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专题05 三角函数
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题型一：三角函数的定义及公式应用
易错点01　应用三角函数定义忽略终边位置的讨论
易错点02　诱导公式认识不深导致变形错误
易错点03　三角求值不能深挖角的范围出错
题型二 三角函数的图像与性质
易错点04　判断三角函数的单调性忽略系数的符号
易错点05 混淆函数图像变换的规律而致错
易错点06 参数问题不能准确判断临界点
题型一：三角函数的定义及公式应用
易错点01：应用三角函数的定义忽略终边位置的讨论
典例 （24-25高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为 ．
【答案】
【分析】先分两种情况角的终边在第二象限或第四象限取点再结合余弦函数定义求值即可.
【详解】∵角的终边在直线上，∴角的终边在第二象限或第四象限．
当角的终边在第二象限时，在角的终边上取一点，
则点P到原点的距离，∴．
当角的终边在第四象限时，在角的终边上取一点，
则点到原点的距离，∴．
综上，或．
故答案为：.
【易错剖析】
本题容易忽略对角终边所在象限的讨论而漏解.
【避错攻略】
1．角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3.三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
（1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
（2）已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。
（3）已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值。
易错提醒：对三角函数的定义的理解：(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个坐标(或比值)的集合的对应．
(2)三角函数可以用比值来定义，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．
1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的定义，结合二倍角公式即可得解.
【详解】根据三角函数的概念，，，
故选：C.
2．（2025·福建福州·模拟预测）以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用三角函数的定义，直接求出，再利用倍角公式求出，即可求出结果.
【详解】因为角的终边落在直线上，
当角的终边在第一象限时，终边过点，
此时，，，，
当角的终边在第三象限时，终边过点，
此时，，，，
故选：C.
3．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角绕原点逆时针转后，终边交单位圆于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到与的值，分类讨论的取值，结合三角函数的和差公式即可得解.
【详解】设锐角绕原点逆时针转后得角，则，
根据题意角终边交单位圆于，则，则，
若，则，
所以
，与为锐角不符合；
若，则
所以
，满足条件；
综上，的值为.
故选：C.
1．（2024·山东·一模）已知角终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数定义和二倍角的正弦公式即可得到答案.
【详解】由题意得，，
所以.
故选：D.
2．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义及二倍角的余弦公式得解.
【详解】由三角函数定义，，
所以，
解得或（由为锐角知，舍），
故选：D
3．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）
A．4 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据角的终边上的点的坐标写出余弦值，结合角的象限，即可求解.
【详解】由三角函数的定义可知，解得，
因为是第四象限的角，所以，则，
故选：C.
4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知角的终边在直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由角的终边，得，由同角三角函数的关系得，代入求值即可.
【详解】因为角的终边在直线上，所以.
所以.
故选：D.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由两直线垂直可得角的终边在直线上，即可得到结果.
【详解】由于角的终边与直线垂直，则角的终边在直线上，
不论角的终边在第一象限还是第三象限，都有.
故选：A．
6．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的定义得到三角函数值，然后利用二倍角公式和辅助角公式计算.
【详解】，
，圆的半径为1．
根据三角函数的定义，易得，，
又，
为等边三角形，则，且为锐角，．
故选：A．
7．（24-25高三上·上海·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，若角的终边经过点，则 .
【答案】/-0.2
【分析】根据三角函数的定义分别计算该交的正弦与余弦值计算即可.
【详解】由题可知，，
所以
故答案为：
8．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半抽重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则 ．
【答案】
【分析】先根据任意角三角函数的定义求出，再根据两角和的正弦公式展开即可求解.
【详解】因为角的终边与单位圆的交点坐标是，所以，
故.
故答案为：
9．（24-25高三上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，角的终边经过点.若角的终边逆时针旋转得到角的终边，则 .
【答案】/
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
又，
所以.
故答案为：
10．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，且α与β的终边关于直线对称，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】设点是角的终边上的任意一点（除原点外），求出点关于对称的点的坐标，再根据三角函数的定义计算可得；
【详解】解：设点是角的终边上的任意一点（除原点外），则其关于直线的对称点为；
已知角的终边与角的终边关于直线对称，所以点必在角的终边上，
由三角函数的定义有，又，
所以，因为
所以，
所以的最大值为
故答案为：
易错点02：诱导公式认识不清导致变形错误
典例 （24-25高三上·山西长治·阶段练习）（多选）已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用诱导公式判断A、C，利用诱导公式及二倍角公式判断B，利用同角三角函数的基本关系求出，再由及两角差的正弦公式判断D.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：因为，所以，又，，
所以，则，
所以，故D正确.
故选：ABD
【易错剖析】
本题求解时若不能发现角与角之间的关系就不能选择合适的公式进行化简，或者错选公式而陷入繁琐的计算中去.
【避错攻略】
1.诱导公式的内容
（1），，，其中
（2），，，其中
（3），，，其中
（4），．，，其中
2.诱导公式的记忆
诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．
诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．
因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．
3.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
（1）“负化正”：用公式一或三来转化．
（2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角．
（3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角．
（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．
易错提醒：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍；二是要记牢诱导公式，做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.
