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4.3 独立性检验
本题中要得P(A)，P(B)， P(AB)的准确值需耗费巨大的人力、物力等，比较难确定，甚至是不可能的.
P(AB)=P(A)P(B)
任意抽取某市的一名学生，记A：喜欢长跑，B：是女生.
如果事件A，B独立，P(A)，P(B)， P(AB)满足的充要条件是什么？
P(A)，P(B)，P(AB)的准确值易得吗?
如何判断A、B是否独立？
1.通过实例了解独立性检验的基本思想，会用独立性检验解决简单的实际问题.
为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解学生跑步情况.为此对学生跑步情况进行了抽查，抽查数据如下：共抽查110个学生，其中女生有50人；且这110人中，喜欢长跑的有60人，其中女生20人.为了方便起见，把数据整理成如下的表格形式：
因为这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表.
问题：任意抽取一名学生，记A：喜欢长跑，B：是女生.
(1)喜欢长跑的概率P(A)可以估计为多少？
是女生的概率P(B)可以估计为多少？
喜欢长跑且是女生的概率P(AB)可以估计为多少？
(2)可以利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立来判断A与B是否独立吗？为什么？
(2)不可以.
事件A与B独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B)，通过概率的计算来判断两个事件是否独立.因为(1)中P(A)，P(B)，P(AB)都是根据样本数据得到的估计值，而估计是有误差的.
因此直接用P(AB)=P(A)P(B)是否成立来判断A与B是否独立是不合理的.
(3)如果A与B独立，P(A)P(B)与P(AB)大小关系如何？由此理论上和实际上，喜欢长跑的女生数分别是多少？它们之间大小关系如何？
如果A与B独立，那么P(A)P(B)应该可以作为P(AB)的近似值，这是从统计意义上做出的合理推断，即尽管随机性会对数据的准确性带来影响，但理论上，如果A与B是独立的，则这种影响也一定不会太大.
喜欢长跑的女生数
理论上：
实际上：
近似相等
(4)能否找到一个量或选用一个标准，来说明A，B之间的独立性是否成立？说说你的想法.
由(3)可知，如果A与B独立，那么P(A)P(B)应该可以作为P(AB)的近似值.因此
不会太大.
其值应该也不会太大.
①
为了减小随机性的影响做如下处理：
考虑 与B，A与 ， 与 ，可知

都不会太大.
若记①+②+③+④=χ2(读作“卡方”)，代入数据算得χ2≈7.8.
②
③
④
这也可以说成，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立(也称为是否喜欢长跑与性别有关)；或说有99%的把握认为是否喜欢长跑与性别有关.
概率学上可以证明，如果A与B独立，则χ2≥6.635的概率只有1%，即P(χ2≥6.635)=1%.因为算出的χ2值7.8大于6.635，所以若A与B独立(即“喜欢
长跑”与“是女生”独立)，则该事件发生的概率不超过1%.
问题1：若χ2≥6.635，关于事件A，B可以得到什么结论？χ2<3.841呢？
若χ2≥6.635，查表得P(χ2≥6.635)=0.01，即在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为事件A，B有关；或有99%的把握认为A与B有关.
若χ2<3.841，查表的P(χ2≥3.841)=0.05，即没有充分证据显示事件A，B有关.
问题2：若χ2≥k成立，关于A，B可以得到的什么结论？χ2当χ2≥k，则有1-α的把握认为A与B有关；当χ2即独立性检验通常得到的结果有两种，或者是有1-α的把握认为A与B有关，或者没有1-α的把握认为A与B有关.

A
????
合计
B
a
b
a+b
????
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d

A
合计
B
a
b
a+b
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d
思考：试判断事件A与B之间是否有关联?
零假设????0：假设A，B没有关联
?
常用的临界值如下表.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}P(χ2≥x0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
①当????2≥x0时，我们就推断 H0 不成立，即认为X和Y有关联.
?
②当????2?
该推断犯错误的概率不超过????
?
例1 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良. 采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据: 抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名; 抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.
由已知数据列出列联表.
解：
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
合计
21
115
136
根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异.
零假设为H0: 疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.
经计算得到：
????2=136×（15×63?52×6）267×69×21×115
≈4.881.
?
<7.879=????0.005.
?
结论：若对调两种疗法的位置或对调两种疗效的位置，这样做不影响????2取值的计算结果.
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
乙
6
63
69
甲
15
52
67
合计
21
115
136
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}疗法
疗效
合计
治愈
未治愈
甲
52
15
67
乙
63
6
69
合计
115
21
136
????2=136×（52×6?15×63）269×67×21×115≈4.881
?
????2=136×（52×6?15×63）267×69×21×115≈4.881
?
问题1：若对调两种疗法的位置或对调两种疗效的位置会影响????2取值的计算结果吗？
?
解：零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.
根据列联表中的数据，经计算得到
????2=136×（15×63?52×6）267×69×21×115≈4.881.
?
根据小概率值????=0.05的????2独立性检验，我们推断 H0不成立，即可以认为两种疗法效果有差异，该推断犯错误的概率不超过0.05,即有95%的把握认为疗法与疗效是有关的.
?
问题2：根据小概率值????=0.05的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.
?
甲种疗法未治愈和治愈的频率分别是 1567≈0.224和5267≈0.776
乙种疗法未治愈和治愈的频率分别是 669≈0.087和6369≈0. 913
?
因此可以推断乙种疗法的效果比甲种疗法好。
>3.841=????0.05.
?
问题3：根据同一抽查数据推断两个分类变量之间是否有关联，应用不同的小概率值，为什么会得出不同的结论？
对于同一抽样数据，计算出来的????2的值是确定的.在独立性检验中，基于不同的小概率值的α的检验规则，对应不同的临界值xα,其与????2的大小关系可能不同，相当于检验的标准发生变化，因此结论可能会不同.
?
独立性检验解决实际问题大致应包括以下四个主要环节：
归纳总结
（1）零假设 提出零假设????0：X和Y相互独立，并给出在实际问题中的解释。
?
（2）计算χ2 根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值χ2 。
（3）比较 根据检验规则，将求出χ2的值与临界值k进行比较，得出推断结论。
①当????2≥????0时，我们就推断 H0 不成立，即认为X和Y不独立.该推断犯错误的概率不超过????.
②当????2＜????0时，我们没有充分证据推断 H0 不成立，可以认为X和Y独立
判断时把计算结果与临界值比较，临界值xα越大,概率值α越小.
?
1.给出下列实际问题:
①一种药物对某种病的治愈率;②两种药物治疗同一种病是否有区别;③吸烟者得肺病的概率;④吸烟是否与性别有关系;⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系.其中用独立性检验可以解决的问题有(　　)
A.①②③ B.②④⑤
C.②③④⑤ D.①②③④⑤
B
2.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表:





下列叙述中,正确的是(　　)
A.有99%的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系”
B.有95%的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少无关系”
C.有99%的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少无关系”
D.有95%的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系”
D
?
认为作业多
认为作业不多
总数
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总数
26
24
50

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