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专题2 数列通项的求法
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,求数列的通项是数列中的最基本的题型,也是高考中的热点,本专题总结求数列通项的18种类型,供大家参考.
等差数列求通项
若给出是等差数列,求,通常是利用方程思想整理出关于与的方程,解方程（组）,求出与,再利用通项公式求．
【例1】（2024届贵州省六盘水市高三下学期三诊）已知为等差数列,且,．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立,求实数λ的取值范围．
【解析】（1）设数列 的公差为d,则根据题意可得,
解得,则．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式,得到,
又恒成立,则恒成立,
设,则,
当时,,即；
当时,,则,则；
则,故,
故实数λ的取值范围为．
等比数列求通项
若给出是等比数列,求,通常是利用方程思想整理出关于与的方程,解方程（组）,求出与,再利用通项公式求．
【例2】（2024届陕西省富平县高三第二次模拟）已知等比数列的各项均为正数,前n项和为,且满足,.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足,求数列的前2n项和.
【解析】（1）设等比数列的公比为,由及,
得,
解得,于是,即,
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知,,
所以
.
累加法求通项
若给出,且前项和可求,则可利用累加法求：,通常为等差数列、等比数列或可裂项求和的数列.
【例3】已知数列是等差数列,且,数列满足,,且.
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列,求数列的通项公式；
(3)设数列的前项和为,证明：.
【解析】（1）由题意可知,即,故,
由,可得,
所以数列的公差,所以,
由,
叠加可得,
整理可得,当时,满足上式,
所以；
（2）不妨设,即,可得,
当时,,不合题意,
当时,,
所以在数列中均存在公共项,
又因为,所以.
（3）当时,,结论成立,
当时,,
所以,
综上所述,.
累乘法求通项
若给出,且前项乘积可求,则可利用累乘法求：,通常为等比数列或型的数列.
【例4】（2024届新疆高三下学期第三次适应性检测）若一个数列从第二项起,每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列,则称这个数列是一个“二阶等比数列”,如：1,3,27,729,…….已知数列是一个二阶等比数列,,,.
(1)求的通项公式；
(2)设,求数列的前项和.
【解析】（1）设,由题意得数列是等比数列,,,
则,即,
由累乘法得：,
于是,故,
也满足,所以.
（2）由（1）得
,
令,则,
∴
.
利用与的关系,把条件化为与的关系式求通项
任何一个数列,它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝ 若a1适合Sn－Sn－1,则应把它们统一起来,否则就用分段函数表示．
【例5】（2024届吉林省吉林地区普通高中高三四模）已知数列的前项和为,且.
(1)求实数的值和数列的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
【解析】（1）当时,,,
,
当时,,
整理得,
数列是以1为首项,3为公比的等比数列,；
（2）,
①,
②,
①②得
.
利用与的关系,把条件化为与的关系式求通项
在利用与的关系求时,有时不方便把条件化为与的关系式,这是可先把条件化为与的关系式,求出,再求.
【例6】已知数列的前n项和为,且．
(1)求；
(2)数列的每一项均为正数,,数列的前n项和为,当时,求n的最小值．
【解析】（1）当时,,
当时,,
所以,所以（常数）,
故数列是以为首项,2为公差的等差数列．
所以
当时,也适合,
所以.
（2）由（1）知,,得
所以
,
当时,即,所以n的最小值为2024．
(七)根据数列为等差数列,求
若数列为等差数列,则都是等差数列,可分别求通项,再看能否合并．
【例7】（2024届山东省青岛第五十八中学高三下学期二模）已知数列满足,且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,数列的前项和为,若,求的最小值.
【解析】（1）数列中,,,当时,,
则,由,得,
当为正奇数时,数列是首项为3,公差为4的等差数列,
则,即,
当为偶奇数时,数列是首项为5,公差为4的等差数列,
则,即,即,
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知,显然数列是首项为,公比的等比数列,
则,由,得,整理得,
而数列是递增数列,,因此,
所以的最小值为5.
