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专题03 函数的性质及应用
目 录
题型一：函数的性质
易错点01　复合函数定义域的理解不当致错
易错点02　使用换元法忽略新元的范围
易错点03　研究单调性、奇偶性时忽略定义域
易错点04 对分段函数的理解不到位出错
题型二 函数与方程
易错点05　忽略函数零点存在定理的条件
易错点06　二次函数零点分布问题考虑不全
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题型一：函数的性质
易错点01：复合函数定义域理解不当致错
典例 （23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可.
【详解】由题可知的定义域为，
则为使有意义必须且只需，
解得，
所以的定义域为.
故选：D
【易错剖析】
在求解过程中，根据函数解析式求出的定义域为，然后由=然后错误的由分别求出的范围进而求出函数的定义域而出错，出错原因在于没有理解复合函数定义域的正确意义.
【避错攻略】
1复合函数的概念：
若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当时，称函数y=f[g(x)]为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,t为中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
2抽象函数或复合函数的定义域：
（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同.
（3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围.
（4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域.
易错提醒：已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·山东烟台·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河南新乡·期中）已知函数，则函数的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·山东·一模）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知的定义域为，则函数的定义域为
9．（23-24高三上·福建莆田·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
10．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）函数的定义域为
易错点02：使用换元法忽略新元的范围
典例 （24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【易错剖析】
本题求解时设，换元后要注意这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.
【避错攻略】
1.换元法
换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.
常见的换元方法
（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；
（2）整体代换：将所求表达式整体换元；
（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元二次方程的问题。
易错提醒：换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验.
1．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25高三上·全国·随堂练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·陕西·模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为 .
8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若，则的解析式为 ．
9．（23-24高三上·广东江门·开学考试）函数的值域为 .
10．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则 .
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为 ．
易错点03：研究单调性、奇偶性时忽略定义域
典例 （2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，再根据复合函数单调性的判断方法求解出的单调递减区间.
【详解】由可得，所以函数的定义域为，
令，利用复合函数单调性判断方法来分析的单调性，如下表：
单调递增 单调递增 单调递增
单调递减 单调递增 单调递减
由表知，的单调递减区间为．
故选：C．
【易错剖析】
本题再求单调区间时容易忽略定义域，而求出单调递减区间为而致错.
【避错攻略】
函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。
1.函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
（1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
（2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．
（3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2.函数奇偶性与定义域
偶函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x) 成立，则称F(x)为偶函数．
奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．
(1)奇偶函数定义的等价形式．
奇函数 f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0，偶函数 f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0．
(2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称．
一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝ ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性．
易错提醒：利用函数性质解决题目的时候，应该养成先求定义域的习惯，要注意定义域对自变量的限制.
1．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·上海·期中）函数的奇偶性为 .
1．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C．和 D．
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·陕西汉中·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（ ）.
A． B． C． D．
6．已知函数，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
7．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 .
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，则不等式的解集为 ．
若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝ ，b＝ ．
易错点04：对分段函数的理解不到位出错
典例 （24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上是增函数，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由分段函数在R上递增需满足条件可得答案.
【详解】设；.
为使在R上递增，则在上递增，在上递增，
且，即.
故选：B
【易错剖析】
本题在求解过程中容易只注意到分段函数递增，则每一段都递增，忽略比较分段点处函数值的大小而错选A.
【避错攻略】
1．分段函数的定义
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
【理解】(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要注意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集．
2．分段函数的题型
（1）分段函数图象的画法
①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
（2）分段函数的求值
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
（3）求某条件下自变量的值(或范围)
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
（4）根据分段函数的解析式解不等式
①对变量分类讨论代入相应的解析式求解．
②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解．
（5）求分段函数的最值
分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值
（6）根据单调性求参数
从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系.
易错提醒：(1)求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条件如下：
类型1：函数，在上单调増递，则满足两个条件：
(1)在上单调増递增；
(2)在上单调増递增；
(3).
类型2：函数，在上单调増递减，则满足两性个条件：
(1)在上单调増递减；
(2)在上单调増递减；
(3).
1．（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( ).
