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A级　基础巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.若α∥β,a α,M∈β,过点M的所有直线中 ( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
解析:由α∥β,a α,M∈β可知,过点M有且只有一条直线与a平行.
答案:D
2.已知三个平面α,β,γ,一条直线l,要得到 α∥β,必须满足下列条件中的 ( )
A.l∥α,l∥β,且l∥γ
B.l γ,且l∥α,l∥β
C.α∥γ,且β∥γ
D.l与α,β所成的角相等
解析: α与β无公共点 α∥β.
答案:C
3.若过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点A1, C1, B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是平行.
解析:由面面平行的性质定理,得A1C1∥平面ABCD,A1C1 平面A1C1B,平面ABCD∩平面A1C1B=l,由线面平行的性质定理,知A1C1∥l.
4.若六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形,则此六棱柱的所有面中互相平行的有4对.
解析:如图所示,平面ABB1A1∥平面EDD1E1,平面BCC1B1∥平面FEE1F1,平面AFF1A1∥平面CDD1C1,平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1,所以此六棱柱的所有面中互相平行的有4对.
5.如图所示,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.
证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP.
因为BP 平面PBC,NQ 平面PBC,
所以NQ∥平面PBC.
又底面ABCD为平行四边形,
所以BC∥AD.所以MQ∥BC.
因为BC 平面PBC,MQ 平面PBC,
所以MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥平面PBC.
B级　能力提升
6.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为 ( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.可能重合
解析:若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行;若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交.
答案:C
7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1的中点,过C1,B,M作正方体的截面,则这个截面的面积为.
解析:如图所示,取AA1的中点N,连接MN,NB,MC1,BC1.
根据题意可得,截面为等腰梯形,且MN=BC1=,MC1=BN=,所以梯形的高为,
所以梯形的面积为×(+2)×=.
8.(2024·广东广州期中)由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为平行四边形,O为AC与BD的交点.
(1)求证:A1O∥平面B1CD1;
(2)求证:平面A1BD∥平面B1CD1;
(3)设平面B1CD1与底面ABCD的交线为l,求证:B1D1∥l.
证明:(1)如图,取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,因为ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,所以A1O1∥OC,且A1O1=OC.所以四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C 平面B1CD1,A1O 平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为BB1∥AA1且BB1=AA1,AA1∥DD1且AA1=DD1,所以BB1∥DD1且BB1=DD1.所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.因为BD 平面B1CD1,B1D1 平面B1CD1,所以BD∥平面B1CD1.由(1)得A1O∥平面B1CD1.因为BD∩A1O=O,BD,A1O 平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1CD1.
(3)由(2)得BD∥B1D1,因为B1D1 平面ABCD,BD 平面ABCD,所以B1D1∥平面ABCD.因为B1D1 平面B1CD1,平面B1CD1∩平面ABCD=l,所以B1D1∥l.
C级　挑战创新
9.探索性问题如图所示,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,点G,F分别是线段EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC.
(2)若点P为线段CD的中点,平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系 请证明.
(1)证明:如图所示,连接AE.由F是线段BD的中点,四边形ABED为正方形,得F为AE的中点.
因为G是EC的中点,
所以GF为△AEC的中位线,所以GF∥AC.
因为AC 平面ABC,GF 平面ABC,
所以GF∥平面ABC.
(2)解:平面GFP∥平面ABC.
证明:连接FP,GP.
因为点F,P分别为BD,CD的中点,
所以FP为△BCD的中位线,所以FP∥BC.
因为BC 平面ABC,FP 平面ABC,
所以FP∥平面ABC.
因为GF∥平面ABC,FP∩GF=F,
所以平面GFP∥平面ABC.(共20张PPT)
第八章　立体几何初步
答案:C
a∥b
平行
答案:B
15
○
21世织纪教痘
2订世看
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