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4.2.2 一元线性回归模型的应用
1.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
2.了解非线性回归的概念，会将非线性相关关系转化为线性相关关系.
例1 随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站某年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8
促销费用x 2 3 6 10 13 21 15 18
产品销量y 1 1 2 3 3.5 5 4 4.5
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型y与x的关系，请用相关系数r加以说明(系数精确到0.001)；
(2)建立y关于x的线性回归方程 (系数精确到0.001)；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入费用多少万元(结果精确到0.01)
参考数据：
其中xi、yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i=1，2，3，...，8．
解：(1)根据数据绘制散点图如下，
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系；
计算
∴相关系数
由相关系数的值接近于1，说明变量y与x的线性相关性很强；
(2)计算 ，
令 ，解得
即实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用24.70万元．
∴y关于x的回归方程为
利用线性回归分析方法解决实际问题的基本步骤是：
归纳总结
(1) 判断变量y与x之间是否具有线性相关关系；
(2) 若可能具有线性相关关系，则计算相关系数，衡量其线性相关关系的强弱；
(3) 根据公式求出y关于x的回归直线方程；
(4) 依据回归直线方程做出统计推断或结果解释.
问题：人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.
以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968
记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95
在左图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程.
用Y表示男子短跑100m的世界纪录，t表示纪录产生的年份，利用一元线性回归模型来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系.根据最小二乘法，由表中的数据得到经验回归方程为：
将经验回归直线叠加到散点图，得到下图：
①
追问1：从图中可以看到，经验回归方程①较好地刻画了散点的变化趋势。请再仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗？
追问1：从图中可以看到，经验回归方程①较好地刻画了散点的变化趋势。请再仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗？
以经验回归直线为参照，可以发现经验回归方程的不足之处，以及散点的更为精细的分布特征，例如，第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方.这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.
仔细观察上图，可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近。
追问2：你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征吗？
回顾已有的函数知识，可以发现函数y=-lnx的图象具有类似的形状特征.
注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点是集中在曲线y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)的周围，其中c1、c2为未知参数，且c2<0.
y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)
这是一个非线性经验回归函数，如何利用成对数据估计参数c1、c2
令x=ln(t-1895),则Y=c2x+c1
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
年份/t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968
x 0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29
记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95
对数据进行变化可得下表：
得到散点图如下：
*
由表中的数据得到经验回归方程为：
将经验回归直线叠加到散点图，得到下图：
上图表明，经验回归方程(*)对于成对数据具有非常好的拟合精度。
*
将x=ln(t-1895)代入：
上述y与x的关系，因为不再是线性相关关系，所以称为非线性相关关系，所得到的方程称为非线性回归方程(也简称为回归方程).
归纳总结
常见非线性模型及其线性化的方法
(1)指数函数y=αeβx(α>0)
β>0
β<0
处理方法：
两边取自然对数，得lny=lnα+βx，令y =lny，x =lnx，则y =lnα+βx
(2)幂函数y=αxβ(α>0)
β>0
β<0
(3)对数函数y=α+βlogax
0<β<1
β>1
-1<β<0
β<-1
处理方法：
两边取自然对数，得lny=lnα+βlnx，令y =lny，x =lnx，则y =lnα+βx .
处理方法：
令x =logax，则y =α+βx .
1.在某线性回归分析中，已知数据满足线性回归方程＝x＋，并且由观测数据算得＝5，＝56，＝10.5，则当x＝10时，预测数值为(　　)
A．108.5 B．210
C．140 D．210.5
A
D
根据本节课所学，回答下列问题：
1.一元线性回归模型解决实际问题的基本步骤有哪些？
2.非线性模型如何转化为线性模型？

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