A． B． C． D．
3．（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则（ ）
A．8 B． C． D．
2．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．5
3．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·山东聊城·期中）设，若为的最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·新疆·模拟预测）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知函数，若的值域是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A． B．若，则x的值是
C．的解集为 D．的值域为
9．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中对任意的，，且，总满足不等关系，则实数的取值范围是 .
10．（2024高三·全国·专题练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 .
11．（2024·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ．
题型二：函数与方程
易错点04：忽略函数零点存在定理的条件
典例 （24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且函数在内仅有一个零点，则的符号是（ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
【答案】D
【分析】利用零点存在定理、特例法判断即可得出结论.
【详解】因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，
且函数在内仅有一个零点，
若函数在上单调，则；
不妨取，则函数在只有唯一的零点，但；
取，则函数在只有唯一的零点，但.
因此，的符号不能确定.
故选：D.
【易错剖析】
本题
【避错攻略】
1.函数的零点
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
3.函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断__的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
【解读】零点存在定理的适用条件：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.此判断方法只能判断出零点的存在性，而不能判断出有多少个零点．该判断零点存在与否的方法并不是对所有函数零点的判断都适用．只有当函数图象“穿过”x轴时，这种方法才能奏效．
4.求函数y＝f(x)的零点的方法
(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点．
(2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象和零点存在定理求出零点．
(3)交点法：欲求f(x)－g(x)＝0的零点，可以转化为求方程f(x)＝g(x)的解，可在同一坐标系中画出f(x)，g(x)的图象，其交点的横坐标即为f(x)－g(x)＝0的零点，交点的个数对应零点的个数．
易错提醒：对函数零点存在的判断需注意以下三点：(1)函数在上连续；（2）满足；（3）在内存在零点.,上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解.另外需注意的是：若函数的图像在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点.函数的零点不是点，它是函数与x轴交点的横坐标，是方程的根.
1．（24-25山东潍坊期中）已知函数在区间上的图象是连续不断的，设：，：在区间中至少有一个零点，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西新余·模拟预测）关于的方程：的实根分布在区间（ ）内.
A． B． C． D．
1．（24-25高三上·辽宁·期中）“”是“函数在区间内存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（24-25高三上·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“”是“函数在区间上有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则“”是“函数有零点”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要
7．（2024·浙江杭州·一模）设，满足.若函数存在零点，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25高三上·广东·阶段练习）函数在上的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列函数在区间内存在唯一零点的是（　　）
A． B．
C． D．
易错点06：二次函数的零点分布问题讨论不全
典例 3．（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）函数 的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用零点分布规律求出的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得.
【详解】由函数 的两个不同的零点均大于1，得，解得，
因此所求充分不必要条件是的非空真子集，ABD不满足，C满足.
故选：C
【易错剖析】
本题在根据根的分布列不等式组时，容易因为考虑不全面漏掉条件而出错.
【避错攻略】
一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解，一元二次方程根的分布问题主要有以下类型：
1.一元二次方程根的0分布
方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.
0分布结合判别式、韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。
2.一元二次方程根的k分布
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即
大致图象（a>0）
得出的结论
大致图象（a<0）
得出的结论
综合结论 （不讨论a）
3.一元二次方程根在区间的分布
分布情况 两根都在内 两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内，
大致图象（）
得出的结论 或
大致图象（）
得出的结论 或
综合结论（不讨论） ——————
易错提醒：研究二次函数零点的分布，一般从以下三个方面考虑：
(1)一元二次方程根的判别式；
(2)对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)对应二次函数图象，即抛物线的对称轴x＝－与区间端点的位置关系．
1．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·吉林·模拟预测）若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024高三·全国·专题练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，且，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）方程在区间和各有一个根的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数的两个零点分别在区间和上，则的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数.若函数有8个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）（多选）已知在上有两实根，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）若方程得两根满足，则实数的取值范围是 .
8．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数在区间有零点，则的取值范围是 .
9．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）若二次函数在区间上存在零点，则实数m的取值范围是 .
10．（2024高三·全国·专题练习）若函数在上至少有一个零点.则实数的取值范围为 .