(八)根据数列为等比数列,求
数列为等比数列,则都是等比数列,可分别求通项,再看能否合并．
【例8】（2024届河北省沧州市部分示范性高中高三下学期三模）已知数列满足,,.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,数列的前项和为,求证：.
【解析】（1）,,,
,两式相除,得,
当, ,即；
当, ,即,
综上所述,数列的通项公式为；
（2）,
,
又,
.
(九)利用求
给出或,通常通过取倒数构造等差数列.
【例9】数列{}中=1,=,求.
【解析】∵=,∴==+,
∴{}是首项为1,公差为的等差数列,∴ =1+（n-1）=,=.
【例10】（2024届四川省大数据精准教学联盟高三第二次统一监测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求证：．
【解析】（1）由知，若，则，若，则．
又，所以．
由，可得即（常数），
故是首项为2，公差为1的等差数列，所以．
故．
（2）由得，①
由得，②
①②可得．
当时，，则．
所以
，
所以，
当时，也满足上式，所以．
由上可知，，
所以
，
即．
（十）构造-=d型数列求通项
【例11】已知数列满足且.
(1)求的通项公式.
(2)设的前项和为，表示不大于的最大整数.
①求；
②证明：当时，为定值.
【解析】（1）由，则，即，
则数列是以为公差的等差数列，又，
故，即；
（2）①由，则，
，
则
，
故；
②令，则，
则，
故数列为单调递减数列，又，
故当时，，故，
即当时，恒成立，即为定值.
（十一）构造-=d型数列求通项
【例12】数列{}中=2,=+1+,求
【解析】=+1+可化为1+4 =（1+4）+4+4=（+2）2,
∴=+2
∴{}是首项为3,公差为2的等差数列,
∴=3+2（n-1）=2n+1,=n2+n.
(十二)取对数构造等比数列求通项
形如,通常两边取对数,构造等比数列.
【例13】若,,求.
【解析】因为,所以,
因为,所以,
所以,是首项为,公比为2的等比数列,
所以,
所以.
(十三)根据构造等比数列求通项
形如的数列求通项,一般可变形为,若,,则数列是公比为p的等比数列.
【例14】（2024届山东省烟台招远市高考三模）在数列中,已知,.
(1)求数列的通项公式；
(2)若,为数列的前n项和,证明：.
【解析】（1）由可得,则,即,
故是以为首项,为公比的等比数列.
故,则,.
（2）.
易得,故.
又,
故
.综上有,即得证.
(十四) 根据构造等比数列求通项
形如的数列,可先两边同时除以,得,把看成数列,就是类型.
【例15】已知,求.
【解析】因为,所以,
所以,
因为,所以数列是首项为2,公比为3的等比数列,
所以,所以.
(十五) 根据构造等比数列求通项
形如的数列求通项,通常设,求出,若,则可根据数列是等比数列求通项.
【例16】（2024届四川省宜宾市高三适应性考试）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列,并求出数列的通项公式；
(2)设,数列的前项和为,若对于任意恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（1）由题可知：,又,
故是首项为2,公比为2的等比数列,,即.
（2）,
,且当趋于时,趋近于1,
所以由恒成立,可知,解得.
(十六)构造双等比数列求通项.
形如的数列,可设,则,求出的两组值,构造两个等比数列求.
【例17】若,求.
【解析】设,则,所以或,
当时,
因为,
所以,
当时,
因为,
所以,
与相减得.
(十七)分段数列求通项
分段数列,常考的是奇数项与偶数项分为特殊数列,求解关键是分n为偶数与奇数讨论.
【例18】已知数列满足且．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的前100项和．
【解析】（1）由题意,得当时,,①
．②
将①代入②,得,所以是首项为1,公比为2的等比数列,
所以．
又因为,
所以,所以．
令,则,而,,
所以是首项为2,公比为2的等比数列,
所以,所以．
所以．
（2）
．
(十八)两个数列的公共项组成的新数列的通项求法
两个递增的等差数列的公共项组成的数列仍然是等差数列,若公差为原来两个数列公差的最小公倍数,对于其他数列，，通常是根据确定使都为正整数的条件.
