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3.2.3 离散型随机变量的数学期望
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.
2.理解离散型随机变量均值的性质.
3.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题.
问题 某射击手射击10次，所得环数分别是：6，6，6，6，7，7，7，8，8，9；平均环数是多少？
换个角度看问题，把环数看成随机变量的概率分布列：
换个角度看问题，把环数看成随机变量的概率分布列：
X 6 7 8 9
P
权数
加权平均数
问题1：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X 18 24 36
P
问题2：甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢
解：假设射箭n次，甲n次射箭射中的平均环数为：

乙n次射箭射中的平均环数为：

从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 ... xk ... xn
P p1 p2 ... pk ... pn
则称
为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).
离散型随机变量X的均值E(X)也可以用EX表示，它刻画了X的平均取值.
例1 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是，乙获胜概率是.记X表示比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列与期望．
解：由题可知，X的可能取值为2，3，4，5，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝；
所以X的分布列为
数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
X 2 3 4 5
P
例1 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是，乙获胜概率是.记X表示比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列与期望．
归纳总结
求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤：
已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示.
X x1 x2 ... xk ... xn
P p1 p2 ... pk ... pn
设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量.
(1)列出Y的分布列，那么E(Y)如何表示？
(2)E(Y)与E(X)有什么联系？
(2)由X与Y之间分布列的关系可知
Y ax1+b ax2+b ... axk+b ... axn+b
P p1 p2 ... pk ... pn
(1)随机变量Y的分布列为
即
离散型随机变量的均值的性质
X，Y均为随机变量，若Y=aX+b，其中a，b均是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b.
例2 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X).
X 1 0
P p 1-p
解：随机变量X服从参数为p的两点分布，其分布列如下
所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p.
归纳总结
随机变量X 均值公式
服从参数为p的两点分布 E(X)=p
二项分布X~N(n，p)
超几何分布X~H(N，M，n)
E(X)=np
例3 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．求乙正确完成面试题数η的分布列及其期望．
解：设乙正确完成面试的题数为η，则η取值范围是{0，1，2，3}．
P(η＝0)＝×()3＝，P(η＝1)＝×()1×()2＝，
P(η＝2)＝×()2×()＝，P(η＝3)＝×()3＝.
应聘者乙正确完成题数η的分布列为
方法一　∴E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
方法二　∵η～B(3，)，∴E(η)＝3×＝2
η 0 1 2 3
P
例4 某城市出租车的起步价为10元，即行驶路程不超出4 km时，费用为10元；若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km的部分按1 km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km，某司机经常驾车在民航机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5 min按1 km路程计费，不足5 min的部分不计费)，这个司机在一次接送旅客的转换后的行车路程ξ是一个随机变量，设他所收费用η.
(1)求费用η关于行车路程ξ的关系式；
(2)若随机变量ξ的分布列为右表，
求所收费用η的数学期望．
ξ 15 16 17 18
P 0.1 0.5 0.3 0.1
解：(1)由题意，得η＝10＋2(ξ－4)，
即η＝2ξ＋2，ξ≥15，ξ∈N*.
(2)由ξ的分布列，得E(ξ)＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.
因为η＝2ξ＋2，
所以E(η)＝2E(ξ)＋2＝2×16.4＋2＝34.8.
故所收费用η的数学期望为34.8元．
1.在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，则摸球次数X的均值= .
2.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)= .
3

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