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普通高中数学 人教版（2019） 必修第二册
课型：新授课
第二章 直线与圆的方程
2.4.1圆的标准方程
身边的圆无处不在
水的波纹
雨后的彩虹
辽远的星系
原子的结构
自然界中存在着各种各样的圆。
问题一河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的石拱桥，赵州桥的跨度约为37.4m，圆拱高约为7.2m，现有一船，宽10米，水面以上高3米，这条船能否从桥下通过？
如何写出这个圆拱所在的圆的方程呢
2、确定圆需要几个要素？
圆心－－确定圆的位置(定位)
半径－－确定圆的大小(定形)
平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形（轨迹、
集合）.
1、什么是圆？初中如何给圆定义的？
师生共同探究
你还记得吗
探究一：如何在平面直角坐标中，
求圆心是 ,半径为 的圆的方程？
建立平面直角坐标系，设点 为圆上任意一点；
，圆上所有点的集合P = { M | |MC| = r }
M
O
x
y
r
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？
圆的标准方程
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
问题
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.
特殊位置的圆方程
因为圆心是原点O(0, 0)，将a＝0，b＝0和半径 r 带入圆的标准方程：
问题
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
得：
整理得：
2.圆 的圆心 的坐标及半径 分别为（ ）
1.圆心为 ，半径长等于5的圆的方程为（ ）
随堂小练习
3.圆 的圆心的坐标及半径 分别
为
圆心，半径
例1：写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上。
解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：
把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；
把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上．
那这个点究竟是在圆外还是在圆内？
探究二：点与圆的位置关系
O
O
探究二：点与圆的位置关系
在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？
M
O
|OM||OM|=r
M
M
|OM|>r
点在圆内
点在圆上
点在圆外
几何法
O
O
M
O
M
M
点与圆的位置关系:
代数法
（3）
点在圆外：
点在圆上：
点在圆内：
（2）
（1）
例2：△ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，
C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (1)
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是
待定系数法
所求圆的方程为
探究三：求圆的标准方程
A(5,1)
E
D
O
C(2,-8)
B(7,-3)
y
x
R
几何法
L1
L2
解法二:
例2：△ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
例3：已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
弦AB的垂直平分线
x
y
O
A(1,1)
B(2,-2)
D
C
即：x-3y-3=0
∴圆心C(-3,-2)
例3：已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．
解法1: ∵A(1,1),B(2,-2)
圆经过A(1,1),B(2,-2)
解法2: 设圆C的方程为
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
例3：已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．
规律归纳：
求圆的标准方程一般有两种思路：
（1） 待定系数法，这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法；
（2） 几何法，由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准方程。
由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法。
圆心C(a,b),半径r
特别地若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为：
小结：
一、
二、点与圆的位置关系：
三、求圆的标准方程的方法：
2 几何方法：数形结合
1 代数方法：待定系数法求
今天有什
么收获？
圆的标准方程
（1）点P在圆上
（2）点P在圆内
（3）点P在圆外
M
O
x
y
r
当堂检测
1、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆的方程.
2、求以C(1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程.

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