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第四单元分数的意义和性质（知识梳理+拔高训练）二
知识梳理
知识点01：分数的意义
1、一个物体、几个物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”：一个整体可以用自然数 1 来表示，通常把它叫做单位“1”。 （也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如的分数单位是。
4、分数与除法
（B≠0，除数不能为 0，分母也不能够为0） 例如：。
知识点02：真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数，真分数<1。
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数，假分数≧1。
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数，带分数＞1。
4、真分数＜1≤假分数，真分数＜1＜带分数。
5、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子；
（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子；
（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变；
（4）1等于任何分子和分母相同的分数。
知识点03：分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。
知识点04：最简分数、约分和通分
1、最简分数：分数的分子和分母只有公因数 1，像这样的分数叫做最简分数。一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。
2、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
3、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。
知识点05：分数和小数的互化
1、小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是 10；两位小数，分母是100……
2、分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是 10、100、1000……
方法二：用分子÷分母
3、带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数
知识点06：比较分数的大小
1、分母相同，分子大，分数就大；
2、分子相同，分母小，分数才大。
3、分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
4、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
知识点07：两个数互质的特殊判断方法
① 1和任何大于1的自然数互质；
② 2和任何奇数都是互质数。；
③ 相邻的两个自然数是互质数；
④ 相邻的两个奇数互质；
⑤ 不相同的两个质数互质；
⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。
知识点08：求最大公因数的方法
① 倍数关系：最大公因数就是较小数；
② 互质关系：最大公因数就是1 ；
③ 一般关系：从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。
拔高训练
一、填空题（共20分）
1．（2分）一个正方形的骰子，任意甩一次，出现点数是6的可能性是( )，出现偶数点数可能性是( )。
2．（2分）把5千克面粉平均分成3份做蜂蜜面包、奶油面包、椰子面包，则做奶油面包的面粉重( )千克，做椰子面包的面粉占5千克面粉的( )。
3．（2分）在中，当a( )时，它是真分数；当a( )或( )，它是假分数。
4．（2分）修路队8天修路4千米，平均每天修这条路的( )，平均每天修( )千米。（填分数）
5．（2分）把一张长30cm，宽24cm的长方形纸剪成大小相同的正方形（无剩余），一个正方形的面积最大是( )cm2，最少可以剪( )个这样的正方形。
6．（2分）（x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有( )种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是( )。
7．（2分）口袋中有7个蓝球、3个白球，这些球除颜色外完全相同。从中任意摸出1个球，摸到绿球的可能性是（ ），摸到白球的可能性是，摸到蓝球的可能性是。
8．（2分）五（2）班的学生人数在40~50之间，分成学习小组，按4人一组或6人一组，都能正好分完，五（2）班有( )人。
9．（2分）分数的分子加上45，要使分数值不变，那么分母应加上( )。
10．（2分）一堆煤重30吨，12天烧完，平均每天烧( )吨（用假分数表示），每天烧这堆煤的( )。
二、判断题（共10分）
11．（2分）分数的分子和分母同时乘或除以一个数，分数大小不变。( )
12．（2分）四年级人数的一定多于五年级人数的。( )
13．（2分）在写着1~10这些数的10张卡片中任意摸出一张，摸到偶数的可能性是。( )
