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模块02 函数与导数
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的定义域是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数中真数大于0，二次根式下被开方数非负，求出定义域.
【详解】要使有意义，则，
即，解得，所以函数的定义域为，
要使有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B
2．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数满足且，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件可得函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合指数函数单调性列式求解.
【详解】依题意，函数满足且，，则是上的增函数，
因此，解得，
所以的取值范围为.
故选：C
3．（24-25高三上·黑龙江·期末）设函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出导函数，再得出切线的斜率进而得出点斜式方程即可.
【详解】由题意得，
于是当时，曲线在点处的切线斜率为，
此时切线方程为，即.
故选:D.
4．（24-25高三上·山东烟台·期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性可判断CD不符合，利用赋值法可判断AB.
【详解】由，可得，所以，所以，
解得或，定义域关于原点对称，
又，故函数为奇函数，故排除CD；
又，，
故B符合，A不符合.
故选：B.
5．（24-25高三上·河北保定·期末）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性、余弦值的符号结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为余弦函数在上为减函数，且，
则，即，
对数函数为增函数，则，即，
又因为，故.
故选：B.
6．（2025高三·全国·专题练习）为加强环境保护，治理空气污染，某生态环境部门对某工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间满足（为初始污染物含量，为参数）．若污染物含量达到初始含量的12.5%就达到排放标准，且在过滤的前15个小时消除了50%的污染物，则达到排放标准至少需要（ ）
A．44小时 B．45小时 C．46小时 D．47小时
【答案】B
【分析】根据条件建立方程，求出过滤过程中废气的污染物含量，进而得出达到排放标准至少所需的时间.
【详解】由题意，当时，废气的污染物含量，
，则，
所以．
设达到排放标准至少所需的时间为，
则，化简得，
即，所以，解得．
故选：B．
7．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若在处取得极大值，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【分析】求出，由题意可得出，解出、的值，再结合题意进行检验，即可得解.
【详解】因为，则
又在处取得极大值，
，解得或，
当，时，，
当时，，当时，，
则在处取得极小值，与题意不符；
当，时，，
当时，，当时，，
则在处取得极大值，符合题意，则，
故选：C.
8．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（ ）
A．651 B．676 C．1226 D．1275
【答案】D
【分析】根据条件变形得到，再结合条件求得，再通过赋值求的值.
【详解】由条件，可知，，，以上三个式子相加得：，
又，所以，
，，，…，，
以上式子相加得，
所以.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．的最小值为
C．方程的解有个 D．导函数的极值点为
【答案】ABD
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项.
【详解】因为，该函数的定义域为，，
令，可得，列表如下：
减 极小值 增
且当时，；当时，，
作出函数的图象如下图所示：
对于A选项，在区间上单调递增，A对；
对于B选项，的最小值为，B对；
对于C选项，方程的解只有个，C错；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，令，可得；令，可得.
所以，函数的单调递减区间为，递增区间为，
所以，函数的极值点为，D对.
故选：ABD.
10．（2025高三·全国·专题练习）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑，二类建筑，二类建筑室内甲醛浓度小于等于为安全范围.已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为，4周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则（ ）（参考数据：，，）
A．
B．
C．3周后室内甲醛浓度为
D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周
【答案】ACD
【分析】根据题意列式求解得，，即可求出，即可判断选项ABC，令，利用指对互化解不等式即可判断选项D.
【详解】由题意可得，
解得，，
所以A正确，B错误；
所以，
，故C正确；
令，得，
两边取对数得，
即，
所以该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，
至少需要放置的时间为6周，故D正确.
故选：ACD
11．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知定义域为的偶函数，满足，当时，．则（ ）
A．的一个周期为2
B．
C．的解集为（）
D．（）
【答案】ABD
【分析】根据条件推得的一个周期为2判断A项，利用函数的周期性和对称性，化简计算即可判断B项，结合函数的图象即可判断C，D两项.
【详解】对于A，因是定义域为的偶函数，则，
由可知：的图象对称轴为直线，且，
即得，则的一个周期为2，故A正确；
对于B，因，而，
因为，所以，故B正确；
对于C，根据题意，可以作出函数的图象如下：
由上分析知，函数的最小正周期为2，当时，，则由可得；
而当时，，则由可得，
综上可得时，由可得，
故对于，则的解集为，故C错误；
对于D，由图知对于，必有，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高三上·全国·专题练习）函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】根据函数的单调性可得，解不等式组即可求解.
【详解】由题意得，解得．
所以实数的取值范围是.
故答案为：
13．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.
【详解】由得，
由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为，
若在区间上单调递增，则，解得，
故答案为：
14．（24-25高三上·江西·期中）已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为 .
【答案】
【分析】先由题设数形结合得和，再构造函数，利用导数求出其最大值即可得解.
【详解】由题，当时，；当时，；
故作出的图象如图所示：
因为存在实数，，且，使得，
所以直线与图象有三个交点，
所以，且，，
所以，
设，则恒成立，
所以函数在单调递增，所以函数，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合得到和，从而将问题转化成求函数的最大值，简化了问题的难度.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高三·北京·专题练习）已知函数.
(1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为，求a的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出导数，根据导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出导数，分三种情况讨论的范围，判断单调性求得函数最小值，令所求最小值等于，排除不合题意的的取值，即可求得到符合题意实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
则，，
所以曲线在点处切线的方程为.
（2）当时，，，
令，得或，
当即时，对，，即函数在上单调递增，
所以，符合题意；
当，即时，，，，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，不合题意；
当即时，，，即函数在上单调递减，
，不合题意；
综上，实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：本题第二问利用单调性求最值. 求出导数，，分析发现导数正负取决于的正负，抓住零点与区间的关系讨论，得到函数在上的单调性，求出最小值进行判断求解.
