴，即的最小值为EG的长．
作于点H，
∵点E与关于AB对称，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，即的最小值为．
故答案为：．
【变式训练6-6】如图，是线段上一点，△ADE和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】延长，则是等边三角形，利用证明，有，则四边形是平行四边形，那么，为的中点，设的中点分别为，则，当点在上运动时，在上运动，当点与重合时，即，则三点共线，取得最小值，此时，则，可求得，即可求得和则有其最小值．
【详解】解：如图所示，延长交于点Q，

依题意
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
则为的中点
如图所示，

设的中点分别为，
则
∴当点在上运动时，在上运动，
当点与重合时，即，
则三点共线，取得最小值，此时，
则，
∴到的距离相等，
则，
此时
此时和的边长都为2，则最小，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
题型七：平行四边形的性质与判定多结论问题
【经典例题7】如图，是的对角线，过点作交于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用上述性质逐一判断即可解答，熟练利用相关性质是解题的关键．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，故②正确；
，
而不一定等于，故③错误；
，，
，
故平分的周长，故④正确；
如图，过点作，并延长交于点，
，
，
则，
，
，故⑤正确，
故正确的有４个，
故选；C．
【变式训练7-1】如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F， 连接， 若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明
．
证明，得到，进而得到，推出四边形是平行四边形；得到，进一步推出是平行四边形，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，即：，
又，
∴，
∴；故①正确；
∴，
∴四边形是平行四边形；故④正确；
∴，
∴即：；故②正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故③正确；
综上，正确的有4个；
故选：D
【变式训练7-2】如图，已知和是一对全等的等腰直角三角形，，，，点在边上（不与点重合），延长到点，使得，过点作交于点，垂足为，连接．下列结论正确的选项是（ ）
①；②；③；④
A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④
【答案】D
【分析】根据正方形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理依次判定选项即可．
【详解】解：∵和是一对全等的等腰直角三角形，
∴，四边形是正方形，
∵，，，
∴，故①正确；
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
连接，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，故③错误；
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，选项①②④正确，
故选：D．
【变式训练7-3】如图，在△ABC中，，，，，，△BCF都是等边三角形，下列结论中：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④．
正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理证得，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④错误；即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且，
∴，故①正确；
∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
在△ABC与中，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴四边形是平行四边形，故②正确；
∴，故③正确；
过A作于G，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴，故④错误；
∴正确的有3个，
故选：C．
【变式训练7-4】如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，即可判断①，证明，利用三角形的中位线性质可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，，
，
∵平分，
，
，
∴为等边三角形故①正确；
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴，故④正确；
综上成立的个数是个，
故选：．
【变式训练7-5】如图，在△ABC中，，，，，，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②③正确；然后由平行四边形的性质得，则④错误；最后求出，故⑤错误；即可得出答案．
【详解】解：，，，
是直角三角形，
，故①正确；
，△ACF都是等边三角形
和都是等边三角形
，，
在△ABC与中
，故②正确；
同理可证：
四边形是平行四边形，故③正确；
，故④错误；
过作于，如图所示：

则
四边形是平行四边形
，故⑤错误．
综上所述，正确的是①②③，共3个．
故选：B
【变式训练7-6】如图，△ABC是等边三角形，F、G分别为和的中点，D在线段上，连接，以为边作等边，的延长线交于H， 连接． 则以下结论：①；②；③；④当D在线段上（不与G点重合）运动时，．其中正确的结论个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由三线合一即可判断结论①；由等边三角形的性质可得，，利用邻补角互补可得，进而可得，由多边形内角和公式可得，然后根据即可判断结论②；连接，由、分别为和的中点可得，，进而可得，再结合，于是可得是等边三角形，则，，利用邻补角互补可得，由可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，由此即可判断结论③；根据线段之间的和差关系可得，再利用等量代换即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论．
【详解】解：是等边三角形，点F是的中点，
，
故结论①正确；
和是等边三角形，
，，，
，
，
又，
，
故结论②错误；
如图，连接，
、分别为和的中点，
，，
，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
故结论③正确；
，
即：，
故结论④正确；
综上，正确的结论有：，共个，
故选：．
题型八：平行四边形的性质和判定综合证明
【经典例题8】如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若．求线段长．
【答案】(1)见解析(2)4
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接，根据平行四边形的性质可得，根据已知证得，从而证得结论；
（2）根据勾股定理求出，然后求得，进而求出．
【详解】（1）证明：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式训练8-1】如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．
【答案】(1)见解析(2)26
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再根据勾股定理求出的长，再求出，求解即可．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，，，
，
，
，
