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(共54张PPT)
2025中考
甘肃 数学

第8讲
一元一次不等式(组)及其解法
第二单元
方程(组)与不等式(组)
第一部分 数与代数
第一单元 数与式
第二单元 方程(组)与不等式(式)
第三单元 函数及其图象
目
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1
依标扣本·掌握必备知识
聚焦中考·培育核心素养
课堂反馈·落实学业要求
人生像动态不等式——今日的“≤”，可能是明天的“≥”，人生永远在变化中，相信自己，我行，我能行！
考点综述
01
依标扣本·掌握必备知识
课标要求1
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课标要求2
课标要求3
依标扣本·掌握必备知识
聚焦中考·培育核心素养
课堂反馈·落实学业要求
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向④_______，即若a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向⑤_______，即若a＞b，c＞0，则ac＞bc， ＞ ；
(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向⑥_______，即若a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜ .
结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式的基本性质
课标要求 1
[注意：两边不能乘0，否则不等式变为等式]
知识点1 不等式的有关概念及性质
1.不等式的概念：一般地，用不等号连接的①__________叫做不等式.
2.不等式的解：使不等式成立的②__________的值，叫做不等式的解.
3.不等式的解集：含有未知数的不等式的所有解的③_____叫做不等式的解集.
式子
未知数
集合
4.不等式的基本性质：
不变
不变
改变
x＜a ③______
④______ ⑤______
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能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集
课标要求 2
一元一次不等式及其解法
解集
表示
x＞a
x≤a
x≥a
知识点2 一元一次不等式的概念及解法
只含有①______个未知数，且未知数的次数是②____ 的不等式，叫做一元一次不等式。
一
1
概念：
解法步骤：(1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项；(5) 系数化为 1
注意：系数化为 1 时考虑不等号方向是不是改变，如若
-2x＞1，则x＜-；若2x＞-1，则x＞-。
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会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集
课标要求 3
一元一次不等式组及其解法
解法步骤：(1)分别求出每个不等式的解集(2)画出数轴(3)答解集(公共部分)
解集的类型及
表示
类型(a＞b) 在数轴上的表示 口诀 解集
x≥a，x＞b 同大取大 x≥a
x＜a，x≤b 同小取小 ② ______
x≤a，x≥b 大小、小大 中间找 ③ _________
x＞a，x＜b 大大、小小 无解了 无解
x≤b
b≤x≤a
知识点3 一元一次不等式组的概念及解法
概念：
把两个或两个以上的①___________ 合起来，组成一个一元一次不等式组。
一元一次不等式
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不等式(组)的特殊解
求不等式(组)的特殊解，要先求不等式(组)的______，然后在解集中找_____解。
解集
特殊
知识点4 一元一次不等式(组)的应用
1.列不等式(组)解决实际问题的基本步骤为：
①__________ ；②__________；③______________；
④_____________；⑤__________________.
2.列不等式(组)解决实际问题涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等.
审题找数量关系
设未知数
列不等式(组)
解不等式(组)
检验并写出答案
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知识梳理
考点精讲
3.解决不等式实际应用问题时，常用关键词与不等号的对照表：
常用关键词 不等号
大于、多于、超过、高于 1__________
小于、少于、不足、低于 2__________
至少、不少于、不低于、不小于 3__________
至多、不超过、不高于、不大于 4__________
＞
＜
≥
≤
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2.不等式 ＞0
(或 ＜0)的解集
知识点5 不等式与函数的关系
1.不等式ax+b＞0
(或ax+b＜0)的解集
直线 在x轴上方（或下方）部分所对应的自变量的取值范围；
抛物线 在x轴上方（或下方）部分所对应的自变量x的取值范围；
y=kx+b
a+bx+c
a+bx+c
y=a+bx+c
考点综述
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命题点1
命题点2
命题点3
(2019 天水) 若a＜b，则(　　 )
A.a＋3＞b＋3 B.a－2＞b－2
C.－a＜－b D.2a＜2b
命题点 1
不等式的基本性质(课标要求1)
例 1
D
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命题点1
命题点2
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例 2
命题点 2
解一元一次不等式(课标要求2)
（2018 天水）解不等式： 并把它的解集表示在数轴上。
1≤
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解：去分母，得 2(x＋1)－6≤3(2－x)
去括号，得 2x＋2－6≤6－3x
移项，得 2x＋3x≤6－2＋6
合并同类项，得 5x≤10
系数化为1，得 x≤2
不等式的解集在数轴上表示如图所示
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命题点2
命题点3
解一元一次不等式组(课标要求3)
命题点 3
例 3
(2024 甘肃)18.解不等式组
①
②
2(x-2)＜x+3

解
①2(x 2)②<2x，两边同时乘以2得x+1<4x，移项得1<4x x，
即3x>1，两边同时除以3，解得x>。
综合两个不等式的解，不等式组的解集为x> 。
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知识梳理
考点精讲
解不等式(组)的注意事项
1.系数化为1时，不等式两边同时除以或乘同一个负数，不等号方向要改变.
