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专题八、“梅涅劳斯”模型
模型证明
1）梅涅劳斯定理模型
如图1，如果一条直线与 的三边 或其延长线交于 点，那么
其中：这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形。
证明：
如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，易证：
2）梅涅劳斯定理的逆定理模型
如图1，若 分别是 的三边 或其延长线的三点，如果
则 三点共线。
证明：假设 三点不共线，直线 与 交于 ，由梅涅劳斯定理得
即 与 重合， 三点共线。
经典题目：
1．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．
过点作交于点，则，（依据），
∴，
∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
(1)情况①中的依据指：　　；
(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
(3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　　
2．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是的三边及其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线交的边于点D，交边于点E，交边的延长线于点F．过点C作交于点G，
则，（依据）
∴．
∴，
即．
情况②：如图2，直线分别交的边的延长线于点D，E，F…
(1)情况①中的依据指：_______．
(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．
(3)如图3，D、E分别是的边上的点，且，连接并延长，交的延长线于点F，那么______．
3．请阅读下列材料，完成任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点D，可截得六条线段，则这六条线段满足，下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图2，过点作，交延长线于点，则有（依据），…
(1)上述过程中的“依据”指的是 ；
(2)请将该定理的证明过程补充完整．
4．小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解答．已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连结FD交AC于点E．
(1)求的值；
(2)若AB＝a，FB＝AE，求AC的长．
5．梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点作，交的延长线于点，则有，，．类似的，如图（3），三边的延长线分别交直线于三点，则有：．请利用上述定理的证明方法或结论完成下面问题：
(1)如图（4），等边的边长为，点为的中点，点在上，且，与交于点，求的长．（写出求解过程）
(2)如图（5），的面积为，为中点，延长至，使，连接交于，则四边形的面积为 ．（直接写出答案）
6．梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，
则有，，
∴．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
(1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：．
(2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________．
(3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________．
7．梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在中，，，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则________．
8．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点，可截得六条线段、、、、、，则这六条线段满足．
下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图2，过点作，交延长线于点
则有（依据），…
(1)上述过程中的依据指的是________；
(2)请将该定理的证明过程补充完整．
(3)在图1中，若点是的中点，，则的值为________；
(4)在图1中，若，，则的值为________．
9．梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，，
∴，
．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：


（1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：．
请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：
（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．
（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积．
10．如图，三边，，的延长线分别交直线于，，三点，证明：．（即证明梅涅劳斯定理的其中一种形式）
参考答案
1．(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
(2)证明过程见详解
(3)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（2）如图2中，作交于，模仿情况①的方法解决问题即可；
（3）利用梅氏定理即可解决问题．
【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）证明：如图2中，作交于，
则有，
∴，
∴，则，变形得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（2）如图2中，作交于，模仿情况①的方法解决问题即可；
（3）利用梅氏定理即可解决问题．
【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）作交于，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴；
故答案为：．
3．(1)平行线分线段成比例
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线分线段成比例质．
（1）根据题意，上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
（2）根据平行线分线段成比例，得到，进而得到，得证．
【详解】（1）解：上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例；
故答案为：平行线分线段成比例；
（2）解：该定理的证明过程补充完整如下：
，
，
，
，
即．
4．(1)
(2)AC的长为a．
【分析】（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M．根据平行线分线段成比例定理分别找到AE，CE与FM之间的关系，得到它们的比值；
（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解．
【详解】（1）解：过点F作FM∥AC，交BC于点M，
∵F为AB的中点，
∴M为BC的中点，FM=AC．
∵CD=BC，
∴CM=CD，
∴，
∵FM∥AC，
∴∠CED=∠MFD，∠ECD=∠FMD．
∴△FMD∽△ECD．
∴．
∴．
∴；
（2）解：∵点F是AB的中点，AB=a，
∴FB=AB=a．
∵FB=AE，
∴AE=a．
由（1）知，，
∴AC=AE=×a=a，
即AC的长为a．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，作出平行线构造出相似三角形是解本题的关键．
5．(1)
(2)
【分析】本题主要考查梅涅劳斯定理的运用，相似三角形的判定和性质，理解梅涅劳斯定理，掌握构造三角形相似，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据材料提示的方法计算即可求解；
（2）根据材料提示方法得到，由面积公式得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得，，
又∵，
∴，，
∴，
在等边中，，点是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据题意可得，即，
∴，
如图所示，连接，
∴，
∴，
故答案为：．
6．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）如图，过点作，交的延长线于点，可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE，可得，代入进而可证成立；
（2）如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G，由题意可知，，代入求值即可；
（3）如图5，分别过作 ，由题意可知，，，有，，对计算求值即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点
∴
故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE
∴
∵
∴．
（2）解：如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G
∴由题意可知
∵D是BC的中点，为等边三角形
∴，
在中
∵
∴
解得
故答案为：．
（3）解：如图5，分别过作
∵图5同图1，故可知
∵F为AB中点，CD=BC，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴四边形BCEF的面积为
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形相似，等边三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于证明三角形相似．
7．（1）见解析；（2）6
【分析】（1）由题意可得，然后根据比例的性质可进行求证；
（2）由（1）可得，进而由题意易得，，然后可得，则由勾股定理可得，最后问题可求解．
【详解】解：（1）补充的证明过程如下：
，
，
；
（2）根据梅涅劳斯定理得，
∵点D为BC的中点，，
，，
，
∵，，
∴AD⊥BC，BD=5，
∴在中， ，
．
故答案为6．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
8．(1)平行线分线段成比例
(2)证明过程补充见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
（1）根据题意，上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
（2）根据平行线分线段成比例，得到，进而得到，得证．
（3）根据题意点是的中点，，再由图示三角形的各线段对应关系得到，再由，得到，由此得到答案．
（4）过点作交的延长线于点，由此得到，，由相似三角形的性质得到，，由此得到答案．
【详解】（1）解：上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例
（2）该定理的证明过程补充完整如下：
，
，
即
（3）点是的中点，，
，
，
,即，
，
，
．
（4）如图，过点作交的延长线于点，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
9．
（1）详见解析；（2）；（3）
【分析】(1) 过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可．
(2) 根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可．
(3) 根据定理，计算比值，后解答即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，
则．
故：．

（2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得：．
又，
∴，
．
在等边中，，点为的中点，
．
由勾股定理知：
．

（3）解：线段是的梅氏线，
由梅涅劳斯定理得，，
即，则．
如图，连接，
，
于是
．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握定理是解题的关键．
10．见解析
【分析】连接CY、AX ，设A到XZ的距离为h1，C到XZ的距离为h2，再根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质，分别列出、、，再计算即可.
【详解】证明：如图，连接CY、AX
设A到XZ的距离为h1，C到XZ的距离为h2
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形的面积计算，作出辅助线，通过面积写出线段比是解题关键.

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