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3.2.1 离散型随机变量及其分布
1.了解随机变量的意义，理解离散型随机变量的概念.
2.理解离散型随机变量分布列的概念.
3.掌握离散型随机变量分布列的性质及应用.
下述现象有哪些共同特点？
①某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1,2,3，…，10中的某一个数；
②抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1,2,3,4,5,6中的某一个数；
③新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女.如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某个数.
(1)对样本空间Ω中的每一个样本点，变量都有唯一的取值，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系.
(2)变量的取值是明确的，可以一一列举.
为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在34个省级行政区中，随机抽取6个进行突击检查，抽取到的省级行政区只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω.
(1)Ω中包含的样本点数目是多少？
(3)X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？
(2)设抽得的省级行政区中直辖市个数为X，列举出一个样本点，此时X的值唯一确定吗？对于每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？
对于不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中任意一个.
因为我国只有北京市、上海市、天津市、重庆市这4个直辖市，而且随机选取的是6个省级行政区，因此对样本空间Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值.
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.
随机变量的概念
表示：①大写英文字母X，Y，Z，…
②小写希腊字母ξ，η，ζ，…
取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合.
随机变量的取值由随机试验的结果决定.
例1：写出下列随机变量的取值范围，了解随机变量的两种类型.
(1)抛一枚均匀硬币，如果正面朝上，取Z=1:如果反面朝上，取Z=0；
(2)掷一个均匀的骰子，朝上的点数为Y；
(3)某网页在一天内(即24h内)被浏览的次数ξ；
(4)某品牌节能灯的寿命η(单位：h).
解：(1)Z的取值范围是{1,0}；
(2)Y的取值范围是{1,2,3,4,5,6}；
(3)ξ的取值范围是{0,1,2,3，…}=N；
(4)η的取值范围是[0,+∞).
第4个随机变量的取值范围与前3个有何不同？
离散型随机变量：其所有可能的取值，都可以一一列举出来.
连续型随机变量：其可取某一区间内的任意值，无法对其中的值进行一一列举.
特征：(1)可以用数值表示；
(2)实验之前可以确定可能出现的所有值；
(3)实验之前不能确定该次试验出现何值；
(4)试验的结果能一一列出.
已知随机变量X的取值范围是{0，1，2}，而且
P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.4，P (X=2)=0.4.
(1)求P(-1≤X≤1)与P(1≤X≤2)的值；
当-1≤X≤1时，X=0或1；当1≤X≤2，X=1或2.
P(1≤X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.6，
P(1≤X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=0.4+0.4=0.8;
当a，b给定时，只要检查0，1，2是否满足a≤X≤b就可以求出P(a≤X≤b)；
(2)如果a，b是给定的实数，则P(a≤X≤b)一定可以算出来吗？
已知随机变量X的取值范围是{0，1，2}，而且
P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.4，P (X=2)=0.4.
(3)类比函数的表示方法：表格法、解析法和图像法，那么可以如何直观地表示题中数据？
X 0 1 2
P 0.2 0.4 0.4
表格法
图像法
一般地，当离散型随机变量X的取值范围是 ，如果对任意 ，概率
都是已知的，则称X的概率分布是已知的．
(1)表格.
这个表格称为X的概率分布或分布列.
离散型随机变量的概率分布的表示：
(2)条形图.
思考：由P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.4，P(X=2)=0.4，X分布列如何表示？
抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示骰子向上一面的点数，则X的分布列为
问题：
(1)分布列中随机变量X取1，4，6时，对应的随机事件之间有什么关系？
(2)分布列中X分别取1，2，3，4，5，6时，它们的概率之和等于多少？
解：(1)X取1，4，6时，对应的随机事件是互斥的.
(2)概率之和为1.
离散型随机变量的分布列必须满足：
(1) ；
(2)
归纳总结
例2：一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2，3，4，5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3，4，5，6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的分布列．
解：依题意，η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11.
则有P(η＝5)＝＝，P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝，
P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝，P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝.
所以η的分布列为：
η 5 6 7 8 9 10 11
P
归纳总结
求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)写出X所有取值；
(2)求X取各个值的概率；
(3)列表得分布列.
例3：设随机变量X的分布列为P(x=k)=，k=1，2，3，4，其中c为常数，求P(＜X＜)的值.
解：由离散型随机变量分布列的性质可知：+++＝1，
解得c=，
因此P(＜X＜)=P(X=1)+P(X=2)=.
归纳总结
离散型随机变量分布列的性质的三个应用：
1.一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为( )
A. 所取球的个数
B.其中含红球的个数
C. 所取白球与红球的总数
D.袋中球的意数
B
2.设离散型随机变量X的分布列如下，

则p的值为( )
C
一、离散型随机变量的概念.
二、如何求离散型随机变量的分布列？
三、离散型随机变量的性质有哪些？

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