，即，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长．
【变式训练8-2】如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，，，求的面积．
【答案】(1)见解析 (2)的面积是．
【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得，，因为延长至点E，使，所以，，则四边形是平行四边形；
（2）连接，由的对角线与相交于点O，得，由平分，得，由，得，则，所以，则，所以，求得，则．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵延长至点E，使，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
∵的对角线与相交于点O，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积是．
【变式训练8-3】如图，在的对角线上依次取点、，且，作，分别交边、于点G、H．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．
（1）证明，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，则，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后由平行线的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式训练8-4】如图，在中，，是上的点，连接，，，，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
（1）先根据平行四边形的性质得到，，然后根据．得到，即可证明结论；
（2）根据，得出，，，结合，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解；
【详解】（1）证明：如图，连结，交于点．
是平行四边形，
，，
又，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，，，
，
在中，，
在中，，
是平行四边形，
．
【变式训练8-5】如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）结合平行四边形的性质，利用“”证明全等即可；
（2）由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再由勾股定理得到，从而得出，证明四边形为平行四边形，得到，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，，，
∵E、F分别为边、的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，E为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∵E、F分别为边、的中点，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
【变式训练8-6】如图，在中，平分交于点，平分交于点．
(1)若，，求的长；
(2)连接和相交于点G，和相交于点，求证：和互相平分．
【答案】(1)4 (2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定，角平分线的定义；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由平行线的性质得出，由已知得出，得出，证出，即可得出答案；
（2）证明四边形是平行四边形，得出，证出四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，得出，得出四边形是平行四边形，即可得出和互相平分．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴和互相平分．
题型九：平行四边形中动点问题
【经典例题9】如图，，、是边上的两点，且，，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在上取点，使，进而得出为的中位线，将的最小值转化为的最小值，最后根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：在上取点，使，连接，如图所示，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴．
过点作的垂线，垂足为，
则当点在点处时，取得最小值，即为的长．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴MN，
则的最小值为，
∴的最小值为．
故选：B．
【变式训练9-1】如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ）
A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动，
∴运动时间为（秒），
，的速度为每秒，到达的时间为（秒），
当在点以及点的左边时，即时，，
当在的右边时，即时，，
以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
①当四边形为平行四边形时，，，
∴，
解得：；
②当四边形为平行四边形时，，，
∴，
解得，
综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故选：C．
【变式训练9-2】如图，在平面直角坐标系中，，E是的中点，，点A坐标是，所在的直线的函数关系式为，点P是上的一个动点．
(1)点D的坐标是 ，点E的坐标是 ．
(2)当点P在线段上运动过程中，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求的长；
【答案】(1)， (2)1或11
【分析】（1）根据，且，得到点D的纵坐标为4，设，根据题意，得，确定，过点D作轴于点N，得到，根据直线的解析式，得到于是得到，得到根据E是的中点，，得到，于是于是，得到
．
（2）设，，点，，根据平行四边形的性质，分为对角线，为对角线，结合中点坐标公式解答即可．
【详解】（1）解：∵，且，
∴点D的纵坐标为4，设，
∵所在的直线的函数关系式为，
∴，
解得，
∴，
过点D作轴于点N，
∴，
∵直线的解析式，
∴∴，
∴，
∵E是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
设，，点，，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
解得： ，
∴，
∴．
设，，点，，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
解得： ，
∴，
∴．
综上所述，的长为1或11．
【变式训练9-3】如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．

(1)在点，运动过程中，___________，___________；
(2)连接，，若与互相平分，求此时的值；
(3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)(3)存在，有两种情况；
点在线段上，
点在线段的延长线上，
【分析】（1）根据，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，列出代数式即可解决；
（2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解答；
（3）有两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程解答即可．
【详解】（1）解：，点从点出发，以的速度向点运动，
，
，
，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，
，
故答案为：，；
（2）解：若与互相平分，则是平行四边形，
，
即，
解得：；
（3）解：存在，理由如下：
点在线段上，