11．（23-24高三上·河北石家庄·期末）关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 函数的性质及应用
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题型一：函数的性质
易错点01　复合函数定义域的理解不当致错
易错点02　使用换元法忽略新元的范围
易错点03　研究单调性、奇偶性时忽略定义域
易错点04 对分段函数的理解不到位出错
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易错点05　忽略函数零点存在定理的条件
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题型一：函数的性质
易错点01：复合函数定义域理解不当致错
典例 （23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可.
【详解】由题可知的定义域为，
则为使有意义必须且只需，
解得，
所以的定义域为.
故选：D
【易错剖析】
在求解过程中，根据函数解析式求出的定义域为，然后由=然后错误的由分别求出的范围进而求出函数的定义域而出错，出错原因在于没有理解复合函数定义域的正确意义.
【避错攻略】
1复合函数的概念：
若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当时，称函数y=f[g(x)]为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,t为中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
2抽象函数或复合函数的定义域：
（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同.
（3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围.
（4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域.
易错提醒：已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，要使有意义，
只需要，解得，
所以，
所以函数的定义域为.
故选：D.
2．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意可知函数的定义域为，即，
故，则的定义域为，
则对于，需满足，
即的定义域为，
故选：C
3．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先利用抽象函数的定义域求得集合A，B，再利用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】的定义域为.
当时，的定义域为，即.
令，解得的定义域为，即.
“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】复合函数定义域问题，分解函数，分别求定义域再求交集.
【详解】令，
函数的定义域为：，
函数的定义域：，则，即，
所以的定义域为
故选：A
2．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得.
【详解】由函数的定义域是，得，
因此在函数中，，解得，
所以所示函数的定义域为.
故选：A
3．（24-25高三上·山东烟台·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用抽象函数求定义域的相关概念，即可求解.
【详解】由，得，且，所以，因此，
故函数的定义域为.
故选：D.
4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于函数，先由求出，而对于函数，应使，解出，即得函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，由可得 ，
对于函数，由可得，
即函数的定义域为．
故选：B．
5．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据实际意义分析即可.
【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了，
所以，即函数的定义域为.
故选：C
6．（24-25高三上·河南新乡·期中）已知函数，则函数的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据的表达式，即可结合根式以及分式的性质求解.
【详解】,
由且，得且，
所以函数的定义域是.
故选：D
7．（2024·山东·一模）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由函数有意义得，解该不等式即可得解.
【详解】要使函数有意义，则，即，
所以或，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：D.
8．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【分析】根据函数成立的条件，建立条件关系即可.
【详解】因为的定义域为，
要使函数有意义，则，
即，解得，
所以定义域为.
故答案为：
9．（23-24高三上·福建莆田·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用给定的函数有意义，列不等式求解作答.
【详解】函数的定义域为，则由有意义，
得，解得，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：
10．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）函数的定义域为
【答案】
【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数有意义，
则满足，可得，即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
易错点02：使用换元法忽略新元的范围
典例 （24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可.
【详解】令，
由，
则，即.
故选：C.
【易错剖析】
本题求解时设，换元后要注意这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.
【避错攻略】
1.换元法
换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.
常见的换元方法
（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；
（2）整体代换：将所求表达式整体换元；
（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元二次方程的问题。
易错提醒：换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验.
1．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法求函数的解析式.
【详解】令，则，且，则，
可得，
所以.
故选：B.
2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可．
【详解】根据题意知函数定义域为，令，
所以，
当时，，所以函数的值域为.
故选：C.
3．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，则，结合各选项代入验证，即可判断答案．
【详解】令，，则，由可得，
对于A，，故A错误；
对于B，，不满足，B错误；
对于C，，即，即，C正确；
对于D，，即不成立，D错误．
故选：C．
1．（24-25高三上·全国·随堂练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】令，
函数，在时，单调递减，因此，
当时，，
所以的值域是，
故选：C
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，，运用换元法转化为求三角函数在给定区间上的值域.
【详解】令，，则，
∵，∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由二倍角公式结合换元法求出函数解析式即可求解.