16．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式；
（2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围.
【详解】（1）因为是偶函数，所以，
解得，
当时，可得，所以，
所以函数的解析式为
（2）由（1）知，当时，，
因为在上恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
17．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数，且不等式的解集为．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)证明：函数在区间上单调递增；
(3)若方程有6个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)．
【分析】（1）结合一元二次不等式解集求参，进而求出对称中心；
（2）应用单调性定义证明函数的单调性；
（3）根据方程根的个数列不等式组计算参数范围.
【详解】（1）由的解集为知，方程有两个不相等的实数根，且，则故，因此．
因为为奇函数，故函数图象的对称中心为点，
将的图象向上平移1个单位长度可得的图象，
所以函数图象的对称中心为点．
（2）任取，且，则，
因为，又，即，
则，故，即，
所以函数在区间上单调递增．
（3）因为，所以由（1）知，，从而直线与曲线共有6个公共点．
又函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，故解得，所以实数的取值范围为．
18．（2024·云南·二模）已知常数，函数.
(1)若，求的取值范围;
(2)若、是的零点，且，证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意，即可求出的取值范围；
（2）由（1）不妨设，设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，结合及的单调性，即可证明.
【详解】（1）由已知得的定义域为，
且
，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
所以在处取得极小值即最小值，
，
，
，即的取值范围为.
（2）由（1）知，的定义域为，
在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点.
、是的零点，且，
、分别在、上，不妨设，
设，
则
当时，，即在上单调递减.
，
，即，
，
，
，
，
又，在上单调递增，
，即.
【点睛】方法点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；
（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.
19．（24-25高三上·河北张家口·期末）若定义在 上的函数 满足: 对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 为函数 的上界，最小的 称为函数 的上确界，记作 . 与之对应，若定义在 上的函数 满足: 对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 为函数 的下界，最大的 称为函数 的下确界，记作 .
(1)若 有下确界 ，则 一定是 的最小值吗 请举例说明.
(2)已知函数 ，其中 .
(i) 若 ，证明: 有下确界，没有上确界.
(ii)若函数 有下确界，求实数 的取值范围，并证明 .
【答案】(1) 不一定是 的最小值，如；
(2)（i）（ii）证明见解析
【分析】（i）举例，根据下确界的定义即可判断；
（ii）直接求导得，得到其最小值即可得，再通过反证法假设其有上确界，根据上确界定义即可得到相反的结论；
（ii）设，再利用导数证明，再利用反证法得其没有下确界，再利用隐零点法得的最小值为，结合（i）中结论即可证明.
【详解】（1）不一定是的最小值．如的下确界，
但0不是的最小值．
（2）（i）证明：当时，，定义域，
所以．
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意的恒成立，
所以函数有下确界，．
假设函数有上确界，设，则，
.
因为，这与是的上确界相矛盾，故假设不成立，函数无上确界．
（ii）：先证明．
令函数，则，
设，则，
当，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，所以，即．
若，当时，．
假设有下确界，则一定存在负数恒成立．
当时，有，矛盾，
故假设不成立，即时，没有下确界．
若，因为，
设，则，
所以在上单调递增．
当时，，所以．
因为连续函数满足，
所以函数在上有零点．
因为在上单调递增，所以在上只有一个零点，设为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的最小值为．
结合（i），若函数有下确界，则实数的取值范围为．
又时，，
由（i）知，故的下确界．
【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是利用反证法，假设其有上确界，再得到相反结论从而得到其无上确界.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)模块02 函数与导数
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的定义域是（ ）
A．或 B．
C． D．
2．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数满足且，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·黑龙江·期末）设函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·山东烟台·期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·河北保定·期末）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高三·全国·专题练习）为加强环境保护，治理空气污染，某生态环境部门对某工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间满足（为初始污染物含量，为参数）．若污染物含量达到初始含量的12.5%就达到排放标准，且在过滤的前15个小时消除了50%的污染物，则达到排放标准至少需要（ ）
A．44小时 B．45小时 C．46小时 D．47小时
7．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若在处取得极大值，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
8．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（ ）
A．651 B．676 C．1226 D．1275
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．的最小值为
C．方程的解有个 D．导函数的极值点为
10．（2025高三·全国·专题练习）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑，二类建筑，二类建筑室内甲醛浓度小于等于为安全范围.已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为，4周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则（ ）（参考数据：，，）
A．
B．
C．3周后室内甲醛浓度为
D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周
11．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知定义域为的偶函数，满足，当时，．则（ ）
A．的一个周期为2
B．
C．的解集为（）
D．（）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高三上·全国·专题练习）函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ．
13．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
14．（24-25高三上·江西·期中）已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高三·北京·专题练习）已知函数.
(1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为，求a的取值范围；
16．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
17．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数，且不等式的解集为．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)证明：函数在区间上单调递增；
(3)若方程有6个不相等的实数根，求实数的取值范围．
18．（2024·云南·二模）已知常数，函数.
(1)若，求的取值范围;
(2)若、是的零点，且，证明:.
19．（24-25高三上·河北张家口·期末）若定义在 上的函数 满足: 对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 为函数 的上界，最小的 称为函数 的上确界，记作 . 与之对应，若定义在 上的函数 满足: 对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 为函数 的下界，最大的 称为函数 的下确界，记作 .
(1)若 有下确界 ，则 一定是 的最小值吗 请举例说明.
(2)已知函数 ，其中 .
(i) 若 ，证明: 有下确界，没有上确界.
(ii)若函数 有下确界，求实数 的取值范围，并证明 .
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