当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，，
即，
解得；
点在线段的延长线上，
当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，，
即，
解得；
综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．

【变式训练9-4】如图，四边形是平行四边形，其中点A坐标是，点O坐标是，点C坐标是．
(1)求点B的坐标；
(2)已知点D是线段上一个动点，若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标；
(3)已知直线：正好将平行四边形分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式．
【答案】(1) (2)或 (3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据题意求出，根据平行四边形的性质得到，于是得到点B的坐标；
（2）设，根据当，当，和三种情况分类讨论即可；
（3）连接交于，根据平行四边形的性质得到，求得，即可得到结论．
【详解】（1）解：点A坐标是，点O坐标是，
，
平行四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）解：点是线段上一个动点，
设，
是等腰三角形，
①当时，
，
；
②当时，则点在的垂直平分线上，
；
③时，
，
（不符合题意，舍去），
综上所述，或；
（3）解：如图：连接交于，
平行四边形，
点A坐标是，点坐标是，
，
由于正好将平行四边形分成面积相等的两部分，
直线过，
，
，
故．
【变式训练9-5】如图，四边形是平行四边形，，，是的中位线，G为上一动点，H为上一动点，点G以的速度从C点向B点运动，同时点H以的速度从D点向C点运动，用表示时间．当t为何值时，四边形是平行四边形？
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据题意得出点G和点H分别同时运动到的中点时，四边形是平行四边形，即可得到答案．
【详解】解：若四边形是平行四边形，
则，，
∵是的中位线，
∴，
∴，
此时点G和点H分别同时运动到的中点，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∴点G运动到的中点所需时间，
同理，点H运动到的中点所需时间，
∴时，点G和点H分别同时运动到的中点，
∴时，四边形是平行四边形．
题型十：平行四边形中综合压轴题
【经典例题10】如图1，四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接和．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，将沿直线翻拆点刚好落在线段的中点处，延长与的延长线相交于点，并且和交于点，试求线段、、之间的数量关系；
(3)如图3，将沿直线翻折，点刚好落在线段上的点处，若，，且，求的面积．
【答案】(1)见解析 (2) (3)
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据平行四边形性质可得，进而得到，再根据四边形是平行四边形，和翻折性质可得，即可求解
（3）根据平行四边形的性质证明，可得，过点D作，可求，根据，可得，根据条件证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵延长至点，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由翻折性质可得： ，
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（3）解：∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点D作，如图，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
由翻折性质可得：，
∴，
由（2）可得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
【变式训练10-1】点O在凸四边形内，，，，．
(1)如图1，若交于点E．
①求证：；
②求证：；
(2)如图2，M为的中点，连接并延长交于点N，求的值．
【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析； (2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，垂直的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）①由，，得到，再得到，证明，即可得出结论；
②设与交于点，由，得到，进一步得到，即可得出结论；
（2）在的延长线上取， 证明四边形为平行四边形，得到，再得到，证明，得到，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
②设与交于点，如图：
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在的延长线上取，如图：
∵M为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式训练10-2】综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．
(1)【观察发现】如图1，若，，，求的长；
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
【答案】(1) (2)见解析
【分析】（1）由折叠的性质可得，则，由三角形外角性质得，所以，再利用勾股定理得，然后由，求得，即可求解．
（2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：由折叠知，
．
．
，
．
．
由勾股定理得，，
．
．
．
．
（2）证明：由折叠知，，．
，
，
，
，
，
∵，
∴，，
，
，
，
，点在延长线上，
，
，
．
，
，
四边形是平行四边形．
【变式训练10-3】课本再现
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，．
知识应用
（2）在△ABC中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得到，证明，即可证明；
（2）过点作交于，连接，则，先证明是等边三角形，得到，，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到互相平分，则，证明，得到，则．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图所示，过点作交于，连接，
，
，
，即，
△ADE是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
互相平分，
点为的中点，
三点共线，
，
在中，
，
，
，
．
【变式训练10-4】在四边形中，对角线，交于点O．
(1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交，于点E，F（如图2），求证：四边形是平行四边形；
(3)如图3，若，过点D作，，连接，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)13
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）先根据平行线的判定可得，再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；
（3）连接，先证出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据等量代换可得，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）已证：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
所以的最小值为13．
【变式训练10-5】已知.