2.用数轴表示解集时，不要忽略“实心圆点”与“空心圆圈”的区别.
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命题点2
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(2023 甘肃) 18.解不等式组
链接中考
(2022 甘肃)
(2021 甘肃)
1.解下列不等式（组）：
12. 关于x的不等式 x 1> 的解集是__________________
3.不等式3x 2>4的解集是（ ）
A. x> 2 B. x< 2 C. x>2 D. x<2
x＞-6-2x
x
x>
C
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命题点1
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2.求一元一次不等式(组)中的待定字母的取值：
(2020·天水)若关于x的不等式3x＋a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为 (　 　)
A.－7＜a＜－4 B.－7≤a≤－4
C.－7≤a＜－4 D.－7＜a≤－4
D
已知关于x的不等式组 的正数解
共有4个，求a的取值范围。
解：由（1）得：x ≥a+1
由（2）得：x<2
∵不等式组有4个正整数解
考虑五种情况
例 4
考点4　一元一次不等式(组)中的待定字母的取值问题
x-a （1）
3-2x＞-1 （2）
（1） a+1= － 1
数轴为
此时只有3个整数解
（不符合四个解，舍去）
(2) －2数轴为
此时只有3个整数解
（不符合四个解，舍去）
(3)a+1= －2
数轴为
此时只有4个整数解（符合）
(4) －3数轴为
此时只有4个整数解（符合）
(5)a+1=－3
数轴为
此时有5个整数解
（不符合四个解，舍去）
∴ 3∴ 4上一页
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知识梳理
考点精讲
求不等式式（组）中待定字母取值范围的解题步骤：
(1)解出每个不等式的解集：把待定字母当作已知数解出不等式组的解集；
(2)在数轴上表示解集：形象准确地把不等式组有解或无解或有几个整数解的情况在数轴上表示出来；
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知识梳理
考点精讲
(3)确定待定字母的大致取值范围：根据题干条件列出关于待定字母的不等式(组)，求解该不等式(组)得到待定字母的大致取值范围；
(4)检验临界值(即是否包含端点值)：将(3)中求得的待定字母的临界值代回原不等式组，检验是否满足题意，若满足，则该临界值也在取值范围内，否则就不在.对于“有几个整数解”的问题，临界值应考虑两个端点。
本讲内容结束
请完成《中考指导》P18--19素养综合练测8
不等式与人生哲理的思考：
人生没有绝对等式，“大于”或“小于”，取决于你的努力；
努力是“≥”，而侥幸只是“>”的偶然，懒惰是“<”的必然，真正的成长需要打破“=”的惰性。
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1.(2024·苏州) 若a＞b－1，则下列结论一定正确的是(　　)
A.a＋1＜b B.a－1＜b
C.a＞b D.a＋1＞b
D
达标检测
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变式1 下列判断不正确的是(　　)
A.若a＞b，则－4a＜－4b
B.若2a＞3a，则a＜0
C.若a＞b，则ac2＞bc2
D.若ac2＞bc2，则a＞b
变式2 若不等式(m－3)x＜3－m的两边同除以(m－3)，得x＞－1，则
m的取值范围为_________.
C
m＜3
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2.(2024·长春) 不等关系在生活中广泛存在.如图，a，b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是
(　　)
A
A. 若a>b，则a+c>b+c
B. 若a>b，b>c，则a>c
C. 若a>b，c>0，则ac>bc
D. 若a>b，c>0，则 >
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变式 如图，表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是(　　)
A.B＞A＞C B.B＞C＞A
C.C＞A＞B D.C＞B＞A
C
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3.(2024·湖北) 不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示为(　　)
A
A B
C D
变式 2 (2024 烟台) 关于x的不等式m ≤1 x有正数解，m的值可以是___________________。（写出一个即可）
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变式1 如果关于x的不等式3x－a≤－1的解集如图所示，则a的值是_________.
－2
0(答案不唯一)
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4.(2024 包头) 若2m 1，m，4 m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是 ( )
A. m<2 B. m<1
C. 1B
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a≥－1
5.若关于x的不等式组 有解，则a的取值范围为________.
x+a≥0
2(x+1)≥3x+1
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变式 2 若不等式组 的解集为x≥m，则m的取值范围是__________.
