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专题09 一元函数的导数及其应用
（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）
目录
一、判断零点（根）的个数 1
二、已知零点（根）的个数求参数 9
三、已知零点（根）的个数求代数式的值 18
一、判断零点（根）的个数
1．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或3
【答案】A
【优尖升-分析】令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.
【详解】，
令，则，
则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，
令，
当时，，则，
所以函数在上单调递增，且，
当时，，
当时，，则，
所以函数在上单调递增，且，
又当时，当时，，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可知函数的图象有且仅有一个交点，
所以函数零点的个数为个.
故选：A.
2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）函数，则方程解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【优尖升-分析】求定义域，求导，得到函数单调性和极值情况，且当时，，画出函数图象，得到与的图像有2个交点，从而求出答案.
【详解】 ，函数定义域为，
，
令，解得或；令，可得或，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，在上单调递增，
且当时，；当时，取得极大值；当时，取得极小值；
因此，函数的大致图像如图所示，
因为，所以与的图像有2个交点，
可知方程有2个解.
故选：C
3．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，讨论函数的零点的个数.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，按的取值分类讨论求出函数的单调区间.
（2）按分类讨论，并结合函数单调性及零点存在性定理求解即得.
【详解】（1）函数定义域为，求导得，
若，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
若，由，得或，
①当时，，则函数在上单调递增；
②当时，，当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减；
③当时，，当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）当时，函数只有一个零点，
当时，由（1）知函数在上递减，在上递增，且，，
取且，则，
因此函数有两个零点；
当时，由（1）知函数在上递增，且，，
而时，恒有，因此函数只有一个零点，
当时，由（1）知函数在上递减，在上递增，
且，
而时，恒有，因此函数只有一个零点，
所以，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若，求函数的零点个数．
【答案】(1)2
(2)有且只有一个零点
【优尖升-分析】（1）对函数求导，令，研究的正负，得到函数的单调性，从而求得函数的最小值；
（2）根据题意可得，求出，令，根据零点存在定理可知存在唯一的，使得，从而得到的单调性及极大值，数形结合可得函数的零点个数.
【详解】（1）解法一：由题，，
所以．
记，则，
①当时，，可得，故函数在区间上单调递减．
②当时，，可知函数单调递增，
又，所以当时，；当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
由①②知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
故．
解法二：由题，，
所以．
令，则，
令，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
故，
所以，故在定义域上单调递增．
易知，故当时，单调递减，
当时，单调递增，
故．
（2）由题意知，定义域为，
所以，
设，
所以，所以在区间上是增函数，
因为，
所以存在唯一的，使得，即，
当时，；
当时，；
当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，取得极大值，且极大值为．
设，则，
所以在区间上单调递减．
所以，
所以在内无零点．
因为，
所以在内有且只有一个零点．
综上所述，有且只有一个零点．
5．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若直线与曲线相切，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)无交点，理由见解析
【优尖升-分析】（1）求出导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）设切点为，利用导数的几何意义求出，即可得到解析式，再令，即，令，利用导数说明函数的零点，即可判断.
【详解】（1）函数的定义域为，且，
当时恒成立，所以在上单调递减，
当时，令，解得，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上可得：当时在上单调递减；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由，设切点为，则，
易知，所以，又，即，即，
设，则，所以当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
所以，所以，则，
令，即，
令，则，
令，则，
所以当时，则单调递减，
当时，则单调递增，
又，，当时，
所以当时，则单调递减，
当时，则单调递增，
所以，所以方程无实根，
所以函数与的图象无交点.
6．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数．
(1)证明：；
(2)若，判断方程的实根个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)有唯一实根
【优尖升-分析】（1）不等式变形为，引入函数，求导确定单调性后得出即证；
（2）引入函数，由导数确定的单调性，再结合零点存在定理确定零点个数．
【详解】（1）证明：因为，所以，即，
即，
设，
则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以时．
（2）方程，即，
即，
设，
则，
设，
因为，所以，，
所以在上有唯一实根，且，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
又，所以，在上没有零点，
因为，，，
所以在上有唯一零点，也即在上有唯一零点．
所以方程在上有唯一实根．
【点睛】方法点睛：用导数研究方程的根，通常转化为确定函数的零点，为此利用导数确定函数的单调性，然后由零点存在定理确定零点的存在性及零点个数．
二、已知零点（根）的个数求参数
1．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【优尖升-分析】考查利用导数研究函数零点问题，先根据导数情况得出函数单调性和最值情况，再数形结合分析，分段函数分段讨论即可.