【详解】因为
所以，
则，
所以.
故选：B.
5．（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设，用求的值，进而可得的解析式，从而可得.
【详解】设，则，
所以，即，
设，易知在上单调递增，
所以，即，
故，所以．
故选：B．
6．（2024·陕西·模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】令，则，设，再结合三角函数的性质即可得解.
【详解】函数的定义域为，
令，则，
设，可得，
当时，有最大值为2，
所以函数的最大值为2.
故选：D.
7．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为 .
【答案】/
【分析】首先将函数化简，利用对勾函数的单调性，即可求函数的最值.
【详解】，
设，而在上单调递增，
所以，当且仅当时等号成立，
则.
所以函数的最大值为.
故答案为：
8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若，则的解析式为 ．
【答案】
【分析】直接利用换元法求函数解析式即可.
【详解】令，则，因为，
所以，故，
故答案为：．
9．（23-24高三上·广东江门·开学考试）函数的值域为 .
【答案】
【分析】令,将原函数转化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】的定义域为，令
，当且仅当，即时取“等号”
的值域为.
故答案为：
10．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则 .
【答案】
【分析】利用解方程组法和换元法即可求解.
【详解】由①，
得②，
由①②得，则，
令，则，
所以，
故.
故答案为：.
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为 ．
【答案】13
【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得可得，
令，则，，
∴当时取得最大值，
但由于，故当即时，，解得．
故答案为：13．
易错点03：研究单调性、奇偶性时忽略定义域
典例 （2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，再根据复合函数单调性的判断方法求解出的单调递减区间.
【详解】由可得，所以函数的定义域为，
令，利用复合函数单调性判断方法来分析的单调性，如下表：
单调递增 单调递增 单调递增
单调递减 单调递增 单调递减
由表知，的单调递减区间为．
故选：C．
【易错剖析】
本题再求单调区间时容易忽略定义域，而求出单调递减区间为而致错.
【避错攻略】
函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。
1.函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
（1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
（2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．
（3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2.函数奇偶性与定义域
偶函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x) 成立，则称F(x)为偶函数．
奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．
(1)奇偶函数定义的等价形式．
奇函数 f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0，偶函数 f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0．
(2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称．
一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝ ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性．
易错提醒：利用函数性质解决题目的时候，应该养成先求定义域的习惯，要注意定义域对自变量的限制.
1．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性可求得函数的单调递减区间.
【详解】由，
，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上为增函数，
由复合函数单调性可得的单调递减区间为.
故选：C.
2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为，即可求解.
【详解】记，则
所以所求解不等式为，
，是奇函数
在上是增函数
由得
，化简得，
所以的取值范围是，
故选：B.
3．（24-25高三上·上海·期中）函数的奇偶性为 .
【答案】非奇非偶函数
【分析】先求得函数的定义域，然后根据奇偶性的定义来求得正确答案.
【详解】由解得，所以的定义域是，
由于的定义域不对称，所以是非奇非偶函数.
故答案为：非奇非偶函数
1．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C．和 D．
【答案】C
【分析】令，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间.
【详解】设，则有且，
，则，
所以函数的定义域为：且，
由二次函数的性质可知的单调递增区间为：；单调递减区间为：和；
又因为在区间和上单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：和.
故选：C.
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可.
【详解】由题意可得，即，解得或，
令（或），则，
因为的对称轴为，
所以在上递减，在上递增，
因为在定义域内递增，
所以在上递减，在上递增.
故选：C
3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解.
【详解】由于在上单调递减，令，，
因为为减函数，又在区间上单调递增，
由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，
且在上恒成立，
因为为二次函数，开口向下，对称轴为，
由在上单调递减，可得，解得，
由在上恒成立，即，，
可得在上恒成立，则，
综上，实数a的取值范围为
故选：D
4．（24-25高三上·陕西汉中·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】运用奇函数的定义证明即可.
【详解】，则,
定义域为R,且，则是奇函数.
故选：D.
5．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
，即，
，
，可转化为：，
即，
即，
满足，且，有，
在上单调递增，
即 ，解得：，
即不等式的解集为：.
