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3.3 正态分布
1.通过具体实例，借助频率直方图，了解正态曲线的概念及特征.
2.了解正态分布的“3σ原则”.
3.会用正态分布去解决实际问题.
已知X服从参数为100，0.5的二项分布，即X~B(100，0.5)，那么P(X=50)的具体数值为多少？
可以看出，若X~B(n，p)，当n较大时，直接计算P(X=k)的值将是十分困难的.
若X~B(6，)，则X的分布列如下，
X 0 1 2 3 4 5 6
P
X的分布列可以用右图直观表示出来，其中每个矩形的宽为1，高为对应的概率值.
问题：观察前面的直观图，说说它有什么特点？
(1)中间高、两边低；
(2)图形关于X=3对称，且E(X)=3；
(3)某一整数k上方的矩形面积正好等于P(X=k)，
其中，k=0,1,2,3,4,5,6；
(4)所有矩形的面积之和为1.
下图为服从二项分布的不同随机变量分布列的直观图.
问题：(1)上述两幅图像是否也符合X~B(6， )的图像特征？
(2)当参数n逐渐变大时，图形有什么变化？试想一下，如果参数n充分大，图形又会有什么改变呢？
当参数n逐渐变大，图形会越来越密；当参数n充分大，整个图形的上端可以连接成一条光滑的曲线.
符合
其中：μ=E(X)，即X的均值； ，即X的标准差.
一般地，φ(x)对应的图像称为正态曲线，φ(x)称为X的概率密度函数.
此时，我们称随机变量X服从参数μ ，σ2的正态分布，简记为X~N(μ ，σ2 ).
正态曲线
特别地，当μ=0， σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布，即X~N(0，1).
思考：结合函数解析式和下列图像，说说正态曲线具有哪些性质？
正态曲线的性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称；
（3）曲线在x=μ处达到峰值 (最高点)；
（4）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（5）σ越大，正态曲线越扁平， σ越小，正态曲线越尖陡；
（6）x轴与正态曲线所夹面积恒等于1 .
归纳总结
例1 已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式；
(2)求出总体随机变量的期望与方差．
解：(1)由图可知该正态曲线关于直线x＝8 000对称，最大值为，
所以μ＝8 000，
由＝，解得σ＝500，
所以概率密度函数的解析式为φ(x)＝.
(2)则总体随机变量的均值为8 000，方差为250 000.
例2 若X~N(μ，σ2)，说说下列概率大小为多少？
(1)P(X≤μ)； (2)P(|X-μ|≤σ)；
(3)P(|X-μ|≤2σ)； (4)P(|X-μ|≤3σ).
解：(1)P(X≤μ)= P(X≥μ)=50%，
(2)P(|X-μ|≤σ)= P(μ-σ≤X≤μ+σ) ≈68.27％，
(3)P(|X-μ|≤2σ)= P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈95.45％，
(4)P(|X-μ|≤3σ)= P(μ-3σ≤X≤μ+ 3σ) ≈99.73％.
正态分布的“3σ原则”：
在实际应用中，通常认为服从于正态分布X~N(μ，σ2)的随机变量X只取
[μ－3σ ， μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N(μ，σ2)，那么：
P(X≤μ )= P(X≥μ )=0.5，
P(|X –μ|≤σ)= P(μ-σ≤X≤μ+σ ) ≈68.27％，
P(|X –μ|≤2σ)= P(μ-2σ≤X≤μ+2σ ) ≈95.45％，
P(|X –μ|≤3σ)= P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ ) ≈99.73％.
例3 在某次数学考试中，假设考生的成绩ξ服从正态分布ξ~N(90，100).
(1) 求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率；
(2) 若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人.
解：∵ξ~N(90，100)，∴μ=90，σ=10，
(1)∵μ-2σ=90-2×10=70，μ+2σ=90+2×10=110，
∴由正态分布的性质可得P(70＜ξ＜110)=0.9545.
(2)∵μ-σ=90-10=80，μ+σ=90+10=100，
∴由正态分布的性质可得P(80＜ξ＜100)=0.6827.
∴200名考生中考试成绩在(80，100)间的考生大约有2000×0.6827≈1365(人).
例4 某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据(单位：cm)：97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.
(1)求μ与σ；
(2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．
①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87 cm的个数为X，求E(4X＋3)；
②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为86，95，103，109，118.以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试？说明理由．
解：(1)μ＝(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105，
σ2＝(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ＝6.
(2)①∵Z服从正态分布N(105，36)，
∴P(Z<87)＝P(Z<μ－3σ)≈0.5－＝0.001 35，则X～B(5，0.001 35)，
∴E(4X＋3)＝4E(X)＋3＝4×5×0.001 35＋3＝3.027.
②∵Z服从正态分布N(105，36)，
∴P(87≤Z≤123)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3，
∴5个零件中恰有一个内径不在[μ－3σ，μ＋3σ]的概率为×(1－0.997 3)＝0.013 355，
∵86 [87，123]，∴试生产的5个零件就出现了1个不在[μ－3σ，μ＋3σ]内，
出现的频率是0.013 355的15倍左右，根据3σ原则，需要进一步调试．
1.一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中正确的是( 　)
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
A
甲
乙
丙
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)=(　　)
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
3.若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<-1.9)=0.028，则P(ξ<1.9)=(　　)
A.0.028 B.0.056 C.0.944 D.0.972
C
D

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