1．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可求值.
【详解】.
故选：A.
2．（24-25高三上·安徽·期中）由，可求得的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由诱导公式以及二倍角的正弦公式化简可得出关于的二次方程，结合可得出的值.
【详解】因为，
又因为，则，
因为，，
则，
所以，，解得，
故选：B.
3．（24-25高三上·江苏南通·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由配凑法和诱导公式二得到，再由同角的三角函数关系和二倍角的余弦公式计算可得；
【详解】，
故选：C．
1．（24-25高三上·湖北·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由诱导公式求解．
【详解】，
故选：B．
2．（24-25高三上·山东菏泽·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由诱导公式得到，进而由诱导公式和二倍角公式求出答案.
【详解】，
.
故选：C
3．（24-25高三上·辽宁·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由诱导公式求得，再由平方关系求得，最后由二倍角公式求解．
【详解】因为，所以，
所以.
故选：D
4．（24-25高三上·湖南·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式结合二倍角公式求解即可.
【详解】由题意可得，
故
.
故选：A.
5．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数的基本关系及同角三角函数商的关系即可求解.
【详解】因为，所以.所以.
故选：B.
6．（24-25高三上·广西·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系分别求，，再根据角度之间的和差倍关系，利用诱导公式与二倍角公式求解即可.
【详解】因为，所以，
则，所以，
所以.
故选：C.
7．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先用诱导公式将转化为，再用辅助角公式，最后两边平方即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
所以，即，
所以，即，
两边同时平方整理得，所以．
故选：A
8．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据求出的范围，再根据二倍角公式可得，进而根据同角的三角函数的关系和诱导公式求出结果．
【详解】，，
，
，
，
又，，
，
．
故选：C．
9．（24-25高三上·上海·阶段练习）若，则
【答案】/
【分析】首先根据商数关系及其诱导公式求出，然后再根据诱导公式化简目标式子，最后根据齐次式思想进行求解即可.
【详解】已知，解得：；
，
构造齐次式可得：，
代入，得：.
故答案为：
易错点03：三角求值中不能挖掘角的范围而出错
典例 1．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案.
【详解】由，则，
，，
由，易知，解得，
由，，且，则，
可得，
所以
，
当时，，，
此时，则，
由，，
则，易知，解得，此时
；
当时，，，
此时，则，
由，，
则，易知，解得，；
故选：B.
【易错剖析】
本题在求解过程中要注意结合和三角函数值的符号缩小角的范围，这是本题求解的关键，也是题目的难点和易错点.
【避错攻略】
1．同角三角函数基本关系及其变形公式
2.同角三角函数基本关系式的应用技巧
（1）正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
①利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.
②形如等类型可进行弦化切.
（2）注意公式的逆用及变形应用：
.
（3）应用公式时注意方程思想的应用：
对于这三个式子，利用，可以知一求二.
3.常用三角公式
（1）和角与差角公式：，，
；
（2）倍角公式：，，
；
【注意】
（1）给值求角问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法；
（2）求值问题的一般步骤：①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；③根据题设角的范围求出相应角的函数值；④将已知条件和所求值代入所求式子，化简求值.
易错提醒：应用同角三角函数关系式的注意事项：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.
1．（24-25高三上·湖北·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题设可得、，再由余弦差角公式即可得结果.
【详解】由，即，
由，即，而，则，
所以，可得.
故选：B
2．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用韦达定理和正切的两角差公式，先求出的值，再利用弦化切思想来求的值即可.
【详解】因为是方程的两个根，即也是方程的两个根，
所以，
且可知，又由，则，
再由两角差的正切公式可得：，
因为，所以，即，
则，
故选：D.
3．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值.
【详解】因，所以.又，所以.
根据，得，同时也能确定.
因为，，，所以.
.
将转化为.
所以
因为，，所以.
在这个区间内，时，.
故选：C.
1．（24-25高一上·河北保定·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】，利用同角三角函数关系得到正弦和正切值.
【详解】，故，则，
故.
故选：A
2．（2024·广东肇庆·一模）已知，，则（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】先由已知和余弦函数值确定，再由同角的三角函数关系化简计算即可；
【详解】因为，所以，
因为，所以，
，
所以，，
所以.
故选：A.
3．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，可得，由，可得与，结合两角差的正切公式可得解.
【详解】由，可得，
又，所以，
故，，
又，解得，
故选：B.
4．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知，都是锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用两角和与差的正弦公式展开，化切为弦得，代入即可求解.
【详解】由题意，又，
所以，即，
所以，所以.
故选：D
5．（24-25高三上·青海·期中）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用，结合三角恒等变换可求值.
【详解】因为，，，，
所以，，
所以
，
则．
故选：D.
6．（24-25高三上·河北·期中）已知，均为锐角，，，则 ．
【答案】
【分析】首先求出，，再利用两角差的余弦公式和二倍角公式即可.