(1)如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____；
(2)如图2，若以为斜边作等腰直角△BCF，且点恰好在边上，过作交于，连接.
①依题意将图2补全；
②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系.
【答案】(1)(2)①作图见解析；②；理由见解析(3)
【分析】（1）作于点I，利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可；
（2）①依照题意补全图形即可；
②延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明；
（3）连接，作并交的延长线于点K，推出四边形是平行四边形，得到是直角三角形，，求得即可解决问题．
【详解】（1）解：解：作于点I，
由题意得，是边长为4的等边三角形，
∴，
∴，
∴此时的面积为，
故答案为：；
（2）解：①补全图形如图，
②；理由如下，
延长交的延长线于点H，延长交于点J，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．
连接，作并交的延长线于点K，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即是直角三角形，
∵四边形是平行四边形，且，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即．
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专题4.4 平行四边形的判定定理十大题型（一课一讲）
（内容：平行四边形的判定及应用）
【浙教版】
题型一：判断能否构成平行四边形
【经典例题1】下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练1-1】根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练1-3】下列命题中，正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
【变式训练1-4】在四边形中，对角线与相交于O点，给出五组条件：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），；
（5），．
能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式训练1-5】下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练1-6】如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：添一个条件使得为平行四边形
【经典例题2】如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中是的中点，添加一个条件： ，使四边形是平行四边形．
【变式训练2-2】如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ．
【变式训练2-3】如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）．
【变式训练2-4】如图，四边形中，，，的平分线交于点．
(1)求的度数；
(2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件．
题型三：数图形中平行四边形的个数
【经典例题3】如图所示，在△ABC中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练3-1】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练3-2】如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．11个
【变式训练3-3】如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个．
【变式训练3-4】根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ．
【变式训练3-5】如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．

题型四：求与已知三点组成平行四边形的个数
【经典例题4】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（ ）个
A． B． C． D．无数
【变式训练4-1】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ．
【变式训练4-2】如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)在网格中画出；
【变式训练4-3】如图，在方格网中已知格点△ABC和点．
(1)画和△ABC关于点成中心对称；
(2)请在方格网中画出以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点．（画出一个即可）
【变式训练4-4】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)画出△ABC关于点的中心对称图形，并写出点的坐标；
(2)若四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【变式训练4-5】如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，△ABC的三个顶点都在网格中的格点上．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置．
题型五：利用平行四边形的性质与判定求线段长度
【经典例题5】如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式训练5-1】如图，在中，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长是（　　）
A．1 B．2 C． D．
【变式训练5-2】如图，在中，，，为等边三角形，△ABC的边与的边均在直线上，且点与点到直线的距离相等，若，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．3 D．4
【变式训练5-3】如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【变式训练5-4】如图，点 E 为的对角线AC 上一点， ，连接并延长至点 F，使得，连接，则为
【变式训练5-5】如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ．
【变式训练5-6】如图，梯形中，，，平分，，，则 ，梯形的周长为 ．
题型六：平行四边形的性质与判定综合之最值问题
【经典例题6】如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
【变式训练6-1】如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是边上的点，且满足，M是边上的一动点，以M，D，E为顶点，为对角线构造．若，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．4
【变式训练6-2】如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点，分别在轴，轴上，，两点坐标分别为，，线段在边上移动，保持，则的最小值 ．
