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3.1.4—3.1.5
全概率公式与叶贝斯公式
1.结合古典概型，理解全概率公式，会利用全概率公式计算概率；
2.了解贝叶斯公式，能利用贝叶斯公式计算相关事件的概率.
1.条件概率
2.概率的乘法公式
思考：从有 a 个红球和 b 个篮球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为 . 那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
分析：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 .但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响. 下面我们给出严格的推导过程.
用 Ri 表示事件“第 i 次摸到红球”，Bi 表示事件“第 i 次摸到篮球”，i =1，2. 如图所示，事件 R2 可按第1次可能的摸球结果表示为两个互斥事件的并，即 .
P(R2 | R1)
P(B2 | R1)
P(R2 | B1)
P(B2 | B1)
利用概率的加法公式和乘法公式，得
上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与是互斥的，且
如右图所示，从而
当P(A)>0，且P()>0时，因为由乘法公式有
所以
一、全概率公式
若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
(1)任意两个事件均互斥，即AiAj= ，i，j=1，2，…，n，i≠j;
(2)A1+A2+…+An=Ω;
(3)P(Ai)>0，i=1，2，3，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B=BA1+BA2+…+BAn，且
上述公式称为全概率公式.
例1 甲、乙、丙三人向同一飞机进行射击，击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7. 如果一人击中飞机，飞机被击落的概率为0.2；两人击中飞机，飞机被击落的概率为0.6；三人击中飞机，飞机必被击落.求飞机被击落的概率．
解：以B表示事件“飞机被击落”，A0表示事件“三人均未击中飞机”，A1表示“三人中仅有一人击中飞机”，A2表示事件“三人中有两人击中飞机”，A3表示事件“三人同时击中飞机”．
根据题意有P(A0)＝(1－0.4)×(1－0.5)×(1－0.7)＝0.09，
P(A1)＝0.4×(1－0.5)×(1－0.7)＋0.5×(1－0.4)×(1－0.7)＋0.7×(1－0.4)×(1－0.5)＝0.36，
P(A2)＝0.4×0.5×(1－0.7)＋0.5×0.7×(1－0.4)＋0.4×0.7×(1－0.5)＝0.41，
P(A3)＝0.4×0.5×0.7＝0.14，P(B|A0)＝0，P(B|A1)＝0.2，
P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，
根据全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B |A1)＋ P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41 ×0.6＋0.14 ×1＝0.458.
归纳总结
(1)找出样本空间Ω的完备事件组A1，A2，…，An；
(2)求P(Ai)；
(3)求P(B|Ai)；
(4)求目标事件的概率P(B).
运用全概率公式的一般步骤：
已知某厂生产的食盐优质品率为90%，而且优质品中包装达标的占95%；非优质品中，包装达标的占80%.用A表示是优质品，B表示包装达标.
问题：(1)随机取一袋，发现这袋食盐包装达标且是优质品的概率是多少？
P(AB)=90%×95%=85.5%
(2)随机取一袋，发现这袋食盐包装达标的概率是多少？
P(B)=P(A)P(B|A)+ P()=90%×95%+(1-90%)×80%=93.5%.
(3)随机取了一袋，发现包装是达标的,那么这袋食盐是优质品的概率是多少？
用符号如何表示？
二、贝叶斯公式
一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有
解：用A表示生产线初始状态良好，B表示生产产品为合格品，
例2 某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%，而且，当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%，否则，第一件产品合格的概率为60%，某天生产线启动时生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率(精确到0.1% ).
从而因此由贝叶斯公式可知
P(A)，，
则由已知有
思考：同全概率公式一样，贝叶斯公式也可进行推广，其形式如何？
贝叶斯公式
若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，有
1. 现有12道四选一 的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25. 张君从这12道题中随机选择1题，他做对该题的概率为 .
0.7375
2.有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是( )
A.0.013 B.0.04 C.0.002 D.0.003
A
全概率公式
贝叶斯公式

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