【详解】因为，均锐角，则，,
因为，，则，
，
,
，
则.
故答案为：．
7．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，，，，则的值为 .（用弧度制表示）
【答案】
【分析】由二倍角的余弦定理，三角函数的基本关系和，可求出，，再由，代入化简即可得出答案.
【详解】，，
又，，所以，
，，，
又，，，
，
结合可知：.
故答案为：.
8．（2024高三·全国·专题练习）已知是三角形的一个内角，，则 ．
【答案】
【分析】先应用同角三角函数的基本关系及角的范围得出，再结合两角和的余弦公式计算即可.
【详解】由题知
,
，
．
故答案为：.
9．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）（1）已知，，求，；
（2）已知，，求；
（3）已知，，且，求的值.
【答案】（1），；
（2）；
（3）.
【分析】（1）由，求出，利用倍角公式求和；
（2），由两角差的正切公式计算；
（3）由和，求出和，再由，利用两角差的余弦公式计算，可得的值.
【详解】（1）由，有，
已知，则，
，
；
（2）已知，，
则；
（3）由，得，，，
由，得，
由，得，，，
由，得，
，
，
所以.
10．（24-25高三上·山东滨州·期中）已知，，求下列式子
(1)
(2)
(3)和和
【答案】(1)
(2)
(3)，，，
【分析】（1）由，两边平方可得；
（2）由，求值即可；
（3）由，求和和.
【详解】（1）由，
两边平方可得：，
所以.
（2）由，又，则，
可得
（3）由，得：，，.
题型二 三角函数的图像与性质
易错点04：判断三角函数的单调性忽略的符号
典例 2（2025高三·全国·专题练习）在上的单调递减区间为 .
【答案】和
【分析】化简的解析式，求出的单调递减区间，求出与集合的交集即可.
【详解】，
令
得
则的单调递减区间为
令,
∴在上的单调递减区间为和.
故答案为：和.
【易错剖析】
本题求解时容易忽略在x的系数小于零这一条件，直接将代入正弦函数的减区间而出错.
【避错攻略】
1正弦函数、余弦函数与正切函数的单调性
由正弦函数、余弦函数、正切函数的图形特征(如图)，不难得到三种函数的单调区间(以下k∈Z)：
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
(1)正弦函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)余弦函数的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]；
(3)正切函数的单调递增区间为，没有单调递减区间．
2．求y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体，代入对应的单调区间，再把x解出来，便得所求的区间．(注意，为了避免复合函数有关知识点的介入，降低难度，统一规定x的系数ω>0，如果题中ω<0，则应转换成ω>0再求解)
【说明】（1）正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间；正切函数y＝tan x在其定义域
内不是单调函数；
（2）求解（或判断）三角函数的单调区间（或单调性）是求值域（或最值）的关键一步；
（3）确定含有正弦、余弦、正切函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断.
易错提醒：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。
1．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意要求函数的单调递增区间即求函数的递减区间即可求解.
【详解】由题意得，
要求的递增区间即求的递减区间，
当，，即，时，
单调递减，即单调递增，故B正确.
故选：B.
2．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求出定义域，再根据复合函数单调性即可得到单调增区间.
【详解】令，可得．
当时，函数单调递增．
所以当时，单调递增．
故在上单调递增．
故选：A.
3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数 的单调递减区间为 .
【答案】.
【分析】根据正弦函数的单减区间，正弦型函数的单减区间应满足，，解得的范围可得结果.
【详解】
的单调递减区间即为的单调递增区间.
令，，得,.
故其单调递减区间为.
故答案为：.
1．（24-25高三上·青海西宁·期中）下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的单调性及复合函数的单调性性质判断．
【详解】，，在上均不是单调函数，
时，，
所以在上为增函数，在上为减函数.
故选：D．
2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用三角函数的图象变换法则得出，再求出的单调区间，即可求解．
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得，
将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得到函数，
令，
解得，
令得，，所以，
故选：C．
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在下列区间函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】根据正弦函数的图象，作出函数的图象，如图所示，
可得函数在区间上单调递减.
故选：C.
4．（23-24高二下·云南红河·期末）若函数，则函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】先将函数解析式化简整理，得到，根据，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
则函数的单调递增区间为，，
故选：C
5．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期中）设函数的图象关于原点对称，且相邻对称轴之间的距离为则函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的对称性求出，根据最小正周期求出，即可求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为函数的图象关于原点对称，则，
解得，又，所以，
又相邻对称轴之间的距离为，则，又，
所以，解得，
所以，
令，
解得，
所以的单调增区间为.
故选：B
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象重合，则在下列哪个区间上单调递增（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数相等得到，再化简得出的值和的解析式，最后求出的单调增区间即可.
【详解】由题意可知，，所以，即，
又因为，所以，
所以，解得，即.
令，
解得，
所以的单调递增区间为
所以在上单调递增.
故选：B.