14．（2分）A＝2×3×7，B＝2×3×3，A和B的最小公倍数是126。( )
15．（2分）b、c都是自然数，且b÷c＝5，则b、c的最大公因数是c。( )
三、选择题（共10分）
16．（2分）跑同样长的一段路，甲要小时，乙要小时，丙要0.4小时，速度最快的是（ ）。
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法比较
17．（2分）2023年第一季度的天数占全年的（ ）。
A． B． C． D．
18．（2分）下面图形中的阴影部分不可以用表示的是（ ）。
A． B．
C． D．
19．（2分）把的分母增加18后，要使原分数的大小不变，分子应该（ ）。
A．增加14 B．增加18 C．除以14 D．无法确定
20．（2分）五（1）班42名学生和五二班54名学生参加社会实践植树活动，按要求分组。如果两个班每组的人数相同，那么每组最多有（ ）人。
四、计算题（共12分）
21．（6分）求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
18和24 15和25 11和19
22．（6分）把下面的假分数化成整数或带分数。

五、作图题（共6分）
23．（6分）下列分数中哪些在直线上能用同一个点表示？把它们在直线上表示出来。

六、解答题（共42分）
24．（6分）一棵纺锤树最粗部分的直径为5米，一张桌子的宽为1米。桌子的宽度是这棵纺锤树最粗部分直径的几分之几？
25．（6分）体育课上，进行跑步训练，绕操场跑1圈，张华用了2.17分钟，李明用了分钟，谁跑的更快一些？为什么？
26．（6分）实验小学准备选派五年级的一些同学参加公益活动，要求人数在30－50之间，把这些同学按8人一组或12人一组分都能正好分完。参加这次公益活动的同学有多少人？
27．（6分）张叔叔有两根木棒，一根长54分米，另一根长24分米，现在需要把它们截成同样长的小棒，且不能有剩余，每根小棒最长是多少分米？一共可以截成多少段？
28．（6分）学校篮球社团有高、中、低三个年级组，中年级组有32人，比高年级组少4人，比低年级组多6人。中年级组人数是高年级组的几分之几？低年级组的人数占篮球社团总人数的几分之几？
29．（6分）小明把一块蛋糕平均切成3块，吃去其中一块；小华把一块同样大的蛋糕平均切成9块，吃去其中3块，他们两人谁吃的蛋糕多？
30．（6分）4个是几分之几？在图中涂色表示。
参考答案
1．
【分析】正方体的骰子，6个面的点数都不相同，任掷一次，可能出现的点数是：1、2、3、4、5、6，共6种可能，出现点数6的可能性是（1÷6）；
正方体骰子的偶数点数有：2、4、6，共有3个数字，出现偶数点数的可能性是（3÷6）。
【详解】1÷6＝
偶数点数有：2、4、6，共有3个；
3÷6＝
出现点数是6的可能性是，出现偶数点数可能性是。
2．
【分析】根据除法的意义，用面粉的重量除以3即可求出做奶油面包的面粉的重量；把面粉的重量看作单位“1”，平均分成3份，则做椰子面包的面粉占5千克面粉的。据此填空即可。
【详解】5÷3＝（千克）
1÷3＝
则做奶油面包的面粉重千克，做椰子面包的面粉占5千克面粉的。
3． 小于7 等于7 大于7
【分析】分子小于分母的分数就是真分数；分子等于或大于分母的分数就是假分数；据此解答即可。
【详解】在中，当a小于7时，它是真分数；当a等于7或大于7，它是假分数。
4．
【分析】求平均每天修这条路的几分之几，平均分的是单位“1”，求分率，用1÷8解答；求平均每天修的长度，平均分的是具体的数量4千米，求的是具体的数量，用4÷8解答。
【详解】1÷8＝
4÷8＝（米）
修路队8天修路4千米，平均每天修这条路的，平均每天修米。
5． 36 20
【分析】求出长和宽的最大公因数就是最大正方形的边长，根据正方形面积＝边长×边长，求出最大正方形的面积；再根据长方形面积＝长×宽，长方形面积÷正方形面积＝剪成的个数。据此解答即可。
【详解】30＝2×3×5
24＝2×2×2×3
30和24的最大公因数是2×3＝6
6×6＝36（cm2）
30×24＝720（cm2）
720÷36＝20（个）
则一个正方形的面积最大是36cm2，最少可以剪20个这样的正方形。
6． 7/七 8
【分析】根据真分数的意义：分子小于分母的分数叫做真分数；是真分数，x小于8；假分数的意义：分子大于或等于分母的分数叫做假分数，x大于或等于8；据此解答。
【详解】是真分数，x可能是1，2，3，4，5，6，7，一共有七种填法；
是假分数，x最小，分子等于分母，x是8。
（x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有7种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是8。
7．0；；
【分析】口袋中有7个蓝球、3个白球，0个绿球，一共有10个球。可能性＝所求事件出现的可能结果个数÷所有可能发生的结果个数，据此分别用0、7、3除以球的总个数，即可求出摸到绿球、蓝球和白球的可能性。
【详解】7＋3＝10（个）
0÷10＝0
3÷10＝
7÷10＝
则摸到绿球的可能性是0，摸到白球的可能性是，摸到蓝球的可能性是。
8．48
【分析】根据题意，五（2）班学生无论分成4人一组还是6人一组，都正好分完，那么全班人数一定是4和6的公倍数，先求出4和6的最小公倍数，然后再找出其中40到50之间的公倍数即可解答。
【详解】
即4和6的最小公倍数是12，12的倍数有12，24，36，48，60…，其中40到50之间的公倍数是48，所以五（2）班有48人。
9．55
