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3.1.2 事件的独立性
1.了解相互独立事件的概念.
2.掌握相互独立事件发生的概率计算公式，并能运用其求解简单的概率问题.
由条件概率公式可知，在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)和事件 B发生的概率 P(B)一般不相等.这时，事件A的发生影响了事件B发生的概率，但是在某些特定的条件下，确实有P(B|A)=P(B)的情况.该情况就是 P(AB)=P(A)P(B)，即在必修部分学习过的事件A与事件B独立。而且A与B独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B是否发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A是否发生的概率，那么，这个直观理解是如何得出的呢？
举例来讲，用A表示投掷一枚硬币得到正面，用B表示投掷一枚骰子得到点数6，则事件A与事件B独立. 事实上,若P(A)>0且P(AB)=P(A)P(B)时,由条件概率的计算公式有
即P(B|A)=P(B).
这就是说,此时事件B发生的概率与已知事件A发生时事件B发生的概率相等,也就是事件A的发生,不会影响事件B发生的概率.
反之,如果P(B|A)=P(B)成立,则
因此,当P(A)>0时,A与B独立的充要条件是P(B|A)=P(B).
这也就同时说明,当P(B|A)≠P(B)时,事件A的发生会影响事件B发生的概率,此时A与B是不独立的.事实上,“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等.
相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果
P(AB)=P(A)P(B)
成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．
若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)．
思考：必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立吗？
根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生．
由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A )=P( )=P(A)P( )成立．因此，必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立．
由事件的独立性定义，A与 相互独立.
对于A与
且AB与 互斥，
问题1：若事件A与B相互独立, A与 也相互独立吗？
问题2： 与B， 与 也相互独立吗？
归纳总结
1.必然事件 及不可能事件 与任何事件A相互独立；
2.若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
A与
与B
与
一般地，当n(n>2)个事件A1，A2，…，An相互独立时，有以下公式成立：P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
例1 一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
此时P(AB)≠P(A)P(B),
解：∵样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}，n(A)=6
B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，n(B)=6
AB={(1,2),(2,1)}，n(AB)=2
因此，事件A与事件B不独立.
判断两个事件相互独立的方法：
①定义法：P(AB)=P(A)P(B)；
②直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.
归纳总结
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,
乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：
（1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶； （4）至少有一人中靶.
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”, B= “乙脱靶”,
(1) AB = “两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB) =P(A)P(B) =0.8×0.9=0.72.
由已知得 P(A)=0.8，P(B)=0.9，P( A)=0.2，P( B)=0.1.
∴ A与B ，A与 B， A与 B也相互独立,
由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B相互独立，
(2)“恰好有一人中靶” =A B∪ AB, 且A B与 AB互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，
(3)事件“两人都脱靶” = A B，
得 P(A B∪ AB) =P(A B)＋P( AB) =P(A)P( B)＋P( A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
所以 P( A B) =P( A)P( B)=(1－0.8) × (1－0.9) =0.02.
(4)方法1：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶"，根据对立事件的性质得，事件“至少有一人中靶”的概率为
1－P( A B) =1－0.02 =0. 98.
方法2
∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”
∴事件“至少有一人中把”的概率为
求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
归纳总结
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．(　　)
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．(　　)
(3)若P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)…P(An)，则事件A1，A2，…，An相互独立．(　　)
√
√
×
2．甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是(　　)
A．0.3 B．0.63
C．0.7 D．0.9
3．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为(　　)
A．互斥 B．互为对立
C．相互独立 D．相等
B
C
事件的相互独立性
定义
性质
判断方法

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