7．（2024·湖北·二模）将函数的图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单测递减 D．在区间上单调递增
【答案】B
【分析】根据三角函数图象的变换及性质判定选项即可.
【详解】函数的图象上每一点的横坐标变为原来的得，
再向右平移个单位长度得，
即，
由，得增区间为，．
当时，一个增区间为，而，所以B正确.
故选：B
8．（2024·江西南昌·一模）已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．是奇函数 B．
C．在上递增 D．在上递增
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义可判A；根据复合函数的单调性并求出最值判断B、C、D
【详解】因为，所以定义域关于原点对称，
且，
所以是奇函数；故A对；
令，所以在单调递增，
所以，即，又在单调递增，
所以在单调递增，故D对；
因为是奇函数，所以在上递增，故C对，
综上，，则，故B错；
故选： B
9．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数在的单调递减区间是
【答案】和
【分析】，求得在的单调递增区间即可.
【详解】，
故的单调递增区间即为的减区间，
由，得，
又，所以或，
所以函数在的单调递减区间是和.
故答案为：和.
10．（2024·四川南充模拟）已知函数，有以下说法：
①的值域为；
②是周期函数；
③在上单调递增，在单调递减；
④对任意的，方程在区间上有无穷多个解．
其中所有正确的序号为 ．
【答案】①③④
【分析】设，则，于是问题转化成的函数的性质的研究问题，①③④可以借助正弦函数的性质说明，②可以通过反证法说明其错误.
【详解】对于①，设，由正弦函数的性质可知，的值域为，故①正确；
对于②，假设的周期为，于是，显然处有定义，故，但在处无定义，于是没有周期，故②错误；
对于③，设，由于，故，单调递减，，关于在上递减，由复合函数的单调性知关于在上递增，同理，，故，单调递减， ，关于在上递增，由复合函数的单调性知，关于在上递减，故③正确；
对于④，设，由得，则，由①，，根据正弦函数的性质，，在有无数多个解，也就是无数多个满足该方程，即有无数多个可以使得成立，故④正确.
故答案为：①③④
易错点04：混淆函数图像的变化规律致错
典例 （24-25高三上·山东青岛·阶段练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】根据三角函数图象平移变换法则判断，注意化为同名函数．
【详解】，
所以将函数的图象向右平移个单位即得函数的图象，
故选：D．
【易错剖析】
本题求解时容易在两个地方出错，一是没有注意到给出的两个函数不同名，没有用诱导公式变形；二是忽略自变量系数对平移单位的影响.
【避错攻略】
1.作正弦函数和余弦函数简图的五个关键点
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
2.φ,ω,A对y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的影响
（1）φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sin x的图象上所有的点向　　　　(当φ>0时)或向　　　　(当φ<0时)平移　　　个单位长度得到的.
（2）ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的　　　　坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的　　　　倍(纵坐标不变)而得到的.
（3）A(A>0)对y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的　　　　坐标伸长(当A>1时)或缩短(当03.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
易错提醒：在进行图像变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或y=Acos(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
1．（24-25高三上·四川成都·期中）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】根据三角函数图象变换的知识确定正确答案.
【详解】，
所以将函数的图象向左平移个单位长度，
得到.
故选：A
2．（24-25高二上·上海·阶段练习）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】根据两角和的正弦函数，将表达式化为一个三角函数的形式，然后根据左加右减的原则，判断平移的方向与单位.
【详解】
，
则，
将向右平移个单位可得到，
故选：D.
3．（23-24高三下·安徽铜陵·模拟）若函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由三角函数的平移变换，得到变换后的解析式，由于变换后的图象与原图象重合，所以相差周期的整数倍，求解即可.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为．
因为平移后的图象与原图象重合，所以有（），
即（），又，所以的最小值为3．
故选：B
1．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）要得到的图象，只需把图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变
【答案】A
【分析】根据诱导公式可得，再根据三角函数的伸缩变换求解即可.
【详解】因为，
所以要得到的图象，
只需把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变.
故选：A.
2．（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数满足，函数，则将图象向（ ）平移（ ）个单位长度后可以得到的图象.
A．左 B．左
C．右 D．右
【答案】A
【分析】根据求出，即可得到解析式，再根据三角函数的变换规则判断即可.
【详解】因为，即，即，
所以，又，所以当时，可得，
所以，
将向左平移个单位，可得函数.
故选：A
3．（24-25高三上·贵州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意可得函数的解析式，根据三角函数的性质，可得答案.
【详解】由题意得，且，
由，得，
因为，所以的最小值为3.
故选：C.
4．（2024·北京·模拟预测）将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（ ）
A．将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位
B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位
C．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍
D．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍
【答案】C
【分析】根据三角函数的图象变换进行选择.
【详解】由的图象变换为的图象，有以下两种思路：
（1）先将的图象向右平移个单位，得的图象，
再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
得的图象，故C正确，D错误；
（2）先将的图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
得的图象，再把所得函数图象向右平移个单位，
得的图象，故AB错误.