【分析】分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。求出分子变化后分子相当于乘几，那么分母也要乘几，再求出变化前后分母的差是多少，即为答案。
【详解】9＋45＝54
54÷9＝6
6×11＝66
66－11＝55。
分数的分子加上45，要使分数值不变，那么分母应加上55。
10．
【分析】根据除法的意义，用煤的总吨数除以12，即可求出平均每天烧多少吨；把煤的总吨数看作单位“1”，12天烧完，根据分数的意义，每天烧这堆煤的。
分数与除法的关系：分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。据此用假分数表示平均每天烧的吨数，并化成最简分数。
【详解】30÷12＝＝（吨），平均每天烧吨；
根据分数的意义，每天烧这堆煤的。
11．×
【分析】根据分数的基本性质可知：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。据此解答。
【详解】根据分析可得，分数的分子和分母同时乘或除以一个不为零的数，分数大小不变。比如，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查分数的基本性质，学生应熟练掌握。
12．×
【分析】根据分数的意义，把一个整体平均分成几份，取其中的1份，表示为几分之一。四年级人数的表示把四年级总人数看成一个整体，平均分成2份，其中的1份是多少人；五年级人数的表示把五年级总人数看成一个整体，平均分成4份，其中的1份是多少人；因为不能确定四年级和五年级每个年级的总人数是多少，所以也无法确定四年级人数的和五年级人数的各表示多少人，据此解答。
【详解】由分析可知，因为不知道四年级的总人数和五年级的总人数分别是多少，所以四年级人数的和五年级人数的，无法进行比较，原题说法错误；
故答案为：×
13．×
【分析】1~10这10张卡片中，偶数有2，4，6，8，10共5张，根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答即可。
【详解】在1~10这10张卡片中，偶数有2，4，6，8，10共5张，
5÷10＝
在写着1~10这些数的10张卡片中任意摸出一张，摸到偶数的可能性是。所以原题说法错误。
故答案为：×
14．√
【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数；全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数；据此解答。
【详解】A和B的最小公倍数是：
2×3×3×7
＝6×3×7
＝18×7
＝126
A和B的最小公倍数是126，原题说法正确；
故答案为：√
15．√
【分析】求两个数的最大公因数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1；
如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数；
如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积；据此解答。
【详解】因为b÷c＝5
则b和c是倍数关系，所以b、c的最大公因数是c，原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查了求最大公因数的方法，熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。
16．C
【分析】跑同样长的一段路，谁用的时间短，则表示谁的速度就快。据此解答即可。
【详解】因为＝0.75，＝0.5
则＞＞0.4，即丙用的时间最少，所以速度最快的是丙。
故答案为：C
【点睛】本题考查分数化小数，明确分数化小数的方法是解题的关键。
17．B
【分析】根据平年和闰年的判定方法，用2023除以4，能整除的就是闰年，有余数就是平年；平年的2月有28天，全年365天；闰年的2月有29天，全年366天。
第一季度包括1、2、3月，其中1、3月是大月有31天，把1、2、3月的天数相加，再除以全年的天数即可求解。
【详解】2023÷4＝505……3
有余数，所以2023年是平年，2月有28天，全年365天。
（31＋28＋31）÷365
＝90÷365
＝
2023年第一季度的天数占全年的。
故答案为：B
【点睛】本题考查分数与除法的关系，掌握平年和闰年的判定方法，明确求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算，计算结果能约分的要约成最简分数。
18．C
【分析】把一个物体或一些物体平均分成2份，涂其中的1份即可用分数表示，据此逐一分析各项即可。
【详解】A．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成8份，涂其中的4份，可以用分数＝表示，不符合题意；
B．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成2份，涂其中的1份，可以用分数表示，不符合题意；
C．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成12份，涂其中的8份，用分数＝表示，符合题意；
D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成2份，涂其中的1份，可以用分数表示，不符合题意。
故答案为：C
【点睛】本题考查分数的意义，明确分数的意义是解题的关键。