故选：C.
6．已知函数，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【详解】因为，且，
则或，解得.
故选：C
7．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意可得，，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：.
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】先把函数写成分段函数的形式，利用二次函数的性质分析函数单调性，把函数不等式转化为代数不等式，求解即可.
【详解】由已知得，
则在上单调递减，
∴解得，
∴所求不等式的解集为．
答案：.
若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝ ，b＝ ．
【答案】　0
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝．
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0．
易错点04：对分段函数的理解不到位出错
典例 （24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上是增函数，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由分段函数在R上递增需满足条件可得答案.
【详解】设；.
为使在R上递增，则在上递增，在上递增，
且，即.
故选：B
【易错剖析】
本题在求解过程中容易只注意到分段函数递增，则每一段都递增，忽略比较分段点处函数值的大小而错选A.
【避错攻略】
1．分段函数的定义
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
【理解】(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要注意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集．
2．分段函数的题型
（1）分段函数图象的画法
①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
（2）分段函数的求值
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
（3）求某条件下自变量的值(或范围)
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
（4）根据分段函数的解析式解不等式
①对变量分类讨论代入相应的解析式求解．
②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解．
（5）求分段函数的最值
分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值
（6）根据单调性求参数
从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系.
易错提醒：(1)求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条件如下：
类型1：函数，在上单调増递，则满足两个条件：
(1)在上单调増递增；
(2)在上单调増递增；
(3).
类型2：函数，在上单调増递减，则满足两性个条件：
(1)在上单调増递减；
(2)在上单调増递减；
(3).
1．（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【答案】B
【分析】分和，求解，即可得出答案.
【详解】当时，，则，解得：（舍去）；
当时，，则，解得：.
故选：B.
2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可.
【详解】已知函数，当时，
单调递增，所以最大值为；
当且时，在上单调递增，最小值为；
所以要使函数在上单调递增，
则，解得或(舍去).
故选：C.
3．（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析可知当时，的取值范围是，当时，的最大值为，且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷，由此即可列出不等式求解.
【详解】当时，的取值范围是，
注意到，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的最大值为，
且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷，
若函数的值域为，
则当且仅当，解得.
故选：A.
1．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用分段函数求值.
【详解】因为函数，所以，
即，
故选：B.
2．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】根据给定条件，分段探讨函数的单调性，进而求出最小值.
【详解】当时，函数在上单调递增，；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以当时，.
故选：B
3．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别求每段函数的值域，再求并集.
【详解】在上单调递增，所以，
在上单调递增，所以，
因为，，
所以函数的值域是.
故选：A
4．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案.
【详解】显然在上单调递减，
要想在R上单调递减，
则，解得.
故选：D
5．（24-25高三上·山东聊城·期中）设，若为的最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，先求得时的最小值，再由导数可得时的最小值，再由为的最小值列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】当时，，对称轴为，
当时，即，，
当时，即，，不符合题意，所以，
当时，，则，
令，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
则是函数的极小值点，
又为的最小值，则满足，
即，解得，又，
所以实数的取值范围是.
故选：A
6．（2024·新疆·模拟预测）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数分别应用复合函数单调性及导数求解单调性，分段求解函数值范围及最值再比较列不等式关系即可.
【详解】当时，函数单调递减，无最小值；
当时，函数
当时，函数，
所以单调递增，当时，
要使函数存在最小值，即.
故选：C.
7．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知函数，若的值域是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.
【详解】当时，，
因为的值域是，又在上单调递减，
所以.
故选：C.
8．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A． B．若，则x的值是
C．的解集为 D．的值域为
【答案】ABD
【分析】将代入，得，将代入，可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确.
【详解】对于A，因为，则，
所以，故A正确；
对于B，当时，，解得：（舍）；
当时，，解得：（舍）或；
的解为， 故B正确；
对于C，当时，，解得：；
当时，，解得：；
的解集为，故C错误；
对于D，当时，；
当时，；
的值域为， 故D正确.
故选：ABD.