【详解】因为方程存在三个不相等的实根，所以函数有三个零点，
当时，，所以，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，，
又当时，；当时，，所以图象如图；
当时，，
所以，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，，
又当时，；当时，，所以图象如图，
所以当即时函数有三个零点，
即方程存在三个不相等的实根，
故选：C.
2．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【优尖升-分析】先将的图象向左平移2个单位长度，可得函数图像，即把问题转化为直线与函数图象交点的个数问题；再证明为奇函数，然后求导后得到在区间上为减函数；再求出曲线在点处的切线方程为，求出，，时的范围；最后作出的图象和的图像，数形结合得到结果.
【详解】将的图象向左平移2个单位长度，可得函数的图象，
所以原题转化为“函数有3个零点”，
即研究直线与函数图象交点的个数问题．
因为的定义域为，且，
所以为奇函数．
因为，
所以在区间上为减函数，
且曲线在点处的切线方程为．
当时，；
当时，；
当的，，
作出的图象．如图：
由图知：当时，直线与函数的图象有3个交点．
故实数的取值范围是．
故选：C.
3．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【优尖升-分析】由题意得方程有两个正实数根，分析得知在区间上单调递增，从而方程有两个正实数解，由一元二次方程根的分布即可列出不等式组求解.
【详解】令，可得，则，即．
令，则．
因为，所以，
则函数在区间上单调递增，
所以，即．
所以当时有两个不同的零点等价于方程有两个正实数解，
即满足.
故选：D．
4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是 .
【答案】
【优尖升-分析】根据题意，转化为，令且，利用导数求得函数的单调性和最大值，画出的图象，结合图象和斜率公式，即可求解.
【详解】由不等式，可得化为，
令且，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，也为最大值，
且当时，，
画出函数的图象，如图所示，
又由直线恒过定点，
当直线位于如图所示的两条直线和之间，
其中包含，不包含时，满足恰有两个整数解，
则，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
5．（2024·陕西渭南·一模）已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【优尖升-分析】利用导数研究函数的性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由，令，得或，然后分类和讨论，它们一个有3个根，一个有4个根，由此可得参数范围．
【详解】因为，令，得到，解得或，
又当时，，则，
当时，，当时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又时，，时，，时，，
其图像如图，所以，当时，有2上解，有2个解，
又因为方程有7个不同的实数解，所以当时，有3个实数解，
又时，，则，
所以时，，时，，
即当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又当时，，当时，，
又当时，有3个实数解，
所以或，
解得或，
故答案为：或.
【点睛】方法点睛：解决函数零点问题经常用到的方法就是数形结合，用导数研究函数的性质.
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）由题可得是的零点，再分及，结合导数讨论函数的单调性，借助零点存在性定理判断零点个数即可得.
【详解】（1）当时，，，
，，
故其切线方程为，即；
（2），故是的零点，
，
当时，恒成立，故在上单调递增，
则，即此时只有唯一零点，不符合要求，
当时，令，可得，
即在上单调递增，
令，即，即在上单调递减，
故，
由在上有两个不同的零点，故，即，
令，，
故在上单调递减，
故，
即恒成立，
又放时，，
故在上必有一零点，
故当时，在上有两个不同的零点.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对及的情况分类讨论，当可得函数在上单调递增，不可能有两个不同的零点，当时借助导数求得最值后，构造新函数得到其小于零恒成立.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)讨论的最值；
(2)若函数有2个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)最大值，无最小值
(2)
【优尖升-分析】（1）由题意，利用导数求解函数的最值即可；
（2）根据转化的思想将问题转化为函数的图象与直线恰有2个交点，利用导数讨论函数的性质，作出图形，结合图形即可求解.
【详解】（1）由题知的定义域为，，
∴当时，，当时，，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0，
∴当时，取得最大值，无最小值．
（2）解法一
由题知有2个零点，
∴方程，即有2个解．
设，，
则函数与的图象恰有2个交点．
∵，∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，∴，
当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
∵，∴当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，∴，
当x趋近于0时，趋近于a，当x趋近于时，趋近于．
作出函数与的大致图象，如图所示．

结合函数图象知，要使函数与的图象恰有2个交点，
则，∴，
即实数a的取值范围为．
解法二
由题知有2个零点，
∴方程，即恰有2个解．
设，则函数的图象与直线恰有2个交点．
，设，
则，
∴函数即单调递增，∵，∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，∴，
当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于．
如图，作出直线与的大致图象，

结合函数图象知，要使直线与的图象恰有2个交点，则，
故实数a的取值范围为．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）求导，令，得到函数的单调性，即可求出函数的最小值；
（2）将原问题转化为有两个不同的解，构造函数，分和两种情况讨论，利用函数的单调性及零点存在定理求解实数a的取值范围．
【详解】（1）由题意可得，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的最小值为；
（2）有两个不同的解可化为有两个不同的解，
令，
则，
（ⅰ）若，则，由得．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
①当时，，即，故没有零点，不满足题意．
②当时，，只有一个零点，不满足题意．
③当时，，即，
当时，，，
又，故，所以，又，
故在上有一个零点．
又，因此在上有一个零点，
所以当时，有两个不同的零点，满足题意．
（ⅱ）若，由得，．
①当时，，
当时，；当时，；当时，．
所以在和上单调递减，在上单调递增．
又，所以至多有一个零点，不满足题意．
②当时，，则，
所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意．
③当时，，
当时，；当时，；当时，．
所以在和上单调递减，在上单调递增，又，所以至多有一个零点，不满足题意．
综上，实数a的取值范围为．
三、已知零点（根）的个数求代数式的值
1．（2023·四川成都·三模）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【优尖升-分析】根据解析式得，由，得，设，则，从而可得，求解导函数，分类讨论与两种情况下函数的单调性，从而可得答案.