>
2x m≥x
m＞－1
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6.已知关于x的不等式组 无实数解，则a的取值范围是 ( )
A. a≥ 25 B. a≥ 2
C. a> 25 D. a> 2
D
2x 3≥1
-1≥
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7.关于x的不等式组 有且只有三个整数解，则a的最大值是 ( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
x＞-x
x-1＜ (a-2)
C
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8.当x取何值时，代数式 与的值的差大于1？
解：根据题意，得 >1。
去分母，得2(x+4) 3(3x 1)>6。
去括号，得2x+8 9x+3>6。
移项、合并同类项，得 7x> 5。
两边都除以 7，得x<。
∴ 当 x取小于 的任何数时， 代数式与 的值的差大于 1。
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9.(2024 兰州) 解不等式组：
2x+6＞x
＜1-2x
解：解不等式2x+6>x，得x> 6。
解不等式<1 2x，得x<1。
∴不等式组的解集为 610、 如果自然数x满足不等式 －1>2x－5,
试求x的值 。
解：
( 1)×2>(2x 5)×2
x+1 2>4x 10
x 4x> 10 1+2
3x> 9
x<3
∴x可取0，1，2。
11、如果关于x的方程3x+a＝x+4的解是个非负数，
求a的取值范围。
解：
3x x=4 a
2x=4 a
x=
∵x是非负数
∴ ≥0
4 a≥0
a≥ 4
a≤4
12、若关于x的不等式（1－a）x>2的解集是x <
则a的取值范围是 _____________
13、不等式（a+1）x<2的解集是x >－1 ,那么a的值是＿＿
a>1
分析：解集是x> 1，不等号方向改变。
∴a+1<0即a< 1 ∴x>
解集为x> 1
∴ = 1
∴2= (a+1)
即 a= 3
14、使方程组 的解 x 、 y都是正数，
a的取值范围。
解： (1) ×5 －(2)，得：x＝7＋a (3)
把(3)代入(1)，得：y＝－5 －2a
x+y=2 a (1)
4x+5y=3 6a (2)
因为x,y都大于0
7+a>0
5 2a>0
所以
a> 7
a<
所以
所以 7
15、若关于x的不等式
无解，求m的取值范围 。
解：由（1）得: x<2
由（2）得：x>m － 1
X有解，错误
(2) m － 1=2
(3) m － 1>2
无解，正确
无解，正确
所有 m-1≥2
所有 m≥3
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知识梳理
考点精讲
考点5　　一元一次不等式(组)的应用
考点精讲
1.某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动.旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量为45人，B型客车每辆载客量为30人.若租用4辆A型客车和3辆B型客车，共需费用10 700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车，共需费用10 300元.
(1)求租用A，B两种客车，每辆费用分别是多少元；
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知识梳理
考点精讲
【思路分析】(1)根据“租用4辆A型客车和3辆B型客车，共需费用10 700元；租用3辆A型客车和4辆B型客车，共需费用10 300元”可以列出相应的方程组，从而可以求得租用A，B两种客车每辆的费用.
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知识梳理
考点精讲
解：(1)设租用A，B两种客车，每辆费用分别是x元、y元.
由题意，得
解得
答：租用A，B两种客车，每辆费用分别是1 700元、1 300元.
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考点精讲
(2)若租用A，B两种客车共6辆，为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
【思路分析】(2)根据题意可设租用A型客车a辆，则租用B型客车(6－a)辆，再根据给出的条件可以列出相应的不等式组，从而可以得到有哪几种租车方案和最省钱的方案.
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考点精讲
(2)设租用A型客车a辆，租用B型客车(6－a)辆.
由题意，得
解得4≤a≤5.5，∵a为正整数，∴a＝4或a＝5，
∴共有两种租车方案：
方案一：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为1 700×4＋1 300×2＝9 400(元)；
方案二：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为1 700×5＋1 300＝9 800(元).
∵9 800元>9 400元，∴租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱.
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考点精讲
利用不等式(组)解决实际问题时，要注意问题中的限制条件：(1)取解时必须使实际问题有意义，如人数、次数、物体的个数等为正整数，长度、面积等为正数；(2)利用不等式(组)在限制条件下探究方案时，注意挖掘问题中的隐含条件，由其解集范围内的正整数解来确定方案.
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考点精讲
2.(2020·长沙)今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响.“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区.具体运输情况如下：
(1)求A，B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资；
第一批 第二批
A型货车的辆数/辆 1 2
B型货车的辆数/辆 3 5
累计运输物资的吨数/吨 28 50
对点训练
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知识梳理
考点精讲
解：(1)设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，
B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资.
依题意，得
解得
答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资.
x+3y=28
2x+5y=50
x=10
y=6
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知识梳理
考点精讲
(2)该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车.试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
(2)设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地.
依题意，得10×3＋6m≥62.4，解得m≥5.4.
又∵m为正整数，∴m的最小值为6.
答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地.
下课
Thanks!
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