9．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中对任意的，，且，总满足不等关系，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据单调性定义可得函数单调递减，再根据分段函数单调性的判断方法即可求解．
【详解】由,结合单调性定义可得函数在上单调递减，
则由分段函数单调性可得：，即，
故答案为：
10．（2024高三·全国·专题练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据分段函数单调性的判定方法可列得不等式组，即可求出结果.
【详解】由题意知，在区间上是增函数，在区间上是增函数，且，
∴实数应满足，解得，
故实数的取值范围为，
故答案为：.
11．（2024·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解.
【详解】函数在上单调，
当在上单调递减时，，解得；
当在上单调递增时，，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
题型二：函数与方程
易错点04：忽略函数零点存在定理的条件
典例 （24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且函数在内仅有一个零点，则的符号是（ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
【答案】D
【分析】利用零点存在定理、特例法判断即可得出结论.
【详解】因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，
且函数在内仅有一个零点，
若函数在上单调，则；
不妨取，则函数在只有唯一的零点，但；
取，则函数在只有唯一的零点，但.
因此，的符号不能确定.
故选：D.
【易错剖析】
本题
【避错攻略】
1.函数的零点
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
3.函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断__的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
【解读】零点存在定理的适用条件：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.此判断方法只能判断出零点的存在性，而不能判断出有多少个零点．该判断零点存在与否的方法并不是对所有函数零点的判断都适用．只有当函数图象“穿过”x轴时，这种方法才能奏效．
4.求函数y＝f(x)的零点的方法
(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点．
(2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象和零点存在定理求出零点．
(3)交点法：欲求f(x)－g(x)＝0的零点，可以转化为求方程f(x)＝g(x)的解，可在同一坐标系中画出f(x)，g(x)的图象，其交点的横坐标即为f(x)－g(x)＝0的零点，交点的个数对应零点的个数．
易错提醒：对函数零点存在的判断需注意以下三点：(1)函数在上连续；（2）满足；（3）在内存在零点.,上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解.另外需注意的是：若函数的图像在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点.函数的零点不是点，它是函数与x轴交点的横坐标，是方程的根.
1．（24-25山东潍坊期中）已知函数在区间上的图象是连续不断的，设：，：在区间中至少有一个零点，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义分析判断即可作答.
【详解】由“函数在区间上的图象是连续不断的，且”，
根据零点存在定理，可得在区间上至少存在一个零点，所以能推出，
反之，当在区间中至少有一个零点时，比如，
在上有一个零点，但是，所以不能推出，
故是的充分不必要条件。
故选：A.
2．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】我们将通过计算区间端点的函数值的正负来判断函数在哪个区间存在零点.
【详解】因为在上均单调递减，
则在上单调递减，
对A，可得.
因为幂函数在上单调递增，所以，
且函数在上连续不间断，
则在上无零点，故A错误；
对B，因为在上单调递减，
则，则，且函数在上连续不间断，
故在上存在零点，故B正确；
对C，因为，且函数在上连续不间断，
则在上无零点，故C错误；
对D,计算，
且函数在上连续不间断，则在上无零点，故C错误；
故选：B.
3．（2024·江西新余·模拟预测）关于的方程：的实根分布在区间（ ）内.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数以及零点存在性定理来求得正确答案.
【详解】令，
当时，，此时无零点，排除A.
当时，，此时无零点，排除D.
当时，，而，
所以单调递减，
而，故.
又，且，故，所以.
故选：B
1．（24-25高三上·辽宁·期中）“”是“函数在区间内存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由零点存在性定理确定的范围，再结合集合间包含关系即可判断.
【详解】由函数在区间内存在零点得，解得或
所以“”是“函数在区间内存在零点”的充分不必要条件，
故选：A
3．（24-25高三上·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“”是“函数在区间上有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点.来判断两个条件之间的关系.
【详解】充分性判断:若，因为函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，
根据零点存在定理可知，函数在区间上有零点，所以“”是“函数在区间上有零点”的充分条件.
必要性判断:当函数在区间上有零点时，比如函数在区间[0,2]上有零点，此时，，，
即存在函数在区间上有零点时，的情况，
所以“”不是“函数在区间上有零点”的必要条件.