故选：C
5．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据伸缩变换和平移变换得到.
【详解】的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
纵坐标伸长为原来的2倍，得到，
向右平移个单位长度，得到函数,
故选：B
6．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，把的图象向右平移φ个单位长度后，恰好得到函数的图象，则φ的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简与，再结合函数图象的平移求的值.
【详解】因为，
.
且.
所以将的图象向左平移个单位可得的图象.
又函数与的周期均为.
所以将的图象向右平移个单位可得的图象.
故选：D
7．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．向左平移后的所得函数 B．向右平移后的所得函数
C．向左平移后的所得函数 D．向右平移后的所得函数
【答案】A
【分析】利用辅助角公式可得，结合三角函数图象变换结合函数奇偶性分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：向左平移后的所得函数，为奇函数，故A正确；
对于选项B：向右平移后的所得函数，不为奇函数，故B错误；
对于选项C：向左平移后的所得函数，不为奇函数，故C错误；
对于选项D：向右平移后的所得函数，不为奇函数，故D错误；
故选：A.
8．（23-24高一下·广东广州·期末）将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由函数的图象与的图象重合，得即可求得答案.
【详解】将的图象向左平移个单位长度，
得，其图象与的图象重合，
则，解得，的值不可能为1，3，4，可以为2.
故选：B
易错点07：参数问题不能准确判断临界点
典例 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解法一】令，求得，故函数的极值点依次为：
，因为在区间恰有三个极值点，故
，解得；
令，求得，故函数的零点依次为：
，因为在区间恰有两个点，故解得，
从而的是.
【解法二】依题意可得，因为，所以，设
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
【易错剖析】
本题在求解过程中往往由于不能准确判断临界点而错判参数的取值范围.
【避错攻略】
根据三角函数的相关性质求解参数的值或取值范围是三角函数中比较典型的一类问题，这类问题一般涉及值域、单调性及周期性等性质，三角函数因为其函数性质的特殊性，如正弦函数和余弦函数的有界性，往往在确定变量范围或最大、最小值有关问题上起着特殊作用，如果试题本身对自变量的取值范围问题有限制,则更应该充分注意。
1、与三角函数单调性有关的参数问题
如果解析式中含有参数，要求根据函数单调性求参数的取值范围，通常先求出单调区间，然后利用集合间的关系求解；或转化为使得某个等式或不等式恒(可以)成立，通过分离参数，求出解析式的范围或最值，进而求出参数的范围.
【注意】由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区间)求解ω或φ的取值范围，则将区间端点值代入后，去对应(k∈Z)或(k∈Z)列出不等式求解．另外，因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的单调递减(增)区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω的范围．　
2、与对称性有关的参数问题
一般来说,若函数在某个区间上单调,并且给出了对称轴方程,则可先利用“该区间长度小于或等于半周期长度”大致确定的范围,再利用对称轴是否在该区间内进一步约束的范围,最后对剩下的进行逐一检验,进而确定的准确范围.
【注意】（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心为(k∈Z)，对称轴为x＝－＋＋(k∈Z)，此时函数的对称中心和对称轴可用参数ω表示，对称中心和对称轴的取值与参数ω有着紧密的联系．
（2）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值．
3、与三角函数的最值存在有关的参数问题
一般考查形式是给出区间最值点的个数求参数范围，这种题目一种思路是求出所有的最值点根据区间内最值点的个数列出不等式求解，另一种思路利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
4、与三角函数的零点有关的参数问题
解决此类问题，要先根据所给的单调区间判断ω的大致范围，再计算对称轴，依据函数在所给区间的极值点及对称轴缩小范围，从而求出ω的范围．
注：一般来说,已知函数在某个区间上有个零点、最值等,可将看作一个整体,再利用正弦函数的性质解题.
易错提醒：这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为的形式；根据题设给出限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出的大致范围；在求出的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出不等式求解。
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平移规则可得的解析式，再由正弦函数的单调性得出对应不等式可得结果.
【详解】由题可得，
因为，所以当时，，且
因为在单调递增，所以，
又，解得.
故选：B
2．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】化简的解析式，根据三角函数的单调性、零点列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
.
，由于在区间上有且只有一个零点，
所以，
而，
其中，而，
在区间上单调递增，
所以，解得，
则.
故选：D
【点睛】方法点睛：本题的解法关键在于将给定的复杂函数表达式通过三角恒等式化简为一个简单的正弦函数形式，从而利用正弦函数的零点特性和单调性来求解参数的范围.
3．（24-25高三上·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数，其中，若在区间内恰有两个极值点，且，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题干先求出的范围，进而求出的范围，再根据得出函数的图象关于点中心对称，最后根据图像的对称中心得出结论.
【详解】由题意知，函数在内有两个极值点，
设两个极值点分别为，则，则（为函数的最小正周期），
解得.又，所以，
由，得函数的图象关于点中心对称，
即，即，
由，得，即的取值集合为.