19．A
【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；的分母加上18，相当于把分母乘3，要使分数的大小不变，分子应乘3。据此解答。
【详解】9＋18＝27
27÷9＝3
7×3－7
＝21－7
＝14
把的分母增加18后，要使原分数的大小不变，分子应该增加14或乘3。
故答案为：A
【点睛】本题考查了分数的基本性质的应用，掌握相应的知识点是解答本题的关键。
20．A
【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。求出两个班人数的最大公因数，就是每组最多人数。
【详解】42＝2×3×7
54＝2×3×3×3
2×3＝6（人）
每组最多有6人。
故答案为：A
【点睛】关键是理解最大公因数的意义，掌握最大公因数的求法。
21．最大公因数6；最小公倍数72；最大公因数5；最小公倍数75；最大公因数1；最小公倍数209
【分析】把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
【详解】（1）
18和24的最大公因数：2×3＝6
18和24的最小公倍数：2×3×3×4＝72
（2）
15和25的最大公因数：5
15和25的最小公倍数：5×3×5＝75
（3）11和19的最大公因数：1
11和19的最小公倍数：11×19＝209
22．；；3；；；；2
【分析】假分数化成带分数只要把分子除以分母，商作带分数的整数部分，余数是分子，分母不变，如果没有余数，则直接用整数表示，据此解答。
【详解】15÷2＝7……1
＝
8÷5＝1……3
＝
21÷7＝3
＝3
50÷9＝5……5
＝
43÷12＝3……7
＝
69÷20＝3……9
＝
30÷15＝2
＝2
23．见详解
【分析】把这几个分数中不是最简分数的分数化简，再看与哪个最简分数相等，相等的分数即可用数轴上同一点表示出来。能在直线上用同一个点表示的分数大小相等，据此解答。
【详解】由分析可得：
＝
＝
＝
＝
作图如下：
24．
【分析】桌子的宽度÷这棵纺锤树最粗部分的直径＝桌子的宽度是这棵纺锤树最粗部分直径的几分之几，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，据此列式解答。
【详解】1÷5＝
答：桌子的宽度是这棵纺锤树最粗部分直径的。
25．张华；因为他用时少
【分析】用时越少的同学跑得快；分数和小数比较：可以将分数化为小数，再按照小数比较大小的方法进行比较；小数的大小比较必须先比较整数部分，若整数部分不同，整数部分按照整数比较大小的方法来比较，若整数部分相同，先比较小数部分的十分位，若十分位上的数字相同，再比较百分位，依此类推。
【详解】＝
2.17＜
所以2.17＜
答：张华跑的更快一些，因为他用时少。
【点睛】本题主要考查了分数和小数比较大小的方法，掌握相应的方法是解答本题的关键。
26．48人
【分析】这些同学按8人一组或12人一组分都能正好分完，说明总人数是8和12的公倍数，求出8和12的最小公倍数，再推算出在30和50之间的公倍数即可。
【详解】8＝2×2×2
12＝2×2×3
2×2×2×3＝24（人）
24×2＝48（人）
30＜48＜50
答：参加这次公益活动的同学有48人。
【点睛】关键是理解公倍数和最小公倍数的意义，掌握公倍数和最小公倍数的求法。
27．6分米；13段
【分析】把长度分别为54分米24分米的两根木棒截成长度一样的小棒且没有剩余。求每根小棒最长是多少分米，就是求54和24的最大公因数，最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，也就是6分米，然后用54÷6和24÷6即可求出两条木棒各自截成的根数，最后相加即可。
【详解】54＝2×3×3×3
24＝2×2×2×3
54和24的最大公因数是：2×3＝6
54÷6＝9（段）
24÷6＝4（段）
9＋3＝13（段）
答：每根小棒最长是6分米，一共可以截成13段。
【点睛】本题考查了最大公因数的求法和应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。
28．；
【分析】中年级组人数＋4＝高年级组人数，中年级组人数－6＝低年级组人数，中年级组人数÷高年级组人数＝中年级组人数是高年级组的几分之几；低年级组的人数÷总人数＝低年级组的人数占篮球社团总人数的几分之几。
【详解】（人）
（人）
答：中年级组人数是高年级组的，低年级组的人数占篮球社团总人数的。
【点睛】关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
29．一样多
【分析】两块蛋糕同样大，则把一块蛋糕看作单位“1”，根据分数的意义，小明把一块蛋糕平均切成3块，吃去其中一块，也就是吃了蛋糕的；小华把一块同样大的蛋糕平均切成9块，吃去其中3块，也就是吃了蛋糕的；根据分数的基本性质，可知＝，由此可得他们吃的蛋糕同样多。
【详解】小明吃了蛋糕的；小华吃了蛋糕的；
＝
＝
答：他们吃的蛋糕同样多。
【点睛】本题主要考查了分数的意义以及分数的基本性质，掌握相应的知识点是解答本题的关键。
30．图见详解；
【分析】把一个圆看作单位“1”，平均分成3份，其中1份表示，4个就是表示，涂4份即可解答。
【详解】（画法不唯一）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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