综上所得， “”是“函数在区间上有零点”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先可得，，从而得到，再由零点存在性定理判断即可.
【详解】依题意可得，则，
所以，显然为连续函数，
又，所以，，，
，，
根据零点存在性定理可知的第三个零点.
故选：A
4．（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得.
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，
由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，
得且或且，
则或，解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：C
5．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，结合函数零点的定义，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】因为函数在区间上的图象是连续不断的，
当，不能推出函数在区间上没有零点，故充分性不满足；
当函数在区间上没有零点时，可以推出，故必要性满足；
所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件.
故选：B
6．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则“”是“函数有零点”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据特值法与零点存在定理可快速得出结论.
【详解】函数，定义域为，
当时，，当时，，
根据零点存在定理，知此时函数必有零点，所以充分性成立；
当，时，，易知，所以函数有零点，
此时，所以必要性不成立.
故“”是“函数有零点”的充分不必要条件.
故选：.
7．（2024·浙江杭州·一模）设，满足.若函数存在零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．
【详解】函数的定义域为，且均为单调递增函数，故函数是增函数，
由于，故，
满足，说明中有1个是负数一定是，两个正数或3个负数，
由于存在零点，故．
故选：B．
8．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用导数判断函数在给定区间上的单调性，再根据题设条件，结合零点存在定理得到不等式组，求解即得.
【详解】由在区间上恒为正可得，函数在区间上为增函数，
依题意，函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得，
且，解得.
故选：C.
9．（24-25高三上·广东·阶段练习）函数在上的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】求出给定函数的周期，在区间上利用导数及零点存在性定理确定零点个数即可得解.
【详解】函数都是周期函数，其最小正周期为，
则函数的最小正周期为，
当时，，求导得，
当时，，，函数在上单调递减，
，函数在上有唯一零点；
当时，令，求导得，
，，而，则，
函数在上单调递增，而，
存在，使得，当时，，
当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
，函数在上无零点；
当时，，求导得，
当时，，，，，
函数在上单调递增，，
则函数在上存在唯一零点；
当时，令，求导得，
，，而，则，
函数在上单调递减，而，
存在，使得，当时，，
当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
函数在上无零点；
从而函数在有且只有2个零点，函数在有2个零点，
在上有1个零点，而，且，
所以函数在上有5个零.点
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题求解零点个数，探讨函数的周期，再在区间上分段讨论零点个数是关键.
10．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列函数在区间内存在唯一零点的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由一元二次方程的根可得A错误；先判断函数的单调性，再分别求出，结合零点存在定理得到BCD正确；
【详解】对于A，因为的解为或4，
所以在区间内没有零点，故A错误；
对于B，因为在上为增函数，
且，，
即，
所以在区间内存在唯一零点，故B正确；
对于C，因为在R上为增函数，且，，即，
∴在区间内存在唯一零点，故C正确；
对于D，因为在上为减函数，
且，，
即，
所以在区间内存在唯一零点，故D正确；
故选：BCD.
易错点06：二次函数的零点分布问题讨论不全
典例 3．（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）函数 的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用零点分布规律求出的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得.
【详解】由函数 的两个不同的零点均大于1，得，解得，
因此所求充分不必要条件是的非空真子集，ABD不满足，C满足.
故选：C
【易错剖析】
本题在根据根的分布列不等式组时，容易因为考虑不全面漏掉条件而出错.
【避错攻略】
一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解，一元二次方程根的分布问题主要有以下类型：
1.一元二次方程根的0分布
方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.
0分布结合判别式、韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。
2.一元二次方程根的k分布
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即
大致图象（a>0）
得出的结论
大致图象（a<0）
得出的结论
综合结论 （不讨论a）
3.一元二次方程根在区间的分布
分布情况 两根都在内 两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内，
大致图象（）
得出的结论 或
大致图象（）
得出的结论 或
综合结论（不讨论） ——————
易错提醒：研究二次函数零点的分布，一般从以下三个方面考虑：
(1)一元二次方程根的判别式；
(2)对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)对应二次函数图象，即抛物线的对称轴x＝－与区间端点的位置关系．
1．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，然后分类讨论结合一次方程和二次方程根的分布列不等式求解即可.