【例19】已知数列是等差数列，且，数列满足，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式；
(3)设数列的前项和为，证明：.
【解析】由题意可知，即，故，
由，可得，
所以数列的公差，所以，
由，
叠加可得，
整理可得，当时，满足上式，
所以；
（2）不妨设，即，可得，
当时，，不合题意，
当时，，
所以在数列中均存在公共项，
又因为，所以.
（3）当时，，结论成立，
当时，，
所以，
综上所述，.
【例1】（2024届重庆市九龙坡区高三下学期第三次质量抽测）已知是等差数列的前项和,,数列是公比大于1的等比数列,且,.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设,求使取得最大值时的值.
【解析】（1）设等差数列的公差为,
则,解得,
所以,设等比数列的公比为,
则,解得,所以；
（2）由（1）得,
则,
,
当时,,
当时,,
当时,,
所以当或时,取得最大值.
【例2】已知数列满足：,,.
(1)证明：是等差数列,并求的通项公式；
(2)设,若数列是递增数列,求实数的取值范围.
【解析】（1）因为,所以为常数,
又,所以数列是公差为,首项为的等差数列.
所以,
当时,,
所以,又,所以,又,满足,
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知,因为数列是递增数列,
所以,对恒成立,
得到对恒成立,所以.
【例3】（2024届陕西省安康市高新中学高三高考模拟）记为数列的前项和,已知.
(1)求的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
【解析】（1）解：由,可得,所以,
又由,所以,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列,
所以,则,
当时,,所以,
又当时,满足上式,
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知当为奇数时,；
当为偶数时,,
所以
【例4】（2024届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列,,函数,其中,均为实数．
(1)若,,,,,
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设数列的前项和为,求证：．
(2)若为奇函数,,,且,问：当时,是否存在整数,使得成立．若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．（附：,）
【解析】（1）（ⅰ）,,
由,
得,解得,
又,
,
,是以2为公比,2为首项的等比数列．
．
（ⅱ）令,则,
．
显然,当时,是递增数列,在时,单调递减,
可得,．
．
（2）为奇函数,
．
,
又,,
,．
,
由得,．
,
,
,,
在上为增函数,
当时,,；
,
．
当时,．
时,,又,
当时,,．
又,的最大值为5．
【例5】（2024届江苏省苏州市高三下学期第三次模拟）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换,记为一次操作．重复进行次操作后,记甲盒子中黑球个数为,甲盒中恰有1个黑球的概率为,恰有2个黑球的概率为．
(1)求随机变量的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求证：．
【解析】（1）由题可知的可能取值为0,1,2,
根据相互独立事件的概率公式得到：即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换,即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换,即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换,则
,
的分布列为：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
,
即,即,,
又,
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,
,
即的通项公式；
（3）
,
所以
得证.
1. （2024届天津市南开区高三下学期质量监测二）已知是等差数列,公差,,且是与的等比中项.
(1)求的通项公式
(2)数列满足,且.
（ⅰ）求的前n项和.
