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1.1等腰三角形
(第3课时)
第一章 等腰三角形
学习目标
掌握等腰三角形的判定定理及其运用
理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明
1
2
知识回顾
等腰三角形有哪些性质定理及推论？
两底角相等
(简写成“等边对等角”).
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成 “三线合一”).
等腰三角形
边
角
推论
两边相等(定义)
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
知识探究
求证：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知：在△ABC中，∠B＝∠C.求证：△ABC 是等腰三角形.
A
B
C
分析：要想证明 AB＝AC，只要能构造两个全等的三角形，使 AB 与 AC 成为对应边就可以了.
证明：如图，过点 A 作AD⊥BC 于点 D，
则∠ADB＝∠ADC.
D
在△ABD 与△ACD 中，又有∠B＝∠C，AD 为公共边，
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形.
知识探究
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简述为：等角对等边
等腰三角形的判定定理
A
B
C
符号语言：在 △ABC 中，
∵∠B＝ ∠C，
∴AB ＝ AC.
(1)“等角对等边”的运用前提是在同一个三角形中
(2)在未判定出三角形是等腰三角形时，不能用“底角”
“顶角”“腰”“底边”这些名词
典型例题
例2 如图，AB＝DC，BD ＝CA，BD 与 CA 相交于点 E.
求证：△AED 是等腰三角形.
证明：
A
B
E
D
C
∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)
∴AE＝DE(等角对等边).
∴△AED 是等腰三角形
知识探究
想一想
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
如图 ，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等.
假设 AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此 AB≠AC.
小明是这样想的:
A
B
C
你能理解他的推理过程吗？
知识探究
想一想
小明在证明时，
①先假设结论不成立，即AB＝AC，则∠B≠∠C；
②利用已知定理“等边对等角”证明∠B＝∠C，得到与题干中的条件相矛盾，说明假设不成立；
③假设不成立，从而证明 若∠B≠∠C，则AB≠AC.
A
B
C
这种证明方程称为反证法
知识探究
延伸拓展
用反证法证明命题的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立.
(2)从假设出发，通过演绎推理，推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件矛盾的结果.
(3)由矛盾的结果说明假设不成立，进而得出原结论正确.
即假设结论的反面是成立的
注意：用反证法证明时，如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能得情况一一加以否定，才能肯定原结论是正确的
典型例题
例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC .
证明：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.
证明：
假设△ABC中的三个内角有两个角是直角，
不妨设∠A＝∠B＝90°，
则∠A＋∠B＋∠C＞180°.
这与“三角形内角和为180°”相矛盾，
因此假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
A
B
C
知识探究
延伸拓展
运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式如下表：
结论词 是 都是 大(小)于 能 相等 至少有一个 至多有一个 负数
否定 形式 不是 不都是 不大(小)于 不能 不相等 一个也没有 至少有两个 非负数
当 堂 检 测
D
当堂检测
当堂检测
12
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
等腰三角形
反证法：
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
反证法过程：
①假设命题的结论不成立；;
②从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
③由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
等腰三角形的判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
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