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3.2.4 离散型随机变量的方差
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握二项分布的方差.
2.能够用离散型随机变量的方差解决一些实际问题.
情境：某省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加全国运动会(简称“全运会”)，根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下
甲的环数X1 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2
乙的环数X2 8 9 10
P 0.4 0.2 0.4
试根据分布列求出X1、X2的均值，由此可以决定选谁参加全运会吗？
E(X1)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9，E(X2)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9，
所以E(X1)=E(X2)，即从平均水平的角度，是不能决定选谁参加的.
仅从平均水平的角度考虑，是不能决定选谁参加，怎样来衡量它们的稳定性呢？
提示：设甲、乙两人每人都重复设计足够多次(设为n次)，求两组数的方差.
设甲、乙两人每人都重复设计足够多次(设为n次)，
甲所得环数可估计为
乙所得环数可估计为
甲的环数X1 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2
乙的环数X2 8 9 10
P 0.4 0.2 0.4
两组数据的平均数均为9，则甲这组数据的方差为
类似地，乙这组数的方差为
由于0.4<0.8，因此可以认为甲的发挥更稳定，从这一角度来说，应该排甲参加全运会.
如果设离散型随机变量X的分布列如下表所示:
X x1 x2 ... xk ... xn
P p1 p2 ... pk ... pn
因为X的均值为E(X)，所以
能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.一般地， 称为离散型随机变量X的标准差.
例1 在一个不透明的纸袋里装有5个大小质地相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差.
解：X可能取值为1，2，3，4，5.
所以X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
由定义知，E(X)=0.2×(1+2+3+4+5)=3.
D(X)=0.2×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2.
(1)确定随机变量的所有可能的取值；
(2)求出随机变量各个取值对应的概率；
(3)利用公式 求出方差.
归纳总结
求离散型随机变量X的方差的一般步骤：
已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示.
X x1 x2 ... xk ... xn
P p1 p2 ... pk ... pn
设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量，而且E(Y)=aE(X)+b.
(1)D(X)，D(Y)如何表示？
(2)D(Y)与D(X)之间有什么联系？
思考：(1)若Y=aX，D(Y)与D(X)有什么关系？
(2)若Y=X+b，D(Y)与D(X)有什么关系？
离散型随机变量的方差的性质：
特别的
(1)当a=1，D(X+b)=D(X);
(2)当b=0，D(aX)=a2D(X);
(3)当a，b均为非零常数时，随机变量Y=aX+b，则D(aX+b)=a2D(X).
归纳总结
两点分布与二项分布的方差
X X服从两点分布 X～B(n，p)
D(X) p(1－p) np(1－p)
思考：两点分布与二项分布的方差.
例2 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数.
(1)求D(X)；
(2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y).
解：(1) 因为X服从的是参数为50，0.02的二项分布，即
X~B(50，0.02)，
所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98.
(2) D(Y) =D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98.
归纳总结
两点分布与二项分布方差的计算步骤
(1)判断：判断随机变量服从什么分布.
(2)计算：直接代入相应的公式求解方差.
例3 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．
解：(1)依据题意知，0.5+3a+a+0.1=1，解得a=0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为:0.3,0,3,0.2,
∴乙射中7环的概率为1一(0.3+0.3+0.2)=0.2.
∴ξ，η的分布列分别为
(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
∵E(ξ)＞E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．
又∵D(ξ)∴甲的射击技术好，选择甲．
1.已知随机变量X满足E(1-X)=5，D(1-X)=5，则下列说法正确的是( )
A.E(X)=-5，D(X)=5
B.E(X)=-4，D(X)=-4
C.E(X)=-5，D(X)=-5
D.E(X)=-4，D(X)=5
D
2.有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，则 的稳定性较好.
甲

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