（ⅱ）是否存在正整数m,n（）,使得,,成等差数列,若存在,求出m,n的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）因为为等差数列,且,所以．
又是与的等比中项,所以,即．
化简得,解得或（舍）,
所以．
（2）（i）由,得,所以（）,又,
当时,
,
又也适合上式,所以,
则,
所以．
（ⅱ）假设存在正整数m,n,使得,,成等差数列,
则,即,整理得,
显然是25的正约数,又,则或,
当,即时,与矛盾；
当,即时,,符合题意,
所以存在正整数使得,,成等差数列,此时,．
2．设正项数列的前项和为,并且对于所有的正整数,与1的等差中项等于与1的等比中项．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列的通项,记是数列的前项和,试比较与的大小,并证明你的结论．
【解析】（1）因为与1的等差中项等于与1的等比中项,为正项数列,
所以,即,
当时,由,解得；
当时,,即,
,
,．
即是首项为1,公差为2的等差数列,因此,．
（2）因为,
∴,则
令,
则．
∴是递增数列,于是,
从而,即．
3．（2024届湖南省岳阳市湘阴县第一中学高三下学期期中）设数列的前项和为,且．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列满足,且数列的前项和为,求证：．
【解析】（1）依题意,由,可得,
当时,,解得,
当时,,
整理,得,,
∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴；
（2）依题意及（1）,由可得,
则,
,
两式相减,可得
,
∴,故得证．
4．（2024届湖南省岳阳市岳汨联考高三下学期5月月考）已知等差数列满足（）,数列是公比为3的等比数列,．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列和中的项由小到大组成新的数列,记数列的前n项和为,求．
【解析】（1）,①,（）,②,
得：,
∵为等差数列,∴,,
,即,
∴,
因为数列是公比为3的等比数列,,
即,解得：,
所以；
（2）由（1）可知,,,
且数列和中的项由小到大组成新的数列,
其中,,此时,
所以数列中数列有项,数列有项,
,
．
5．（2024届安徽省合肥一六八中学高三最后一卷）已知数列满足,且对任意均有．
(1)设,证明为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)已知,求．
【解析】（1）因为,,令,
所以当时,,即,
所以,
所以为等差数列.
（2）由（1）知,,
所以,
即,
所以
,,
所以,,
再由,令,可得,
即,解得,
所以,,
当时,,满足上式.
所以数列的通项公式为.
（3）因为,
所以,
设,
则,
,
所以,,
所以.
6．（2024届湖南省衡阳市祁东县高三下学期考前仿真联考）已知正项数列的前项和为,首项.
(1)若,求数列的通项公式；
(2)若函数,正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
【解析】（1）正项数列中,,,,当时,,
两式相减得,即,
而,则,因此数列是首项为1,公差为2的等差数列,
所以数列的通项公式为.
（2）（i）令,求导得,当时,,当时,,
即函数在上单调递减,在上单调递增,则,即,
于是,
即,即,
当时,,
当时,因此,
所以
（ii）由已知,所以,得,
当时,,于是,
当时,,
又,所以,恒有,当时,,
由,得当时,,
则当时,,
从而
,
于是,
所以.
7．（2024届江苏省扬州市高三下学期高考考前调研）已知各项均为正数的数列前项和为,且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）因为①,所以②,③,
由③得：,所以,
②-①得：,整理得：,
又因为各项均为正数,所以,
所以是公差的等差数列,．
（2）由（1）,,
所以,
所以．
8．（2024届江苏省宿迁市高三下学期三模）在数列中,．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足；
①求证：数列是等差数列；
②若,设数列的前n项和为,求证：．
【解析】（1）因为,
所以,所以,
所以,
因为,所以n=1时,,
所以数列是各项为0的常数列,即,
所以．
（2）①由得
所以①
所以②
②-①得：③
所以④
④-③得,所以
即
所以数列是等差数列．
②当时,由得,所以,
又,故的公差为1,所以,
所以,
即
．
9．（2024届江苏省苏州大学高三下学期高考考前）已知数列满足,.
(1)求数列的通项公式；
(2)记,求数列的前项和.
【解析】（1）因为,即
所以时,
,
所以（）,
又,所以.
（2）因为,
所以
.
10．（2024届天津市河西区高三下学期质量调查三）已知递增数列的前n项和为,且,．
(1)求数列的通项公式；
(2)设．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）求．
【解析】（1）因为,当时,,则；
当时,,则,即,
而为递增数列,故,
即为首项为2,公差为2的等差数列,
故；
（2）（i）,
所以,
,
两式相加可得,
故数列的通项公式为；
（ii）,
故.
11．（2024届陕西省渭南市瑞泉中学高三第六次质量检测）已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
【解析】（1）当时,,解出,又,则；
当时,由两式相减得,两边同时除以
即,即,
利用上述等式有,,
因此,即,,
当时,,满足,因此；
（2）由（1）可知,,则,
两边同时乘以得,,
错位相减得,
即
整理得,.
