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模块03 三角函数与解三角形
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）在三角形中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2024·海南·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．一个对称中心为 D．一条对称轴为
5．（2024·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．在区间上单调递增
C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π
6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
7．（24-25高三上·湖南长沙·期末）若，，并且均为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高三上·吉林·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．在上有最小值 D．在上有两个极值点
11．（24-25高三上·湖北·开学考试）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深/米 10 7 4 7 10 7 4 7
以下选项正确的有（ ）
A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为，
B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口
C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口
D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知分别为第一象限角和第三象限角，，则 .
13．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）如图，OPQ是以O为圆心，半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，AB在线段OP上，ABCD是扇形的内接矩形，则的最大值为 .
14．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高三上·黑龙江·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，，求和的值.
16．（24-25高三上·山东德州·期末）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中．
(1)求出的值和锐角的大小；
(2)求的值；
(3)记点的横坐标为，若，求的值．
17．（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且．
(1)求证：为等边三角形；
(2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值．
18．（24-25高三上·安徽·阶段练习）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．
19．（24-25高三上·山东·阶段练习）16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式.
积化和差：，．
和差化积：，．
运用上面的公式解决下列问题：
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)若函数，判断的零点个数，并说明理由．
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）在三角形中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】由正弦定理求得，即可求解.
【详解】由可得：，
所以，又，
所以或，
结合内角和定理，所以或，
故选：C
2．（2024·海南·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值.
【详解】因为，所以，
即，所以，
所以，得，
解得或，
因为，且，
所以，所以，所以.
故选：.
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】由已知可得，可求得，利用二倍角的正余弦公式可得，代入求值即可.
【详解】因为，所以，
因为的终边过点，所以，解得，
，
当时，，
当时，，
综上所述：或.
故选：C.
4．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．一个对称中心为 D．一条对称轴为
【答案】D
【分析】利用平移变换求得的解析式，进而求得最值判断AB；求得对称中心与对称轴方程判断CD.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
又再向下平移1个单位长度得到函数的图象，所以，
当时，，故A错误；
当时，，故B错误；
由，得，所以函数的，
当时，的一个对称中心为，故C错误；
由，得，所以的对称轴为，
当当时，的一条对称轴为，故D正确.
故选：D.
5．（2024·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．在区间上单调递增
C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π
【答案】C
【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.
【详解】因为，所以，解得，
即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；
当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误；
当时，，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确；
因为，故是函数的一个周期，故D错误.
故选：C
6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
【答案】B
【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可.
【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，，
由题意，，，解得,
，则.
当时，，则，
又，则.
综上，，故D正确；
令，则，
若，得秒，故A正确；
当秒时，米，故B不正确；
当秒时，米，故C正确.
故选：B.
7．（24-25高三上·湖南长沙·期末）若，，并且均为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果.
【详解】由，可得，
又，所以，
因为，，所以，
所以
，
又因为，所以.
故选：C
8．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解.
【详解】，由正弦定理可得，
即，则，
又，所以，因为，当且仅当时等号成立，
所以，则．
设边上中线的长度为，则，
所以边上中线长度的最大值为．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高三上·吉林·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由二倍角公式结合正弦定理的角化边公式求出，进而由和角公式得出，进而得出，最后求出三角形面积.
【详解】因为，所以，又，
所以，又，所以，
，所以，
.
故选：ACD
10．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．在上有最小值 D．在上有两个极值点
【答案】ABD
【分析】根据对称可得，即可得，根据周期的计算公式求解A，代入即可求解B，根据整体法即可求解CD.
【详解】，即，
而，故．故，
对于选项A：最小正周期，正确．
对于选项B：时，为的对称中心，正确．
对于选项C：时，，无最小值，错误．
对于选项D：时，，结合的图象可知，有两个极值点，正确．
故选：ABD
11．（24-25高三上·湖北·开学考试）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深/米 10 7 4 7 10 7 4 7
以下选项正确的有（ ）
A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为，
B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口
C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口
D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00
【答案】ABD
【分析】根据题意求出函数的解析式，即可判断A；解不等式组，即可判断B；求出19时水的深度，即可判断C；求出函数与的图象的交点，即可判断D.