故选：B
1．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）函数的图象向右平移个长度单位得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出的解析式，法一：根据的取值范围，求出，结合正弦函数的单调性求出的取值范围，即可得解；法二：求出函数的单调递增区间，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解.
【详解】函数的图象向右平移个单位即可得到
的图象，
法一：当时，，
若在区间上单调递增，则，解得，
即的最大值为；
法二：令，
解得，
所以函数的单调递增区间为，
依题意可得，所以，即的最大值为.
故选：B.
2．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出范围，由交集得出最后范围.
【详解】令，
则
当时，，∴，即，
令，则，
∵时，，
且时，，时，，时，，
∴，∴，
综上，.
故选：D.
3．（24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦型函数得图像特征，借助极小值点的个数以及单调区间来确定的取值范围即可.
【详解】对于函数，极小值点为.
，令，.
因为有且仅有个极小值点.
当时，；当时，；当时，.
所以，解不等式得.
因为的单调递增区间为.
对于，令，则.
因为在上单调递增，所以.
当时，，则且.
解不等式得.
综合以上两个条件，的取值范围是.
故选：D.
4．（2024·广东·二模）已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ).
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调，
所以列出不等式，计算出，判断即可.
【详解】由题意知，，则，
因为，所以，又因为在区间上单调，
所以，解得，则的最大值为.
故选：B.
5．（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（）在上单调，在上存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦函数的性质，求得函数的单调区间以及极值点，结合题意建立不等式，可得答案.
【详解】函数，令，
则其减区间为，增区间为，，
由函数在上单调，则，解得，
①当函数在上单调递减时，则，解得，
由，则，；
②当函数在上单调递增时，则，解得，
由，则不符合题意；
易知当，即时，函数取得极值，
可得，解得，由，则，，
综上所述，.
故选：B.
6．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正切函数的图象与性质，得到，且，即可求解.
【详解】由函数在上单调递增，
根据正切函数的性质，可得，
当时，可得，则，解得．
故选：D.
7．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据对称轴，得到解得，再根据在上没有最小值，得到，计算即可.
【详解】由的图象关于直线对称可得，，
而，故，.
若，则，故由可知在上有最小值.
所以，.
故选：A．
8．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合函数的对称性，及在区间上的单调性，可知，又函数与直线交点的横坐标为，从而得，进而可求出的取值范围.
【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以，
又，得，
令，得，
所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，
所以，解得，
综上所述，.
故选：.
【点睛】关键点点睛：关于三角函数中的取值范围问题，结合三角函数的单调性与最大（小）值列关于的不等式，从而求解即可.
9．（2024·广东广州·模拟预测）（多选）设函数，已知在区间有且仅有个对称中心，则（ ）
A．在区间有且仅有2个极大值点 B．在区间有且仅有3个极小值点
C．在区间单调递减 D．的取值范围是
【答案】AC
【分析】根据在区间上对称中心的个数求得的取值范围，根据极大值、极小值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由，得，
由于在区间有且仅有5个对称中心，
所以，解得，所以D选项错误.
由上述分析可知，
所以对于A选项，由或，
即或时，取得极大值，所以A选项正确.
对于B选项，当时，
，
由或，
即或时，取得极小值，
即只有个极小值，所以B选项错误.
对于D选项，由上述分析可知，
所以当时，，
所以在区间单调递减，C选项正确.
故选：AC
10．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称．且在区间上单调，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据辅助角公式将函数进行化简，结合函数的对称性的单调性的性质求出的取值范围，进行求解即可.
【详解】
因为函数关于对称，所以，解得：，
又因为在区间上单调，所以，解得：，
综上，当时，，
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 三角函数
目 录
题型一：三角函数的定义及公式应用
易错点01　应用三角函数定义忽略终边位置的讨论
易错点02　诱导公式认识不深导致变形错误
易错点03　三角求值不能深挖角的范围出错
题型二 三角函数的图像与性质
易错点04　判断三角函数的单调性忽略系数的符号
易错点05 混淆函数图像变换的规律而致错
易错点06 参数问题不能准确判断临界点
题型一：三角函数的定义及公式应用
易错点01：应用三角函数的定义忽略终边位置的讨论
典例 （24-25高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为 ．
【答案】
【分析】先分两种情况角的终边在第二象限或第四象限取点再结合余弦函数定义求值即可.
【详解】∵角的终边在直线上，∴角的终边在第二象限或第四象限．
当角的终边在第二象限时，在角的终边上取一点，
则点P到原点的距离，∴．
当角的终边在第四象限时，在角的终边上取一点，
则点到原点的距离，∴．
综上，或．
故答案为：.
【易错剖析】
本题容易忽略对角终边所在象限的讨论而漏解.
【避错攻略】
1．角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3.三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
（1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
（2）已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。
（3）已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值。
易错提醒：对三角函数的定义的理解：(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个坐标(或比值)的集合的对应．
(2)三角函数可以用比值来定义，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．
1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·福建福州·模拟预测）以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角绕原点逆时针转后，终边交单位圆于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·山东·一模）已知角终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）
A．4 B．4 C． D．
4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知角的终边在直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·上海·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，若角的终边经过点，则 .