【变式训练6-3】如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ．
【变式训练6-4】如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ．
【变式训练6-5】如图，E为平行四边形外一点，且满足，，，．若点M，N分别在线段，上，连接，当时，连接，，则的最小值为 ．
【变式训练6-6】如图，是线段上一点，△ADE和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则的最小值为 ．
题型七：平行四边形的性质与判定多结论问题
【经典例题7】如图，是的对角线，过点作交于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练7-1】如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F， 连接， 若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练7-2】如图，已知和是一对全等的等腰直角三角形，，，，点在边上（不与点重合），延长到点，使得，过点作交于点，垂足为，连接．下列结论正确的选项是（ ）
①；②；③；④
A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④
【变式训练7-3】如图，在△ABC中，，，，，，△BCF都是等边三角形，下列结论中：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④．
正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练7-4】如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练7-5】如图，在△ABC中，，，，，，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练7-6】如图，△ABC是等边三角形，F、G分别为和的中点，D在线段上，连接，以为边作等边，的延长线交于H， 连接． 则以下结论：①；②；③；④当D在线段上（不与G点重合）运动时，．其中正确的结论个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型八：平行四边形的性质和判定综合证明
【经典例题8】如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若．求线段长．
【变式训练8-1】如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．
【变式训练8-2】如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，，，求的面积．
【变式训练8-3】如图，在的对角线上依次取点、，且，作，分别交边、于点G、H．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)若，，求的度数．
【变式训练8-4】如图，在中，，是上的点，连接，，，，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的长．
【变式训练8-5】如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
【变式训练8-6】如图，在中，平分交于点，平分交于点．
(1)若，，求的长；
(2)连接和相交于点G，和相交于点，求证：和互相平分．
题型九：平行四边形中动点问题
【经典例题9】如图，，、是边上的两点，且，，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练9-1】如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ）
A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒
【变式训练9-2】如图，在平面直角坐标系中，，E是的中点，，点A坐标是，所在的直线的函数关系式为，点P是上的一个动点．
(1)点D的坐标是 ，点E的坐标是 ．
(2)当点P在线段上运动过程中，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求的长；
【变式训练9-3】如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．

(1)在点，运动过程中，___________，___________；
(2)连接，，若与互相平分，求此时的值；
(3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由．
【变式训练9-4】如图，四边形是平行四边形，其中点A坐标是，点O坐标是，点C坐标是．
(1)求点B的坐标；
(2)已知点D是线段上一个动点，若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标；
(3)已知直线：正好将平行四边形分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式．
【变式训练9-5】如图，四边形是平行四边形，，，是的中位线，G为上一动点，H为上一动点，点G以的速度从C点向B点运动，同时点H以的速度从D点向C点运动，用表示时间．当t为何值时，四边形是平行四边形？
题型十：平行四边形中综合压轴题
【经典例题10】如图1，四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接和．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，将沿直线翻拆点刚好落在线段的中点处，延长与的延长线相交于点，并且和交于点，试求线段、、之间的数量关系；
(3)如图3，将沿直线翻折，点刚好落在线段上的点处，若，，且，求的面积．
【变式训练10-1】点O在凸四边形内，，，，．
(1)如图1，若交于点E．
①求证：；
②求证：；
(2)如图2，M为的中点，连接并延长交于点N，求的值．
【变式训练10-2】综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．
(1)【观察发现】如图1，若，，，求的长；
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
【变式训练10-3】课本再现
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，．
知识应用
（2）在△ABC中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论
【变式训练10-4】在四边形中，对角线，交于点O．
(1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交，于点E，F（如图2），求证：四边形是平行四边形；
(3)如图3，若，过点D作，，连接，求的最小值．
【变式训练10-5】已知.
(1)如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____；
(2)如图2，若以为斜边作等腰直角△BCF，且点恰好在边上，过作交于，连接.
①依题意将图2补全；
②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系.
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