12．（2024届山东省齐鲁名校联盟高三下学期考前质量检测）设数列满足,且．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【解析】（1）由题易知,且,
所以,
所以,
所以也满足该式,
所以．
（2）,①
,②
②-①,得．
设,③
则,④
④-③,得,
所以．
13．（2024届江苏省泰州市高三第四次调研）已知数列和满足：.
(1)设求的值；
(2)设求数列的通项公式；
(3)设证明：______.
请从下面①,②两个选项中,任选一个补充到上面问题中,并给出证明.
①；②其中.
注：若两个问题均作答,则按第一个计分.
【解析】（1）令得
因为所以.
（2）因为所以
因为所以
即
因为所以
所以数列是首项为1,公比为的等比数列,
所以,所以.
（3）若选①,
因为当且仅当时等号成立,
所以所以
因为所以
即
所以故．
所以
即.
若选②,
因为所以．
当时,有
.
所以
,
即
14．（2024届江西省赣州市高三下学期5月适应性考试）已知数列满足,,,成等差数列.
(1)求证：数列是等比数列,并求出的通项公式；
(2)记的前n项和为,证明：.
【解析】（1）由,,成等差数列可得：,
因为,可得,所以两边同时除以得：,
上式可化为：
所以数列表示是以为首项,3为公比的等比数列
所以,即
（2）因为
所以
又因为
所以,
（当n＝1时等号成立）,
综上可知：.
15．（2024届河北省衡水中学高三下学期押题卷）记各项均为正数的数列的前项和为,已知是与的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设,数列的前项和为,证明：.
【解析】（1）由题意,得,
即,即①,
所以②,
①-②,得,
即.
又,所以.
由是与的等差中项,得当时,
,解得,
所以是以1为首项,2为公差的等差数列,
故.
（2）由（1）得,则
,
所以
,
所以,
所以.
16.（2024届天津市八校高三下学期联考）已知为等差数列,是公比为2的等比数列．,且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若
①当为奇数,求；
②求．
【解析】（1）设数列的公差为的公比为,
由已知可得,得,
；
（2）①为奇数,为偶数．

；
②当为偶数,为奇数,
令,
,
即,
,
所以
所以
所以
所以.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2 数列通项的求法
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,求数列的通项是数列中的最基本的题型,也是高考中的热点,本专题总结求数列通项的18种类型,供大家参考.
等差数列求通项
若给出是等差数列,求,通常是利用方程思想整理出关于与的方程,解方程（组）,求出与,再利用通项公式求．
【例1】（2024届贵州省六盘水市高三下学期三诊）已知为等差数列,且,．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立,求实数λ的取值范围．
【解析】（1）设数列 的公差为d,则根据题意可得,
解得,则．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式,得到,
又恒成立,则恒成立,
设,则,
当时,,即；
当时,,则,则；
则,故,
故实数λ的取值范围为．
等比数列求通项
若给出是等比数列,求,通常是利用方程思想整理出关于与的方程,解方程（组）,求出与,再利用通项公式求．
【例2】（2024届陕西省富平县高三第二次模拟）已知等比数列的各项均为正数,前n项和为,且满足,.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足,求数列的前2n项和.
【解析】（1）设等比数列的公比为,由及,
得,
解得,于是,即,
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知,,
所以
.
累加法求通项
若给出,且前项和可求,则可利用累加法求：,通常为等差数列、等比数列或可裂项求和的数列.
【例3】已知数列是等差数列,且,数列满足,,且.
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列,求数列的通项公式；
(3)设数列的前项和为,证明：.
【解析】（1）由题意可知,即,故,
由,可得,
所以数列的公差,所以,
由,
叠加可得,
整理可得,当时,满足上式,
所以；
（2）不妨设,即,可得,
当时,,不合题意,
当时,,
所以在数列中均存在公共项,
又因为,所以.
（3）当时,,结论成立,
当时,,
所以,
综上所述,.
