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1.1等腰三角形
(第4课时)
第一章 等腰三角形
学习目标
能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.
掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.
1
2
知识回顾
一个三角形满足什么条件时才是等边三角形？
①三条边相等的三角形是等边三角形.（概念）
②三个角都相等的三角形是等边三角形.
你还有其他想法吗？
你可以证明这些结论吗？
知识探究
求证：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.求证：△ABC 是等边三角形.
A
C
B
证明： ∵∠A＝∠B
∴AC＝BC
∵∠B＝∠C
∴AB＝AC
∴AB＝AC＝BC
∴△ABC 是等边三角形.
知识探究
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的判定定理1
符号语言：在 △ABC 中，
∵∠A＝∠B＝ ∠C，
∴△ABC 是等边三角形
A
B
C
知识探究
一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形呢？
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这个结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流.
分析：有一个角是60°，有几种可能？
两种可能：①顶角是60°
②底角是60°
则证明该结论需要讨论上面两种情况.
知识探究
求证：①顶角是60°的等腰三角形是等边三角形.
已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.求证：△ABC 是等边三角形.
A
C
B
60°
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵∠A＝60°
∠A＋∠B＋∠C＝180°
∴∠A＝∠B
证明：
∴AC＝BC（等角对等边）
∵AB＝AC
∴AB＝BC＝AC
即△ABC为等边三角形
知识探究
求证：②底角是60°的等腰三角形是等边三角形.
已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°.求证：△ABC 是等边三角形.
A
C
B
60°
证明：
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵∠B＝60°
∴∠C＝60°
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°
∴∠A＝60°
∴∠A＝∠B
∴AC＝BC
∵AB＝AC
∴AB＝BC＝AC
即△ABC为等边三角形
知识探究
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等边三角形的判定定理2
符号语言：在 △ABC 中，
∵AB＝AC，∠A＝60°
∴△ABC 是等边三角形
A
B
C
知识探究
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.
做一做
30°
30°
你能说出所拼成的三角形的形状吗？
猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
30°
30°
30°
30°
结论：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
知识探究
做一做
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACD，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC（SAS)
∴AB＝AD （全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
求证：BC＝ AB.
D
A
B
C
证明：延长 BC 至点 D，使CD＝BC，连接 AD.
∴BC＝BD＝AB
知识探究
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
含30°角的直角三角形的性质定理
符号语言：在 △ABC 中，
∵∠C＝60°，∠A＝30°
A
B
C
30°
∴BC＝ AB
(1)含30°角的直角三角形的三边长之比是1：：2
(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°
典型例题
例4 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC，∠B＝15°，CD 是腰 AB 上的高.
求证：CD＝ AB.
A
B
C
D
15°
15°
证明：在△ABC 中，∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∵CD 是腰 AB 上的高，∴∠ADC＝90°.
∴CD＝ AC
∴CD＝ AB
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
当 堂 检 测
当堂检测
当堂检测
C
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
等腰三角形
等边三角形的判定:
定理①：三条边都相等的三角形是等边三角形.
定理②：三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理③：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等边三角形的性质：
性质①：等边三角形三条边相等.
性质②：等边三角形三个角相等，并且都是60°.
拓展性质③：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
感谢学生们的观看

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