8．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半抽重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则 ．
9．（24-25高三上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，角的终边经过点.若角的终边逆时针旋转得到角的终边，则 .
10．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，且α与β的终边关于直线对称，则的最大值为 ．
易错点02：诱导公式认识不清导致变形错误
典例 （24-25高三上·山西长治·阶段练习）（多选）已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用诱导公式判断A、C，利用诱导公式及二倍角公式判断B，利用同角三角函数的基本关系求出，再由及两角差的正弦公式判断D.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：因为，所以，又，，
所以，则，
所以，故D正确.
故选：ABD
【易错剖析】
本题求解时若不能发现角与角之间的关系就不能选择合适的公式进行化简，或者错选公式而陷入繁琐的计算中去.
【避错攻略】
1.诱导公式的内容
（1），，，其中
（2），，，其中
（3），，，其中
（4），．，，其中
2.诱导公式的记忆
诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．
诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．
因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．
3.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
（1）“负化正”：用公式一或三来转化．
（2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角．
（3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角．
（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．
易错提醒：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍；二是要记牢诱导公式，做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.
1．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·安徽·期中）由，可求得的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·江苏南通·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高三上·湖北·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·山东菏泽·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·辽宁·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·湖南·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·广西·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高三上·上海·阶段练习）若，则
易错点03：三角求值中不能挖掘角的范围而出错
典例 1．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案.
【详解】由，则，
，，
由，易知，解得，
由，，且，则，
可得，
所以
，
当时，，，
此时，则，
由，，
则，易知，解得，此时
；
当时，，，
此时，则，
由，，
则，易知，解得，；
故选：B.
【易错剖析】
本题在求解过程中要注意结合和三角函数值的符号缩小角的范围，这是本题求解的关键，也是题目的难点和易错点.
【避错攻略】
1．同角三角函数基本关系及其变形公式
2.同角三角函数基本关系式的应用技巧
（1）正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
①利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.
②形如等类型可进行弦化切.
（2）注意公式的逆用及变形应用：
.
（3）应用公式时注意方程思想的应用：
对于这三个式子，利用，可以知一求二.
3.常用三角公式
（1）和角与差角公式：，，
；
（2）倍角公式：，，
；
【注意】
（1）给值求角问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法；
（2）求值问题的一般步骤：①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；③根据题设角的范围求出相应角的函数值；④将已知条件和所求值代入所求式子，化简求值.
易错提醒：应用同角三角函数关系式的注意事项：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.
1．（24-25高三上·湖北·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高一上·河北保定·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东肇庆·一模）已知，，则（ ）
A． B．或
C． D．或
3．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知，都是锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·青海·期中）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河北·期中）已知，均为锐角，，，则 ．
7．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，，，，则的值为 .（用弧度制表示）
8．（2024高三·全国·专题练习）已知是三角形的一个内角，，则 ．
9．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）（1）已知，，求，；
（2）已知，，求；
（3）已知，，且，求的值.
10．（24-25高三上·山东滨州·期中）已知，，求下列式子
(1)
(2)
(3)和和
题型二 三角函数的图像与性质
易错点04：判断三角函数的单调性忽略的符号
典例 （2025高三·全国·专题练习）在上的单调递减区间为 .
【答案】和
【分析】化简的解析式，求出的单调递减区间，求出与集合的交集即可.
【详解】，
令
得
则的单调递减区间为
令,
∴在上的单调递减区间为和.
故答案为：和.
【易错剖析】
本题求解时容易忽略在x的系数小于零这一条件，直接将代入正弦函数的减区间而出错.
【避错攻略】
1正弦函数、余弦函数与正切函数的单调性
由正弦函数、余弦函数、正切函数的图形特征(如图)，不难得到三种函数的单调区间(以下k∈Z)：
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
(1)正弦函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)余弦函数的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]；
(3)正切函数的单调递增区间为，没有单调递减区间．
2．求y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体，代入对应的单调区间，再把x解出来，便得所求的区间．(注意，为了避免复合函数有关知识点的介入，降低难度，统一规定x的系数ω>0，如果题中ω<0，则应转换成ω>0再求解)
【说明】（1）正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间；正切函数y＝tan x在其定义域
内不是单调函数；
（2）求解（或判断）三角函数的单调区间（或单调性）是求值域（或最值）的关键一步；
（3）确定含有正弦、余弦、正切函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断.
易错提醒：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。
1．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数 的单调递减区间为 .
