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1.2直角三角形
(第1课时)
第一章 等腰三角形
学习目标
复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定
学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题
1
2
结合具体事例理解互逆命题、互逆定理的概念,并体会原命题成立时，其逆命题不一定成立
3
知识回顾
我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
a2＋b2＝c2
B
C
A
b
c
a
30°
∠A＋∠B＝90°
BC ＝12 AB
?
知识探究
(1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
想一想
在直角三角形中，两个锐角的和等于90°，即这两个锐角互余.
由三角形内角和定理，易得：两锐角的和＝180°－90°＝90° .
(2)如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
是直角三角形
你能试着证明一下吗？
知识探究
想一想
已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：在△ABC 中，
根据三角形内角和定理有：∠A＋∠B＋∠C＝180°，
又有∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝180°－90°＝90°.
∴△ABC 是直角三角形.
证明：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
B
C
A
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
知识探究
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 ＋ b2 ＝ c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
a
c
b
勾
弦
股
我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理.
知识探究
勾股定理的证明：
D
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝ a，AC ＝ b，AB＝ c.
分别以 Rt△ABC 的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG.
连接 EB，CH.
知识探究
勾股定理的证明：
E
F
G
M
N
H
I
A
B
C
a
b
c
过点 C 作 AB 的垂线，
分别交 AB 和 HI 于点 M，N.
D
知识探究
勾股定理的证明：
E
F
G
M
N
H
I
A
B
C
a
b
c
∵EA ＝ CA,
∠EAB＝∠CAH＝90°＋∠CAB，
AB ＝ AH，
∴△EAB ≌△CAH（SAS）.
D
知识探究
勾股定理的证明：
E
F
G
M
N
H
I
A
B
C
a
b
c
又∵S正方形 ACDE＝ 2S△EAB，
S长方形AHNM ＝ 2S△CAH，
∴b2 ＝ S长方形AHNM.
同理 a2 ＝ S长方形MNIB.
∴ c2 ＝ a2 + b2.
D
知识探究
想一想
在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论. 你能证明这个结论吗？
已知：如图，在△ABC 中，满足AB2＋AC2＝BC2．
求证：△ABC是直角三角形．
A
B
C
分析：构造一个直角三角形与 △ABC 全等，你能自己写出证明过程吗？
知识探究
已知：如图，在△ABC 中，满足AB2＋AC2＝BC2．
求证：△ABC 是直角三角形．
想一想
证明：如图作 Rt△A'B'C'，
A'
B'
C'
使∠A' ＝ 90°，A'B' ＝ AB，A'C' ＝ AC，
则 A'B'2 ＋ A'C'2 ＝ B'C'2（勾股定理）
∵AB2 ＋ AC2 ＝ BC2，
∴BC2 ＝ B'C'2.
∴BC ＝ B'C'.
∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
∴∠A ＝∠A' ＝90°(全等三角形的对应角相等).
因此，△ABC 是直角三角形.
A
B
C
知识探究
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
定理
符号语言：在 △ABC 中，
∵BC2 ＋ AC2 ＝ AB2
∴△ABC 是直角三角形，且∠C＝90°
A
C
B
a
b
c
作用：判断三角形是否为直角三角形.
注意：不要拘泥于a2＋b2＝c2的形式.
核心：只要满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三
角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
知识探究
议一议
观察下面的两个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
定理1 直角三角形的两个锐角互余
定理2 有两个角互余的三角形是直角三角形
条件
直角三角形
有两个角互余的三角形
结论
两个锐角互余
直角三角形
两个命题的条件和结论有何联系？
它们是条件和结论正好相反的两个命题.
知识探究
议一议
观察下面的两个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
定理3 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
定理4 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形.
条件
直角三角形
a2＋b2＝c2
结论
a2＋b2＝c2
直角三角形
两个命题的条件和结论的联系与前两个相同吗？
相同，它们也是条件和结论正好相反的两个命题.
知识探究
再观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?
议一议
知识探究
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
命题与逆命题
等腰三角形有两个角相等.
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
互逆命题
知识探究
你能写出命题“如果两个有理数相等， 那么它们的平方相等”的逆命题吗?
想一想
如果两个有理数的平方相等，那么这两个数相等.
它们都是真命题吗？
假命题
想一想: 一个命题是真命题，它的逆命题是真命题还是假命题?
知识探究
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
想一想
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如：
勾股定理及其逆定理；
两直线平行，内错角相等； 内错角相等，两直线平行.
当 堂 检 测
当堂检测
D
当堂检测
D
当堂检测
D
当堂检测
B
当堂检测
C
当堂检测
勾股定理的逆定理：
直角三角形
定理与逆定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.
命题与逆命题：
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
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