累乘法求通项
若给出,且前项乘积可求,则可利用累乘法求：,通常为等比数列或型的数列.
【例4】（2024届新疆高三下学期第三次适应性检测）若一个数列从第二项起,每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列,则称这个数列是一个“二阶等比数列”,如：1,3,27,729,…….已知数列是一个二阶等比数列,,,.
(1)求的通项公式；
(2)设,求数列的前项和.
【解析】（1）设,由题意得数列是等比数列,,,
则,即,
由累乘法得：,
于是,故,
也满足,所以.
（2）由（1）得
,
令,则,
∴
.
利用与的关系,把条件化为与的关系式求通项
任何一个数列,它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝ 若a1适合Sn－Sn－1,则应把它们统一起来,否则就用分段函数表示．
【例5】（2024届吉林省吉林地区普通高中高三四模）已知数列的前项和为,且.
(1)求实数的值和数列的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
【解析】（1）当时,,,
,
当时,,
整理得,
数列是以1为首项,3为公比的等比数列,；
（2）,
①,
②,
①②得
.
利用与的关系,把条件化为与的关系式求通项
在利用与的关系求时,有时不方便把条件化为与的关系式,这是可先把条件化为与的关系式,求出,再求.
【例6】已知数列的前n项和为,且．
(1)求；
(2)数列的每一项均为正数,,数列的前n项和为,当时,求n的最小值．
【解析】（1）当时,,
当时,,
所以,所以（常数）,
故数列是以为首项,2为公差的等差数列．
所以
当时,也适合,
所以.
（2）由（1）知,,得
所以
,
当时,即,所以n的最小值为2024．
(七)根据数列为等差数列,求
若数列为等差数列,则都是等差数列,可分别求通项,再看能否合并．
【例7】（2024届山东省青岛第五十八中学高三下学期二模）已知数列满足,且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,数列的前项和为,若,求的最小值.
【解析】（1）数列中,,,当时,,
则,由,得,
当为正奇数时,数列是首项为3,公差为4的等差数列,
则,即,
当为偶奇数时,数列是首项为5,公差为4的等差数列,
则,即,即,
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知,显然数列是首项为,公比的等比数列,
则,由,得,整理得,
而数列是递增数列,,因此,
所以的最小值为5.
(八)根据数列为等比数列,求
数列为等比数列,则都是等比数列,可分别求通项,再看能否合并．
【例8】（2024届河北省沧州市部分示范性高中高三下学期三模）已知数列满足,,.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,数列的前项和为,求证：.
【解析】（1）,,,
,两式相除,得,
当, ,即；
当, ,即,
综上所述,数列的通项公式为；
（2）,
,
又,
.
(九)利用求
给出或,通常通过取倒数构造等差数列.
【例9】数列{}中=1,=,求.
【解析】∵=,∴==+,
∴{}是首项为1,公差为的等差数列,∴ =1+（n-1）=,=.
【例10】（2024届四川省大数据精准教学联盟高三第二次统一监测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求证：．
【解析】（1）由知，若，则，若，则．
又，所以．
由，可得即（常数），
故是首项为2，公差为1的等差数列，所以．
故．
（2）由得，①
由得，②
①②可得．
当时，，则．
所以
，
所以，
当时，也满足上式，所以．
由上可知，，
所以
，
即．
（十）构造-=d型数列求通项
【例11】已知数列满足且.
(1)求的通项公式.
(2)设的前项和为，表示不大于的最大整数.
①求；
②证明：当时，为定值.
【解析】（1）由，则，即，
则数列是以为公差的等差数列，又，
故，即；
（2）①由，则，
，
则
，
故；
②令，则，
则，
故数列为单调递减数列，又，
故当时，，故，
即当时，恒成立，即为定值.
（十一）构造-=d型数列求通项
【例12】数列{}中=2,=+1+,求
【解析】=+1+可化为1+4 =（1+4）+4+4=（+2）2,
∴=+2
∴{}是首项为3,公差为2的等差数列,
∴=3+2（n-1）=2n+1,=n2+n.