【详解】因为函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，
当时，方程可化为，解得，满足题意；
当时，方程为一元二次方程，其对称轴为，.
若，，此时方程的解为，满足题意；
若，由题意只需，解得且，
又时，，经检验满足题意，时，，经检验满足题意，
所以且；
综上，实数a的取值范围为.
故选：D
2．（2024·吉林·模拟预测）若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求导，分析可知有2个不相等的正根，结合二次方程的根的分布列式求解即可.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，再结合二次函数的性质求解即可；
【详解】作出图像，
令，则方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，且，
则，解得，
故选：.
1．（2024高三·全国·专题练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，且，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由一元二次方程根的分布可得，解不等式组可求得结果.
【详解】由题意可知，由可得，
设，
则，解得：，
所以的取值范围为.
故选：D.
2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）方程在区间和各有一个根的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围.
【详解】因为一元二次方程在区间和各有一个根，
令，则由题意可得，即，解得，
则方程在区间和各有一个根的充要条件是.
故选：B.
3．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数的两个零点分别在区间和上，则的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，画出可行域及目标函数，利用z的几何意义求出最值，即可求解.
【详解】由题意可得，即
则表示的可行域如图阴影部分（三角形内部，不包含边）所示：
其中，
，令，即
作出直线，平移直线，由图可知：
过点时，有最小值；
过点时，有最大值；
.
故选：C
4．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】设，
根据已知结合二次函数性质，作图

则有，
解得.
故选：C.
5．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数.若函数有8个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】画出函数的图象并利用函数与方程的思想结合图象可知方程有两个不相等的实数根，且，再由二次函数根的分布解不等式可得a的取值范围.
【详解】根据题意对于函数可得；
当时，令，可得，
所以时，，可得在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减；
因此在处取得极小值，也是最小值；
画出函数的图象如下图所示：
令，可得，
若函数有8个不同的零点，可知方程有两个不相等的实数根，
结合图象可知，
所以需满足，解得
故选：D
6．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）（多选）已知在上有两实根，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据给定条件，设出方程的两个实根，并表示及，再用基本不等式求出范围即可.
【详解】设方程的两个实根为，则，显然，
此时，即方程有两个实根，
因此
，当且仅当时取等号，显然，即，
所以的值可能为，，即AB错误，CD正确.
故选：CD
7．（2024高三·全国·专题练习）若方程得两根满足，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据根的分布，列不等式，即可求解.
【详解】函数的图象是连续曲线，
则由题意可知且，
即，解得或,
故实数的取值范围是或.
故答案为：或.
8．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数在区间有零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数的零点可以转化为与函数放入图象有交点即可，因此只需确定再区间的范围即可.
【详解】令，当时，，
当且仅当时取等，
且，
所以若在区间有零点，只需与函数有交点即可,
所以的取值范围是.
故答案为：
9．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）若二次函数在区间上存在零点，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意转化为方程在区间上有解，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】令，可得，即，
由函数在区间上存在零点，
即方程在区间上有解，
设，可得，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
10．（2024高三·全国·专题练习）若函数在上至少有一个零点.则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据，结合对称轴和根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】因为函数在区间上至少有一个零点，且，
所以或，解得或，即.
所以实数的取值范围为.
故答案为：
11．（23-24高三上·河北石家庄·期末）关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将方程变形为，然后令，将问题转化为方程和共有3个不同实数根，利用导数研究的图象，结合图象分析即可求解.
【详解】由，可得．
令，则，
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
又当趋于时，趋于0，当趋于时，趋于，当时，，
故可作的草图如图，

记方程的两根为，，
易知，若是方程的根，则，不满足题意.
因为方程有3个不等实数根，
所以，或，
当时，得，所以，即异号，不满足题意；
当时，则有，
得．
故的取值范围为．
故答案为：
【点睛】本题难点在于对原方程进行恒等变形，转化为关于的一元二次方程，然后转化为方程和共有3个不同实数根，结合图象即可解得.
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