1．（24-25高三上·青海西宁·期中）下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在下列区间函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·云南红河·期末）若函数，则函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期中）设函数的图象关于原点对称，且相邻对称轴之间的距离为则函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象重合，则在下列哪个区间上单调递增（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖北·二模）将函数的图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单测递减 D．在区间上单调递增
8．（2024·江西南昌·一模）已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．是奇函数 B．
C．在上递增 D．在上递增
9．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数在的单调递减区间是
10．（2024·四川南充模拟）已知函数，有以下说法：
①的值域为；
②是周期函数；
③在上单调递增，在单调递减；
④对任意的，方程在区间上有无穷多个解．
其中所有正确的序号为 ．
易错点04：混淆函数图像的变化规律致错
典例 （24-25高三上·山东青岛·阶段练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】根据三角函数图象平移变换法则判断，注意化为同名函数．
【详解】，
所以将函数的图象向右平移个单位即得函数的图象，
故选：D．
【易错剖析】
本题求解时容易在两个地方出错，一是没有注意到给出的两个函数不同名，没有用诱导公式变形；二是忽略自变量系数对平移单位的影响.
【避错攻略】
1.作正弦函数和余弦函数简图的五个关键点
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
2.φ,ω,A对y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的影响
（1）φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sin x的图象上所有的点向　　　　(当φ>0时)或向　　　　(当φ<0时)平移　　　个单位长度得到的.
（2）ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的　　　　坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的　　　　倍(纵坐标不变)而得到的.
（3）A(A>0)对y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的　　　　坐标伸长(当A>1时)或缩短(当03.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
易错提醒：在进行图像变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或y=Acos(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
1．（24-25高三上·四川成都·期中）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．（24-25高二上·上海·阶段练习）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
3．（23-24高三下·安徽铜陵·模拟）若函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
1．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）要得到的图象，只需把图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变
2．（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数满足，函数，则将图象向（ ）平移（ ）个单位长度后可以得到的图象.
A．左 B．左
C．右 D．右
3．（24-25高三上·贵州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·北京·模拟预测）将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（ ）
A．将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位
B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位
C．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍
D．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍
5．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，把的图象向右平移φ个单位长度后，恰好得到函数的图象，则φ的值可以为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．向左平移后的所得函数 B．向右平移后的所得函数
C．向左平移后的所得函数 D．向右平移后的所得函数
8．（23-24高一下·广东广州·期末）将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
易错点07：参数问题不能准确判断临界点
典例 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解法一】令，求得，故函数的极值点依次为：
，因为在区间恰有三个极值点，故
，解得；
令，求得，故函数的零点依次为：
，因为在区间恰有两个点，故解得，
从而的是.
【解法二】依题意可得，因为，所以，设
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
【易错剖析】
本题在求解过程中往往由于不能准确判断临界点而错判参数的取值范围.
【避错攻略】
根据三角函数的相关性质求解参数的值或取值范围是三角函数中比较典型的一类问题，这类问题一般涉及值域、单调性及周期性等性质，三角函数因为其函数性质的特殊性，如正弦函数和余弦函数的有界性，往往在确定变量范围或最大、最小值有关问题上起着特殊作用，如果试题本身对自变量的取值范围问题有限制,则更应该充分注意。
1、与三角函数单调性有关的参数问题
如果解析式中含有参数，要求根据函数单调性求参数的取值范围，通常先求出单调区间，然后利用集合间的关系求解；或转化为使得某个等式或不等式恒(可以)成立，通过分离参数，求出解析式的范围或最值，进而求出参数的范围.
【注意】由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区间)求解ω或φ的取值范围，则将区间端点值代入后，去对应(k∈Z)或(k∈Z)列出不等式求解．另外，因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的单调递减(增)区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω的范围．　
2、与对称性有关的参数问题
一般来说,若函数在某个区间上单调,并且给出了对称轴方程,则可先利用“该区间长度小于或等于半周期长度”大致确定的范围,再利用对称轴是否在该区间内进一步约束的范围,最后对剩下的进行逐一检验,进而确定的准确范围.
【注意】（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心为(k∈Z)，对称轴为x＝－＋＋(k∈Z)，此时函数的对称中心和对称轴可用参数ω表示，对称中心和对称轴的取值与参数ω有着紧密的联系．
（2）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值．
3、与三角函数的最值存在有关的参数问题
一般考查形式是给出区间最值点的个数求参数范围，这种题目一种思路是求出所有的最值点根据区间内最值点的个数列出不等式求解，另一种思路利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
4、与三角函数的零点有关的参数问题
解决此类问题，要先根据所给的单调区间判断ω的大致范围，再计算对称轴，依据函数在所给区间的极值点及对称轴缩小范围，从而求出ω的范围．
注：一般来说,已知函数在某个区间上有个零点、最值等,可将看作一个整体,再利用正弦函数的性质解题.
易错提醒：这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为的形式；根据题设给出限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出的大致范围；在求出的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出不等式求解。
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数，其中，若在区间内恰有两个极值点，且，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）函数的图象向右平移个长度单位得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东·二模）已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ).
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（）在上单调，在上存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
8．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东广州·模拟预测）（多选）设函数，已知在区间有且仅有个对称中心，则（ ）
A．在区间有且仅有2个极大值点 B．在区间有且仅有3个极小值点
C．在区间单调递减 D．的取值范围是
10．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称．且在区间上单调，则的值为 ．
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