(十二)取对数构造等比数列求通项
形如,通常两边取对数,构造等比数列.
【例13】若,,求.
【解析】因为,所以,
因为,所以,
所以,是首项为,公比为2的等比数列,
所以,
所以.
(十三)根据构造等比数列求通项
形如的数列求通项,一般可变形为,若,,则数列是公比为p的等比数列.
【例14】（2024届山东省烟台招远市高考三模）在数列中,已知,.
(1)求数列的通项公式；
(2)若,为数列的前n项和,证明：.
【解析】（1）由可得,则,即,
故是以为首项,为公比的等比数列.
故,则,.
（2）.
易得,故.
又,
故
.综上有,即得证.
(十四) 根据构造等比数列求通项
形如的数列,可先两边同时除以,得,把看成数列,就是类型.
【例15】已知,求.
【解析】因为,所以,
所以,
因为,所以数列是首项为2,公比为3的等比数列,
所以,所以.
(十五) 根据构造等比数列求通项
形如的数列求通项,通常设,求出,若,则可根据数列是等比数列求通项.
【例16】（2024届四川省宜宾市高三适应性考试）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列,并求出数列的通项公式；
(2)设,数列的前项和为,若对于任意恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（1）由题可知：,又,
故是首项为2,公比为2的等比数列,,即.
（2）,
,且当趋于时,趋近于1,
所以由恒成立,可知,解得.
(十六)构造双等比数列求通项.
形如的数列,可设,则,求出的两组值,构造两个等比数列求.
【例17】若,求.
【解析】设,则,所以或,
当时,
因为,
所以,
当时,
因为,
所以,
与相减得.
(十七)分段数列求通项
分段数列,常考的是奇数项与偶数项分为特殊数列,求解关键是分n为偶数与奇数讨论.
【例18】已知数列满足且．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的前100项和．
【解析】（1）由题意,得当时,,①
．②
将①代入②,得,所以是首项为1,公比为2的等比数列,
所以．
又因为,
所以,所以．
令,则,而,,
所以是首项为2,公比为2的等比数列,
所以,所以．
所以．
（2）
．
(十八)两个数列的公共项组成的新数列的通项求法
两个递增的等差数列的公共项组成的数列仍然是等差数列,若公差为原来两个数列公差的最小公倍数,对于其他数列，，通常是根据确定使都为正整数的条件.
【例19】已知数列是等差数列，且，数列满足，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式；
(3)设数列的前项和为，证明：.
【解析】由题意可知，即，故，
由，可得，
所以数列的公差，所以，
由，
叠加可得，
整理可得，当时，满足上式，
所以；
（2）不妨设，即，可得，
当时，，不合题意，
当时，，
所以在数列中均存在公共项，
又因为，所以.
（3）当时，，结论成立，
当时，，
所以，
综上所述，.
【例1】（2024届重庆市九龙坡区高三下学期第三次质量抽测）已知是等差数列的前项和,,数列是公比大于1的等比数列,且,.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设,求使取得最大值时的值.
【解析】（1）设等差数列的公差为,
则,解得,
所以,设等比数列的公比为,
则,解得,所以；
（2）由（1）得,
则,
,
当时,,
当时,,
当时,,
所以当或时,取得最大值.
【例2】已知数列满足：,,.
(1)证明：是等差数列,并求的通项公式；
(2)设,若数列是递增数列,求实数的取值范围.
【解析】（1）因为,所以为常数,
又,所以数列是公差为,首项为的等差数列.
所以,
当时,,
所以,又,所以,又,满足,
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知,因为数列是递增数列,
所以,对恒成立,
得到对恒成立,所以.
【例3】（2024届陕西省安康市高新中学高三高考模拟）记为数列的前项和,已知.