【详解】解：依题意，，，解得，
显然函数的图象过点，
即，又，因此，
所以函数表达式为，，故A对；
依题意，，整理得，
即有，
即,
解得或，
所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口，故B对；
该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，
19时水深为，故C错；
该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x小时后，
该船符合安全条例的最小水深为
函数与的图象交于点，
即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，
下次水深为7米时刻为11点，
故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，
综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务，故D对.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知分别为第一象限角和第三象限角，，则 .
【答案】
【分析】根据两角差的正切公式得的值，再结合两个角的取值范围得到的取值，即可得到结果.
【详解】依题意，，
因为，，
即，
所以，又，
所以，，
所以.
故答案为：.
13．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）如图，OPQ是以O为圆心，半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，AB在线段OP上，ABCD是扇形的内接矩形，则的最大值为 .
【答案】
【分析】设，，表达出，，利用三角恒等变换得到，求出最大值，得到答案.
【详解】设，，
则，
故，
则，则，
则
，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，
最大值为.
故答案为：
14．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 .
【答案】/
【分析】根据条件，利用正弦定理边转角得到，，从而有，构造函数，，利用导数，求出的单调区间，即可求解.
【详解】由，则由正弦定理可得，，
所以或，而，且，即，
所以，且，即，
，
令，则，所以，
当时，，则在上递增；
当时，，则在上递减；
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高三上·黑龙江·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，，求和的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）运用两角和的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角化简计算即可；
（2）运用余弦定理和正弦定理计算即可.
【详解】（1）因为，
则，
因为在中，，
所以，
则有，
因为，
所以，，
故.
（2）由（1）可知：，
在中，因为，，
由余弦定理可得：，
则，
由正弦定理可得：，即，
所以.
16．（24-25高三上·山东德州·期末）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中．
(1)求出的值和锐角的大小；
(2)求的值；
(3)记点的横坐标为，若，求的值．
【答案】(1)，
(2)1
(3)
【分析】（1）由单位圆与三角函数的定义求解；
（2）用诱导公式化简后可得；
（3）已知条件代入得，由同角三角函数关系得，再由诱导公式化简后可得．
【详解】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，
可得，，则，
所以，且为锐角，可得；
（2）
；
（3）由（1）可知，
根据三角函数定义可得：，
因为，且，
因此，所以．
所以
．
17．（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且．
(1)求证：为等边三角形；
(2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据等差中项可得，再结合余弦定理分析证明；
（2）设，在中，利用余弦定理可得，再利用正弦定理运算求解.
【详解】（1）因为，，成等差数列，则，
又因为，由余弦定理可得，
即，解得，
所以为等边三角形.
（2）设，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，即，
由正弦定理可得.
18．（24-25高三上·安徽·阶段练习）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象易得和周期，结合可得结果；
（2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的值域.
【详解】（1）观察图象可得，函数的周期，解得，
即，由，得，
即，，而，则，
所以函数的解析式是.
（2）将的图象向左平移个单位长度，
可得到函数的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，则，
当时，，
则，即，
因此在上的值域为.
19．（24-25高三上·山东·阶段练习）16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式.
积化和差：，．
和差化积：，．
运用上面的公式解决下列问题：
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)若函数，判断的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)仅有1个，理由见解析.
【分析】（1）直接利用二倍角公式和和差化积公式计算即可；
（2）利用积化和差公式和诱导公式即可证明；
（3）易得，再证明当时，即可.
【详解】（1）根据二倍角公式与和差化积恒等式可得：
.
（2）左边
.
右边
.
因为，所以，
故.
（3）仅有一个零点.
显然，下面证明当时，.
.
当时，，
所以，
所以当时，.
综上，仅有1个零点.
【点睛】本题第三问的关键利用放缩法证明当时，.
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