【详解】定义域为，显然，
若是零点，则，
，
所以也是零点，函数有三个零点，
不妨设，则，
所以，，
当时，结合定义域和判别式易知恒成立，
即函数在上单调递增，不符合题意；
当时，设的两根分别为，
易知，所以函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，
，当，，
所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】求解本题的关键是根据函数解析式得若是零点，也是零点，从而得，所以求的取值范围即求的取值范围，然后求解导函数，利用导数分类讨论函数的单调性即可.
2．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知，分别是函数和的零点，且，，则 ．
【答案】1
【优尖升-分析】求，判断函数在上的单调性，根据函数零点及单调性可得，化简可得的值.
【详解】由题意可得，，
又，当时，，所以在上单调递减，
因为，，且，
又，所以，所以．
故答案为：1.
3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为 ．
【答案】4
【优尖升-分析】先将题给条件转化为有三个不同的零点，，，且，再转化为有二根，且，进而利用根与系数关系求得的值
【详解】，又，
则有三个不同的零点，，，且，
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增
则在时取得最大值，时，
令，则
则必有二根，且
则
则有一解，有二解且
故
故答案为：4
4．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e的零点，则 ．
【答案】1
【优尖升-分析】由题意，根据零点的定义，构造新函数，利用函数的单调性，可得等量关系，等量代换后，可得答案.
【详解】由题意，，且，，
由②得，所以，
令，所以与是函数的零点，，
当时，单调递增，所以在上，，单调递增，
故函数在上存在唯一零点，由，，则，，
所以，则，
故答案为：.
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的零点个数；
(2)若有两个零点，证明：两个零点之和大于4．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【优尖升-分析】（1）由得，则与的交点情况即为函数零点情况，故只需利用导数求出的性质，数形结合即可判断.
（2）结合导数及函数的单调性即可证明.
【详解】（1）由题可得，函数的定义域为．
由得．
令，则．
令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增．
当时，取得极小值，也是最小值，最小值为．
设，
所以，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
当时，，，
当时，，所以，
所以作出的大致图象，如图．
由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，
函数的零点个数为0；
当时，直线与函数的图象有1个交点，
函数的零点个数为1；
当时，直线与函数的图象有2个交点，
函数的零点个数为2．
（2）设的两个零点分别为，
由（1）知，
不妨令，则，且．
要证明两个零点之和大于4，即，只需证，
又，且在上单调递增，
故只需证，即．
令，
则
，， ，
在上恒成立，
在上单调递减，
当时，，
即成立，
，得证.
【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数的常用方法：
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
（3）将函数的化为的形式，将函数的零点个数转化为与图象交点的个数问题.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 一元函数的导数及其应用
（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）
目录
一、判断零点（根）的个数 1
二、已知零点（根）的个数求参数 3
三、已知零点（根）的个数求代数式的值 4
一、判断零点（根）的个数
1．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或3
2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）函数，则方程解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，讨论函数的零点的个数.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若，求函数的零点个数．
5．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若直线与曲线相切，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
6．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数．
(1)证明：；
(2)若，判断方程的实根个数．
二、已知零点（根）的个数求参数
1．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是 .
5．（2024·陕西渭南·一模）已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是 .
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上有两个不同的零点，求的取值范围.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)讨论的最值；
(2)若函数有2个零点，求实数a的取值范围．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围．
三、已知零点（根）的个数求代数式的值
1．（2023·四川成都·三模）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知，分别是函数和的零点，且，，则 ．
3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为 ．
4．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e的零点，则 ．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的零点个数；
(2)若有两个零点，证明：两个零点之和大于4．
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