(1)求的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
【解析】（1）解：由,可得,所以,
又由,所以,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列,
所以,则,
当时,,所以,
又当时,满足上式,
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知当为奇数时,；
当为偶数时,,
所以
【例4】（2024届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列,,函数,其中,均为实数．
(1)若,,,,,
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设数列的前项和为,求证：．
(2)若为奇函数,,,且,问：当时,是否存在整数,使得成立．若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．（附：,）
【解析】（1）（ⅰ）,,
由,
得,解得,
又,
,
,是以2为公比,2为首项的等比数列．
．
（ⅱ）令,则,
．
显然,当时,是递增数列,在时,单调递减,
可得,．
．
（2）为奇函数,
．
,
又,,
,．
,
由得,．
,
,
,,
在上为增函数,
当时,,；
,
．
当时,．
时,,又,
当时,,．
又,的最大值为5．
【例5】（2024届江苏省苏州市高三下学期第三次模拟）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换,记为一次操作．重复进行次操作后,记甲盒子中黑球个数为,甲盒中恰有1个黑球的概率为,恰有2个黑球的概率为．
(1)求随机变量的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求证：．
【解析】（1）由题可知的可能取值为0,1,2,
根据相互独立事件的概率公式得到：即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换,即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换,即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换,则
,
的分布列为：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
,
即,即,,
又,
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,
,
即的通项公式；
（3）
,
所以
得证.
1. （2024届天津市南开区高三下学期质量监测二）已知是等差数列,公差,,且是与的等比中项.
(1)求的通项公式
(2)数列满足,且.
（ⅰ）求的前n项和.
（ⅱ）是否存在正整数m,n（）,使得,,成等差数列,若存在,求出m,n的值；若不存在,请说明理由.
2．设正项数列的前项和为,并且对于所有的正整数,与1的等差中项等于与1的等比中项．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列的通项,记是数列的前项和,试比较与的大小,并证明你的结论．
3．（2024届湖南省岳阳市湘阴县第一中学高三下学期期中）设数列的前项和为,且．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列满足,且数列的前项和为,求证：．
4．（2024届湖南省岳阳市岳汨联考高三下学期5月月考）已知等差数列满足（）,数列是公比为3的等比数列,．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列和中的项由小到大组成新的数列,记数列的前n项和为,求．
5．（2024届安徽省合肥一六八中学高三最后一卷）已知数列满足,且对任意均有．
(1)设,证明为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)已知,求．
6．（2024届湖南省衡阳市祁东县高三下学期考前仿真联考）已知正项数列的前项和为,首项.
(1)若,求数列的通项公式；
(2)若函数,正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
7．（2024届江苏省扬州市高三下学期高考考前调研）已知各项均为正数的数列前项和为,且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
8．（2024届江苏省宿迁市高三下学期三模）在数列中,．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足；
①求证：数列是等差数列；
②若,设数列的前n项和为,求证：．
9．（2024届江苏省苏州大学高三下学期高考考前）已知数列满足,.
(1)求数列的通项公式；
(2)记,求数列的前项和.
10．（2024届天津市河西区高三下学期质量调查三）已知递增数列的前n项和为,且,．
(1)求数列的通项公式；
(2)设．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）求．
11．（2024届陕西省渭南市瑞泉中学高三第六次质量检测）已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
12．（2024届山东省齐鲁名校联盟高三下学期考前质量检测）设数列满足,且．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
13．（2024届江苏省泰州市高三第四次调研）已知数列和满足：.
(1)设求的值；
(2)设求数列的通项公式；
(3)设证明：______.
请从下面①,②两个选项中,任选一个补充到上面问题中,并给出证明.
①；②其中.
注：若两个问题均作答,则按第一个计分.
14．（2024届江西省赣州市高三下学期5月适应性考试）已知数列满足,,,成等差数列.
(1)求证：数列是等比数列,并求出的通项公式；
(2)记的前n项和为,证明：.
15．（2024届河北省衡水中学高三下学期押题卷）记各项均为正数的数列的前项和为,已知是与的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设,数列的前项和为,证明：.
16.（2024届天津市八校高三下学期联考）已知为等差数列,是公比为2的等比数列．,且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若
①当为奇数,求；
②求．
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